岩土工程中的分形理论及其应用

岩土工程中的分形理论及其应用 - 1 - 岩土工程中的分形理论及其应用1 陶高梁，张季如 武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉(430070) 摘 要:根据分维数的求解方法及其意义，将颗粒分维数分为颗粒数量—粒径分布分维数、 颗粒质量—粒径分布分维数、颗粒体积—粒径分布分维数、颗粒原状面积 (体积)分布分维 数和颗粒表面分布分维数;将孔隙分维数分为孔隙数量—粒径分布分维数、孔隙体积—粒径 (体积)分布分维数和孔隙表面分布分维数。首分布分维数、孔隙原状面积 先 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了各种分 维数的求解方法并作了简要评述，指出各种分维数间的联系与差别。然后总结了分形理论在 岩土体孔隙率、水分特征曲线、渗透性、土体强度方面的主要研究成果。本文用不同的方法 得到了与 Rieu等人相似的孔隙率表达式，与徐永福等人相似的水分特征曲线，用与 Bonala 不同的方法解释了土体凝聚力与尺寸之间的关系。 关键词:岩土工程;分形理论;分维数;应用 中图分类号:TU 443 0 引言 岩土介质的微观、细观研究是 21世纪的岩土工程中的热门课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，微观、细观的定量化 指标将有望与宏观特性准确联系起来，可能会从一个新的角度去解释岩土工程中的复杂现 象，去解决工程中的难题。而分形理论的出现为岩土体的微观、细观研究提供了一种简便、 有效的工具。对于分形理论在岩土工程的应用，按研究的先后顺序分为三步:一是岩土体中 是否存在分形现象，二是如何准确求解岩土体中的分维数，三是如何将这些分维数与岩土体 的宏观特性联系起来。对于第一点，分形现象在岩土体中存在已成为共识;对于第二点，实 质上是分形理论在岩土工程应用的基础，分维数无法求得或者无法准确求得必将导致分形理 论应用的失败。到目前为止，岩土工作者提出了很多分维数，还没有进行系统的归纳并给出 明确的定义，所以已经造成了“同一分维数不同定义，不同分维数的同一求法”，这势必影响 分形理论在岩土工程的正确应用。对于第三点，是人们最感兴趣的，也是分形理论在岩土工 程中应用的关键。本文针对第二点及第三点，对分形理论在岩土工程应用的主要成果作了总 结，并给出了简要评述，提出了一些新观点，这些对于分形理论在岩土工程应用有积极的意 义。 1 岩土体中的分维数 1.1 颗粒的分维数 1.1.1 颗粒数量—粒径分布分维数 1986年 Turcotte[1]根据分形的概念提出的颗粒数量—粒径的分形模型可表示为 ( ) DN r R R??> ? (1) 式中:N(r > R)为粒径大于 R的颗粒数量;D为颗粒数量—粒径分布分维数。 与式(1)相似的另外两种颗粒数量—粒径的分形模型可表示为[2] ( ) DN R CR??> = (2) ( ) DN R CR??=? (3) 式中: V 2(3 )/( )DC D DK L??= ?? 为常数;KV为颗粒体积形状因子; 2L 为所考虑的岩土体的总尺度。 - 2 - 式(2)、(3)成立的条件是 maxR R>> ， maxR 为最大颗粒粒径。应指出的是，有些学者计算 的分维数大于 3，没有满足这个条件。 若相邻粒径区间的平均粒径 R1, R2(R1< R2)，满足 2 1(1 ) /(1 )R k R k= + ?? ，文献[2]提出了 另外一种颗粒数量—粒径分布分形模型 **( ) DN R C R??= (4) 式中:N(R)表示平均粒径为 R的粒径区间的颗粒总数目， ** *[(1 ) (1 ) ] /D DC C k k D?? ??= ?? + ?? ?? 为 常数;k为实数 (0<k<1)。 上述分形模型是求解颗粒数量—粒径分布分维数的工具，理论上式(1) ~ (4)中的分维数 相等。只要有了颗粒数量—粒径分布的实测数据，便可以利用颗粒数量—粒径分布分形模型 求得颗粒数量—粒径分布分维数。但是由于颗粒数量实测比较困难，迄今这方面的实测数据 较少，张季如等人应用计算机图像技术获得了颗粒数量—粒径分布的数据并 求得了相关分维 数[3]。 1.1.2 颗粒质量—粒径分布分维数 正是因为颗粒数量—粒径分布的实测数据很难得到，在假设颗粒密度相同的条件下, Tyler等人[4]推导出颗粒质量—粒径分布的分形模型为 3 T L ( ) D M r R R M R ???? ??< = ?? ???? ?? (7><5) 式中:M(r < R)为颗粒尺度小于R的颗粒质量;MT为颗粒总质量;RL为最大颗粒尺度。 由于颗粒的质量分布很容易得到，故国内外关于颗粒的分维数大多是利用式(<5)进行计 算，他们计算了不同质地的土体的分维数的变化，认为颗粒质量—粒径分布分维数随粘粒的 含量增大而增大，故有学者用此分维数来定量描述土体沙漠化程度，另外一些学者认为颗粒 质量—粒径分布分维数与土壤有机含量等特性存在明显的线性相关[<5~12]。 