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任意角的三角函数教案.doc

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上传者: lv绿色的夏天 2017-10-11 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《任意角的三角函数教案doc》,可适用于人文社科领域,主题内容包含任意角的三角函数教案苏可前教学目标:一、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。二、根据三角函数的定义,能够判断三角函数值的符号。三、通过学生积极参与符等。

任意角的三角函数教案苏可前教学目标:一、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。二、根据三角函数的定义,能够判断三角函数值的符号。三、通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程,培养合情猜测的能力,从中感悟数学概念的严谨性与科学性。教学重点与难点:重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义三角函数值的符号。难点:任意角的三角函数概念的建构过程。授课过程:一、引入在我们的现实世界中的许多运动变化都有循环往复、周而复始的现象,这种变化规律称为周期性。如何用数学的方法来刻画这种变化从这节课开始,我们要来学习刻画这种规律的数学模型之一――三角函数。二、创设情境三角函数是与角有关的函数,在学习任意角概念时,我们知道在直角坐标系中研究角,可以给学习带来许多方便,比如我们可以根据角终边的位置把它们进行归类,现在大家考虑:若在直角坐标系中来研究锐角,则锐角三角函数又可怎样定义呢学生情况估计:学生可能会提出两种定义的方式,一种定义为边之比,另一种定义在比值中引入了终边上的一点P的坐标。问题:、锐角三角函数能否表示成第二种比值方式、点P能否取在终边上的其它位置为什么、点P在哪个位置,比值会更简洁(引出单位圆的定义)。指出sina=MP的函数依旧表示一个比值,不过其分母为而已。练习:计算的各三角函数值。三、任意角的三角函数的定义角的概念已经推广道了任意角,那么三角函数的定义在任意角的范围里改怎么定义呢尝试:根据锐角三角函数的定义,你能尝试着给出任意角三角函数的定义吗评价学生给出的定义。给出任意角三角函数的定义。四、解析任意角三角函数的定义三角函数首先是函数。你能从函数观点解析三角函数吗(定义域)对于确定的角a,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数。由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应,三角函数可以看成是自变量为实数的函数。五、三角函数的应用。已知角,求a的三角函数值。已知角a终边上的一点P(,),求各三角函数值。以上两道书上的例题,让学生自习看书,学生看书的同时,老师提出问题:、已知角如何求三角函数值、利用角a的终边上任意一点的坐标也可以定义三角函数,你能给出这种定义吗(这种定义与课本中给出的定义各有什么特点)、变式:已知角a终边上点P(b,b),(b),求角a的各三角函数值。、探究:三角函数的值在各象限的符号。六、小结及作业任意角的三角函数说课稿:苏可前这节课主要是根据三角函数的定义,导出同角三角函数的两个基本关系式sinacosa=与,并初步进行这些公式的两类基本应用教学重点是公式sinacosa=与的推导及以下两类基本应用:()已知某角的正弦、余弦、正切中的一个,求其余两个三角函数()化简三角函数式及证明简单的三角恒等式其中,已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时,正负号的选择是本节的一个难点,正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键证明恒等式是这节课的另一个难点课堂上教师应放手让学生独立解决问题,优化自己的解题过程教学目标让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、研究能力理解和掌握同角三角函数的基本关系式,并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题,培养学生的运算能力,逻辑推理能力通过同角三角函数基本关系的学习,揭示事物之间的普遍联系规律,培养学生的辩证唯物主义世界观任务分析这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式:sinacosa=及,并进行初步的应用由于该节内容比较容易,所以,课堂上无论是关系式的探索还是例、习题的解决都可以放手让学生独立完成,即由学生自己把要学的知识探索出来,并用以解决新的问题必要时,教师可以在以下几点上加以强调:()"同角"二字的含义()关系式的适用条件()化简题最后结果的形式()怎样优化解题过程教学设计一、问题情境教师出示问题:上一节内容,我们学习了任意角α的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线,你知道它们之间有什么联系吗你能得出它们之间的直接关系吗二、建立模型引导学生写出任意角α的六个三角函数,并探索它们之间的关系在角α的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离是r(r>),则角α的六个三角函数值是推导同角三角函数关系式引导学生通过观察、分析和讨论,消元(消去x,y,r),从而获取下述基本关系()平方关系:sinacosa=()商数关系:t:说明:当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时,部分学生可能会利用三角函数线,借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论对于这种推导方法,教师也应给以充分肯定,并进一步引导学生得出|sinα||cosα|除以上两个关系式外,也许部分学生还会得出如下关系式:教师点拨:这些关系式都很对,但最基本的还是()和(),故为了减少大家的记忆负担,只须记住()和()即可以上关系式均为同角三角函数的基本关