另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力
要求
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高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题．
1 两个结论，解题的切入点
数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。
1.1 线段中点坐标公式
平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(
,
).
证明 ： 如图1，设AB中点P的坐标为(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=
，同理yP=
，所以线段AB的中点坐标为(
,
).
1.2 平行四边形顶点坐标公式
□ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.
证明： 如图2，连接AC、BD，相交于点E．
∵点E为AC的中点，
∴E点坐标为(
,
).
又∵点E为BD的中点，
∴E点坐标为(
,
).
∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
2 一个基本事实，解题的预备知识
如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．
3 两类存在性问题解题策略例析与反思
3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题
例1 已知抛物线y=x2-2x+a(a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=
x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.
(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M( ), N( )；
(2)如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
解：(1)M(1,a-1)，N(
,-
)；(2)a=-
；S四边形ADCN=
；
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(
,-
).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：
,∴
.
∴P1(
,-
)；
②当以AN为对角线时，得:
,∴
(不合题意，舍去).
③当以CN为对角线时，得:
,∴
.
∴P2(-
,
).
∴在抛物线上存在点P1(
,-
)和P2(-
,
)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.
3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题
例2 如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为
顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.
解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=
；
(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，
设点P坐标为(m,
).
尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，
∴m=-4，∴P1(-4,7)；
②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,
)；
③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).
综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,
)、P3(2,-1).
反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.
例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
解：（1）易求抛物线的解析式为y=
x2+x-4；
（2）s=-m2-4m(-4
方法
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解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.
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