1.1.3 颗粒体积—粒径分布分维数 利用颗粒粒径分布密度函数 f (R) [2]可得到颗粒尺度小于R的颗粒体积 ( )V R? ，进行简单 变形可得到 3 0 max ( ) D V R R V R ???? ??? = ?? ???? ?? (6) 式中: 0V 为颗粒总体积; maxR 为最大颗粒粒径，这与王国梁提出颗粒体积—粒径分布分形 模型一致。 利用激光粒度分析仪很容易得到颗粒体积—粒径分布实测数据，国内王国梁对不同利用 方式下土壤的颗粒体积—粒径分布分维数进行计算，得出了一些有益的结论[13]。理论上讲， 在相同体积形状因子的情况下，式(1)~(6)计算的分维数应该相等，实际测量的结果可能是不 一样的。 分布分维数 1.1.4 颗粒原状面积(体积) 上述颗粒分维数求解时都需要对土体颗粒进行分散后测量颗粒分布情况，实质上不能反 应土体原状特性，反应原状特性的分维数应为颗粒原状面积(体积)分布分维数。颗粒原状面 积(体积)分布分维数的计算方法有两种，一种是利用盒计数法，盒计数法是分形理论的一种 基本方法，它一般依靠土壤切片及数字图像技术计算不同分辨率的情况下土体颗粒所占据的 - 3 - 方格数，然后利用分形理论的基本知识求得。这种方法已得到广泛应用。 另外，文献[2]推导的一种分形模型为 2 2 ( ) 1 D a rA r A L ????5 ???? ???? ??= ?? ?? ???? ???? ???? ?? ? (7) 式中: ( )A r? 为孔径大于或等于 r的孔隙面积; Aa为考虑范围内岩土 体总面积;D为颗粒 原状面积分布分维数。 在已知孔隙分布的情况下可以通过上式求得颗粒原状面积分布分维数。利用 土壤切片及 数字图像技术或汞压技术都可以测量孔隙的分布，从而可以利用式(7)计算相应的分维数。 值得说明的是相同条件下盒计数法计算的颗粒原状面积分布分维数比式(7)的要稍大，因为 盒计数法可能把已经辨别的孔隙的一部分面积计算在颗粒所占据的方格内。 1.1.<5 颗粒表面分布分维数 颗粒表面分布分维数用来描述颗粒表面的粗糙程度，目前研究少见。可通过测量轮廓线 的分维数来表示颗粒表面分布分维数。 1.2 孔隙的分维数 1.2.1 孔隙数量—孔径分布分维数 文献[2]指出孔隙数量—孔径分布分维数可根据与式(2)~(4)形式一致的模型来计算，只不 过将公式中的粒径换成孔径，公式的适用条件都一致。孔隙数量的测量一般利用数字图像技 术计算，文献[2]做了一些相关工作。 1.2.2 孔隙体积—孔径分布分维数 利用孔隙孔径分布密度函数 f (r)[2]，可求可得如式(6)相似的分形模型 3 0 max ( ) D V r r V r ???? ??? = ?? ???? ?? (8) ( )V r? 为孔径小于或等于 r的孔隙体积; 0V 为孔隙总体积; 式中: maxr 为最大孔径;D为孔 隙体积—孔径分布分维数。 在基于相同的孔隙体积—孔径分布实测数据，式(8)计算的孔隙体积—孔径分布分维数 要比利用与式(7)相似的模型计算的颗粒原状体积分布分维数要偏大，因为式(8)中没有考虑 颗粒体积。 基于压汞技术可测得相关数据，利用式(8)便可以求得孔隙体积—孔径分布分维数。值 得说明的是式(8)成立的条件是最小孔径趋近于 0，但实际测量时很难测得从真实最小孔径累 计体积。 1.2.3 孔隙原状面积(体积)分布分维数 孔隙原状面积(体积)分布分维数与颗粒原状面积(体积)分布分维数求解方法相似，直接 利用盒计数法或者利用与式(7)形式相似的模型，通过测量颗粒面积(体积)的分布来求得。一 般孔隙率越大则孔隙原状面积(体积)分布分维数越大。 1.2.4 孔隙表面分布分维数 孔隙表面分布分维数用来表示孔隙边界的粗糙程度，孔隙表面分布分维数有两种，一种 是针对单个孔隙的表面分布分维数，另一种是以孔隙整体作为研究对象得出的表面分布分维 //.paper.edu.cn - 4 - 数，应与以原状颗粒整体作为研究对象得出的颗粒表面分布分维数相等。前一种可通过盒计 数法结合数字图像技术计算[14]，后一种可通过分子吸附法求得[1<5]，这两种分维数应该存在 一定的内在联系，但未见相关报道。 2 岩土工程中分维数的应用 2.1 利用分维数求孔隙率 Katz 和 Thompson[16]使用扫描电子显微镜和光学显微镜证明砂岩的孔隙率φ可以表示 为 3 1 2( / ) DA L Lφ ??= (9) 式中:A为常数; L1是测量尺度; L2是计算孔隙率所考虑岩土体的范围; D实质为孔隙 原状面积分布分维数。 对于式(7)进行简单变形，我们可得到 2 2 1 D r L φ ???? ??= ?? ?? ???? ?? (10) 式中:φ为孔径大于或等于 r (同样可理解为观测尺度)的孔隙所代表的孔隙率;D 为颗粒原 状面积分布分维数。 文献[2]证明软黏土满足式(7)，从而证明了式(10)的正确性。