28现代数学及其发展

现代数学及其发展 1 概率论 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 随机现象是指这样的客观现象，当人们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面；测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐；等等。这些都是随机现象。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件又通称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。人们在长期实践中已逐步觉察到某些这样的规律性，并在实际中应用它。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是概率论中的随机过程。研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。总之，概率论与实际有着密切的联系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。概率论还是数理统计学的理论基础。 发展简史。概率论有悠久的历史，它的起源与博奔问题有关。16世纪，意大利的的一些学者开始研究掷银子等赌博中的一些简单问题，例如：比较掷两个银子出现总点数为9或10的可能性大小。17世纪中叶，法国数学家B．帕斯卡、P．de费马及荷兰数学家C．惠更斯基于排列组合的方法研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了“合理分配赌注问题”(即“得分问题”)、“输光问题”等等。其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今称之为数学期望的概念。使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数律。拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总结前人工作的基础上，写出了《概率的分析理论》(1812年出版)。在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义(通常称为古典概率)，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，将概率论推向一个新的发展阶段。到20世纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论日臻完备。在这期间，由于实际问题的需要，人们开始研究随机过程。1905年A．爱因斯坦和R．斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。1907年马尔可夫提出了现今称之马尔可夫链的概念；而马尔可夫过程的理论基础则由柯尔莫哥洛夫在1931年所确定。莱维建立了独立增量过程的一般理论。他的著作《随机过程与布朗运动》(1948)至今仍是随机过程理论的一本经典著作。现代概率论的另外两个代表人物是J．L．杜布和伊藤清，前者创立了鞅论，后者创立了布朗运动和随机积分理论。 应用。在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时产生级联(或倍增)现象，在研究电子一光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到最新过程的概念。湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。 化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题，自动催化反应，单分子反应，双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程来描述。 随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生勉模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等。 许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。 概率论进入其他科学领域的趋势还在不断发展。值得指出的是，在纯数学领域内用概率论方法研究数论问题已有很好的结果。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。 2 计算数学 计算数学是数学科学的一个分支。它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。另外，有一个较常用的名词“数值分析”，其包含的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 属于计算数学的一部分。 计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的、更有效的算法及其理论基础；反过来，在许多数学分支的研究中开始探索运用计算的方法。近年来，由于计算机的发展及其在各种科学技术领域的应用的推广与深化，计算性的学科新分支纷纷兴起，如：计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算经济学以及众多工程科学的计算分支。计算数学是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，因此，计算数学是一门兼具基础性、应用性和边缘性的数学学科。 历史沿革。在每个人生活中的数学活动总是以记数和计算开始的，而且终其一生。计算即便不一定是数学活动的全部，但总也是与生活联系最直接、最密切的一环。在人类的数学发展历史上，计算也占有类似的地位。数学最初源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。 中国古代数学曾有辉煌的成就，而尤以计算性和实用性见胜。