实质上，式(10)与文献[17] 中不完全破碎体的孔隙率表达式相似，但它们中的分维数的定义不同。 2.2 利用分维数求非饱和土的水分特征曲线 迄今为止，有许多学者提出了不同的非饱和土的水分特征曲线模型，有的是利用颗粒 质量—粒径分布分维数建立的，有的是利用孔隙表面分布分维数建立，有的 利用孔隙体积— 孔径分布分维数求得。非饱和土的水分特征曲线模型应该直接和孔隙的分布有关，故采用 孔隙体积—孔径分布分维数建立的非饱和土的水分特征曲线模型是最为准确的，这类分形 模型主要有: Rieu等在 Childs 和 Collis-George的研究基础上，提出的水分特征曲线模型为[17] [ ]1/( 3)(1 ) Doh h φ θ ??= ?? + (11) 式中:h 为基质吸力;ho为进气值;φ为孔隙率;θ为体积含水率;D 为孔隙体积—孔径分 布分维数。 Perrier等在 Pfeifer和 Avnir的研究基础之上认为水分特征曲线模型可表示为[18] 3 T 1 D o s o V h V h θ θ ???? ???? ???? ???? + =?? ???? ???? ???? ?? (12) 式中: sθ 为饱和土的体积含水率; TV 为土体总体积; oV 为一常数， 当最小孔径趋近于 0时， oV 被看作是孔隙总体积时，可认为 sθ = /o TV oV 便是孔隙总体积。当 V ，则式(12)变为 3D s o h h θ θ ???? ??= ?? ???? ?? (13) 只要把残余含水量看成是土体颗粒的一部分时，式(13)变为: 3D e o hS h ?? ??= ?? ???? ?? ?? (14) //.paper.edu.cn - <5 - 式中: eS 是有效饱和度。式(14)与文献[19]中的水分特征曲线模型一致， 不过值得说明的是， 文献[19]中水分特征曲线模型是以孔隙数量—孔径分布分维数为基础建立 的，但实际测量时 孔隙数量—孔径分布分维数与孔隙体积—孔径分布分维数不一定相等。 2.3 利用分维数求土体渗透系数 郁伯铭基于一种表征毛细管曲度的分维 DT并根据 Hagen-Poiseulle方程 和 Darcy定律得 到多孔介质的渗透率的表达式为[20] 1 30 max128 3 T T D f D T f DL K A D D π λ ?? += + ?? (1<5) 式中: maxλ 为最大孔径;A 为考虑范围的总面积;L0为通道代表性长度; fD 为孔隙数量— 孔径分布分维数。实质上毛细管曲度的分维数 DT 很难准确测量，再者式(1<5)推导过程中认 为小孔隙和小孔隙形成孔隙通道，但实际上小孔隙也有可能和大孔隙联通，所以有一定的局 限性。 Mualem给出了一种统计孔隙大小分布模型，它把多孔介质看成一系列相互连接、随机 分布的孔隙[21]。基于Mualem的研究成果，文献[19]给出了一种非饱和土的相对渗透系数的 表达式为 ( )(3 11) /(3 )D Dr ek S ?? ??= ，其中D为孔隙体积—孔径分布分维数。 2.4 分维数在土体强度中的应用 徐永福结合Bishop和Blight的非饱和土的有效应力公式和非饱和土有效饱和度的定义， 给出了非饱和土由基质吸力引起的强度表达式为[22] 3 2 'tanD Ds oh hτ φ?? ??= (16) 式中:D为孔隙体积—孔径分布分维数; 'φ 为有效内摩擦角。 Bonala 用分形理论解释了黏土凝聚力随着土样尺寸的增大而减小的现象[23]。实质上可 用(10)式来完成他的推导过程。在式(10)中若将观测尺度 r看作土样的尺寸 L，而 2L 为考虑 土样最大尺寸( 2L > L )。在 2L 的范围内，尺度为 L的土样总面积为 2 22 2(1 ) /D DL L Lφ ?? ???? = ，假 设相对于土样 2L 的凝聚力为 0C ，相对于土样 L的凝聚力为 iC ，因为孔隙并不能产生凝聚力， 故土样 2L 凝聚力产生的合力应与所有尺度为 L的土样凝聚力产生的合力相等，即 2 2 0 2 2 D i D LC L C L ?? ??= (17) 对式(17)进行简单变形可得 2 0 2 D iC L C L ???? ??= ?? ???? ?? (18) 从式(18)可知，凝聚力随着土样尺寸的增大而减小。 3 结论 分形理论在岩土工程中应用的核心是分维数的准确求解，分维数求解时要注 意区分分维 数的种类及其意义，以免发生分维数的错用。在分维数的应用方面，目前为 止多集中在岩土 体孔隙率、水分特征曲线、渗透性、土体强度方面，而且孔隙体积—孔径分 布分维数、颗粒 (孔隙)原状面积分布分维数在研究岩土体原状特性时的潜力比较明显。虽然分形理论在岩土 工程的应用取得了一定的成果，但应该说还处于研究的初期阶段，还有很多问题待以解决， //.paper.edu.cn - 6 - 如: (1) 测量方法或手段上如何提高颗粒或孔隙特性的测量准确性。 (2) 在数据处理上，如何求得真实反应岩土体特性的分维数。 (3) 目前分维数应用范围比较窄，一些应用成果仍然期待更多实验来验证。如何将分维 数与岩土体宏观特性准确联系起来还有很多工作要做。 (4) 实际上，岩土体中只存在近似的分形，严格意义上的分形并不存在。所以，目前的 研究成果准确性有待提高，这方面的工作任务更加艰巨。 参考文献 [1] Turcotte D L. Fractals and fragmentation[J]. J Geophys Res B, 1986,91(2): 1921-1926. [2] 陶高梁, 张季如. 表征孔隙及颗粒体积与尺度分布的两类岩土体分形 模型[J]. 科学通报, 2009, <54(6): 6-846. TAO G L, ZHANG J R. Two categories of fractal models of rock and soil expressing volume and size-distribution of pores and grains[J]. Chinese Science Bulletin, 2009, <54, doi: 10.1007/s11434-009-0243-y. [3] 张季如, 朱瑞赓, 祝文化. 用粒径的数量分布表征的土壤分形特征[J]. 水利学报, 2004, (4): 67-71, 79. ZHANG Jiru, ZHU Ruigeng, ZHU Wenhua. 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The fractal theory and its applications in geotechnical engineering Tao Gaoliang, Zhang Jiru School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan (430070) Abstract It is pointed out that the fractal dimension of grains can be divided into the fractal dimension of grain number vs particle-size，the fractal dimension of grain mass vs particle-size，the fractal dimension of grain volume vs particle-size，the undisturbed grain area (volume) fractal dimension and the grain surface fractal dimension and the fractal dimension of pores can be divided into the fractal dimension of pore number vs pore-size，the fractal dimension of pore volume vs pore-size，the undisturbed pore area (volume) fractal dimension and the pore surface fractal dimension in this paper. At first, the resolving means of these fractal dimensions are presented and the relations and differences among them are clarified. Afterward, the main applications of the fractal theory in the porosity, soil-water characteristics, permeability and soil strength are presented. The porosity expressions similar to the Rieu’s, the expression of soil-water characteristics similar to Xu’s and the expression of the relationship between cohesion and sample size similar to Bonala are gained by different ways in this paper. Keywords:geotechnical engineering; fractal theory; fractal dimension; applications 作者简介: 陶高梁(1979-)，男，博士研究生; 张季如，通信联系人;男，博士，教授，博士生导师;E-mail: zhangjr@whut.edu.cn。