中国在公元前14世纪的商代就基本形成了十进的位值记数制，而在印度则直到公元6世纪才出现，流传到西方则更晚。中国春秋战国时期就形成并发展了算筹，作为通用、有效的计算工具。以后又改进演化成算盘，相应发展了珠算方法。中式算盘及其变种在世界上许多国家一直沿用至今。 公元前2世纪中叶希腊阿基米德提出曲直转化极限趋近的方法，并据此算出有一定精确度的圆周率 值。中国北魏的刘徽也独立地提出类似的思想，发展了“割圆术”，计算出 3．1416。5世纪中国南北朝时代的祖冲之发展了缀术，据此算出更为精确的 值，领先世界1000多年。 在代数方程解法方面，中国古代有很高的成就，公元前1世纪汉代《九章算术》一书记载了开平方和开立方的算法，书中所述的解一元二次方程的盈不足法就是13世纪后在欧洲出现的“试位法”。关于高次代数方程的近似解法在《九章算术》中已具雏形，宋代秦九韶(1247)和元代朱世杰(1303)给以发展完善，相当于近代的霍纳算法(1819)。 15世纪欧洲资本主义工商业兴起，科学技术有了新发展，数学发展的主要舞台移至欧洲。以解析几何学及微积分学为标志，近代数学开始形成发展，数值计算方法也有相应的进步。 到了20世纪40年代，电子计算机诞生了，这是人类计算工具的一项革命性进展。使得以前不能设想的、难度和规模都十分大的问题，在技术上成为可行的，也使原来分散在数学各分支的计算方法组合成一门新的数学科学——计算数学。 研究内客。概括地说，整个计算数学研究的内容大致可分为两个大的方面：离散型方程的数值求解；连续系统的离散化。计算数学理论的基本概念有：误差、稳定性、收敛性、计算量、存贮量、自适应性等。这些概念是用来刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性。从数学问题的来源或类型看，计算数学则可包括数值代数、最优化计算、数值逼近、计算几何、计算概率统计、数学物理方程数值解等。 3 数理逻辑 数学逻辑又称符号逻辑、理论逻辑或逻辑斯蒂，是数学的一个分支，是用数学方法研究的逻辑或形式逻辑。 20世纪第一本由D.希尔伯特与W阿克曼合著的著名的数理逻辑读本称数理逻辑为理论逻辑。所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，使用已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法；形式的公理方法也称为逻辑斯蒂方法。由于数理逻辑的学科性质，它自然地成为一门数学，即逻辑数学。用数学方法研究逻辑的系统的思想，一般溯源到G.W.莱布尼茨，萌发于古希腊的亚里士多德。后经一些数理逻辑的先驱者沿着莱布尼茨的思想对数理逻辑进行了实质性的工作，从而使其逐步完善和发展起来。 另外一些逻辑，如时态逻辑、道义逻辑、认识逻辑等等，及其它学科中涉及逻辑问题而形成的“逻辑”，如量子逻辑、计算机逻辑、程序逻辑等等，如果承认它们都是逻辑，那也都是数理逻辑。因为它们都是用数学工具和数学方法来研究的。在进入70年代之后，由于科学技术的发展，在各领域中都涉及思维的逻辑规律问题，从各方面要求密集各种知识，澄清各种逻辑问题，因此，数理逻辑及其应用正在迅速地发展。在这种情况下，最广义的数理逻辑的体系结构实在难以作出明确的刻画。但是，从总的发展趋势看，对于最广义的数理逻辑来说，数学逻辑的内容是基础，是数理逻辑发展的重点。 4 数理统计学 数理统计学是通过对样本的分析来推断某一总体的特性的科学，在生产生活中有着广泛的应用。工厂要检查所生产一批罐头的质量，是否需要将所有的罐头都打开来一一检查？很显然，这是不合理的，因为如果那样做，尽管所有罐头的质量都得到了检验，但同时也都被破坏了。通常的做法是从生产的罐头中抽取一部分作为样本进行检查，由此来推断整批罐头（即要研究的总体）的质量。 如果要研究一个国家的人口问题，如平均身高、平均寿命等，往往从各个地区选取一部分人作为样本，对他们进行研究，因为要对整个国家的人口进行调查将需要大量的人力、物力。要研究一个地区某一月份的平均降雨量，因为远古岁月中这一月份的降雨量没有记录，而以后的岁月又将是无穷无尽的，我们不可能统计完所有这一月份的降雨量，所以只能根据现有的资料对总体进行研究。 当然，数理统计学并不能提供一个准确无误的结论，而是帮助我们做出某种合理的推断和决策。正因为这样，数理统计学在20世纪得到了极大的普及，几乎渗透到了各个领域，凡是有实验和数据之处，就会有数理统计学的存在。 5 数论 数论是研究整数整除性为主的数学分支。它与几何学一样，既是最古老的数学分支，又是始终活跃着的数学研究领域。从方法上讲，数论可分为初等数论，解析数论与代数数论。 自然数可分成1、素数和复合数。为了刻画自然数的基本规律，早在公元前4世纪，欧几里得证明，每个复合数都可以表成素数的乘积，并指出，如果素数因子从小到大，自左至右排列，则此种分解是唯一的。这又称为算术基本定理。素数分布是数论最早研究的课题之一。欧几里得曾证明素数有无穷多个。他还给出了求两个自然数的最大公约数的算法，即欧几里得算法。大约在公元前250年，埃拉托斯特尼发明一种筛法，可以求出不超过某个自然数 的全部素数。后来的素数表都是通过对这一方法略加改变而得出来的。 数论中求解的不定方程，大约是在公元250年，丢番图研究过这种方程，所以又称丢番．图方程。最简单的不定方程为一次方程 ，此处 为整数，且互素。借助于欧几里得算法，可以求出它的解。中国古代即有关于不定方程的研究记载，如五世纪的《张丘建算经》中的“百鸡问题”及《孙子算经》中的“物不知其数”都属于一次不定方程问题。 研究将整数表为某种整数之和的问题，这一数论分支称为堆垒数论。如，研究将整数表为正整数的 次方幂之和的问题，属于华林问题范畴。又如，每一不小于4的偶数恒可以表为两个素数之和，就是至今尚未解决的哥德巴赫猜想。 定义于自然数集上的函数，称为数论函数。研究数论函数阶性质，也是数论的一个重要课题。 特殊类型的数，是数论最早研究的对象之一。例如，形如 的数，称为费马数。当 0，1，2，3，4，时， 都是素数。P．de费马猜测 都表示素数，但L．欧拉证明了 能被641整除。又例如，形如 ( 为素数)的素数，称为梅森素数。是否有无穷多个梅森素数，仍是没有解决的问题。现已知道的梅森素数有30个，其最大者为 。这是采用特殊的方法，并借助于电子计算机，于1985年发现的，它有65050位。