系式教师启发:()对"同角"二字,大家是怎样理解的()这两个基本关系式中的角α有没有范围限制()自然界的万物都有着千丝万缕的联系,大家只要养成善于观察的习惯,也许每天都会有新的发现刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢三、解释应用例题已知sinα=,且α是第二象限角,求角α的余弦值和正切值已知tanα=,且α是第二象限角,求角α的正弦和余弦值说明:这两个题是关系式的基本应用,应让学生独立完成可选两名同学到黑板前板书,以便规范解题步骤变式在例中若去掉"且α是第二象限角",该题的解答过程又将如何师生一起完成该题的解答过程解:由题意和基本关系式,列方程组,得由,得sinα=cosα,代入整理,得cosα=,cosα=tanα=<,角α是第二或第四象限角当α是第二象限角时,cosα=,代入式,得当α是第四象限角时,cosα=,代入式,得小结:由平方关系求值时,要涉及开方运算,自然存在符号的选取问题由于本题没有具体指明α是第几象限角,因此,应针对α可能所处的象限,分类讨论变式把例变为:已知tanα=,求的值解法:由tanα=及基本关系式可解得针对两种情况下的结果居然一致的情况,教师及时点拨:观察所求式子的特点,看能不能不通过求sinα,cosα的值而直接得出该分式的值学生得到如下解法:由此,引出变式已知:tanα=,求(sinαcosα)的值有了上一题的经验,学生会得到如下解法:教师归纳、启发:这个方法成功地避免了开方运算,因而也就避开了不必要的讨论遗憾的是,因为它不是分式形式,所以解题过程不像"变式"那样简捷那么,能解决这一矛盾吗学生得到如下解法:教师引导学生反思、总结:()由于开方运算一般存在符号选取问题,因此,在求值过程中,若能避免开方的应尽量避免()当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n(nN且n)次幂的齐次式时,采用上述方法可优化解题过程练习当学生完成了以上题目后,教师引导学生讨论如下问题:()化简题的结果一定是"最简"形式,对三角函数的"最简"形式,你是怎样理解的()关于三角函数恒等式的证明,一般都有哪些方法你是否发现了一些技巧四、拓展延伸教师出示问题,启发学生一题多解,并激发学生的探索热情已知sinαcosα=,<α<,求tanα的值解法:由sinαcosα=,得反思:()解法的结果比解法的结果多了一个,看来产生了"增根",那么,是什么原因产生了增根呢()当学生发现了由sinαcosα=得到sinαsinαcosαcosα=的过程中,α的范围变大了时,教师再点拨:怎样才能使平方变形是等价的呢由<α<,且sinαcosα=<,sinα<,cosα<,且|sinα|>|cosα|,因此|tanα|>,只能取tanα=强调:非等价变形是解法出错的关键!点评这篇案例力求体现新课程理念下的以人为本的思想,充分发挥了学生的主体作用教师充当着学生学习的引导者、支持者和帮助者的角色教师和学生是本课的共同参与者,共同努力完成了这一节课的教学活动在这节课上,学生的积极性被充分调动起来,从而使学生在积极思维的活动中取得了成功并饱尝到了成功的喜悦案例中的教学活动体现了研究性学习和探索性学习的方法总之,充分调动学生数学学习的主动性,强调质疑和化疑,是这篇案例的成功之处“任意角三角函数的概念”教学反思苏可前()实际教学片段上课始教师用几何画板任意画一个锐角提出问题:“任意画一个锐角α借助三角板找出sinαcosαtanα的近似值(”然后走进学生中间观察他们的学习行为(结果发现有一部分同学画出角之后一片茫然(教师又不愿意把结果告诉学生提示同桌的两位同学可以商量一下并提示完成的同学请举手示意以便教师了解情况结果举手的人很少(之后教师提问一位举手的学生问:“你是怎么做的,”她要求上黑板教师非常赞成(她在黑板上画出一个直角三角形并不熟练地写出一个锐角的正弦是它的对边比斜边以及余弦、正切等三个三角函数(之后教师又与学生讨论了问题:能否把某条线段画成单位长有些三角函数值不用计算就可以得到,学生比较一致认为把斜边长画成单位长比较好为“单位圆定义法”做必要的铺垫(接着讨论问题:锐角三角函数sinα作为一个函数自变量以及与之对应的函数值分别是什么,在教师类比正方形的面积s,a的提示下学生说出锐角三角函数中自变量以及与之对应的函数值分别是角、比值最后讨论问题:你产生过这个疑问吗:“三角函数只有这三个,”有学生举手表示想过这个问题应该是六个另外三个可以把现有的三个倒一下得到(至此时间已经过去多分钟(()问题出在哪里问题在教学设计不够合理当中的“教学问题诊断分析”不够准确(没有准确把握学生的知识基础与认识能力对学生在学习中可能出现的困难估计不足(尤其是对学生关于锐角三角函数的理解估计过高(主要表现在两个方面一是初中学习锐角三角函数是在直角三角形中进行的并不要求给出一个锐角两边是射线求出它的三角函数值(二是并不要求把“锐角三角函数”作为函数来认识比如关注它的自变量是角对应的函数值是比值更不关心它的定义域、值域以及对应法则这些函数的要素(只要求运用符号sinAcosAtanA的意义来进行有关的计算等(现在要求学生从函数角度建立任意角三角函数概念这就失去了概念的上位支持(关于锐角三角函数在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中是在“空间与图形”的“图形与变换”部分(标准指出:“通过实例认识锐角三角函数(sinAcosAtanA)知道角的三角函数值会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值由已知三角函数值求它对应的锐角(”以及“运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题(”有教师认为不必复习锐角三角函数直接提出问题“同学们已经学习过锐角三角函数你认为应该怎样来定义任意角的三角函数,”这种“大撒手”的问题跨度太大学生更难回答(原因是对锐角三角函数的“函数”特征认识不足、理解不到位要让学生直接建立任意角的三角函数又要突出“函数”这一特征很困难(因此为建立任意角的三角函数的概念需要先复习初中锐角三角函数的概念因为从锐角(三角函数)到任意角(三角函数)又是由下位到上位的学习(教材要求首先把直角三角形中边长的比值扩展到坐标或者坐标的比值在直角坐标系中认识锐角三角函数并引导学生从“函数”的角度认识它也就是弄清自变量以及与之对应的函数分别是什么是必要的(()对教学的反思高中教师应该了解义务教育阶段的数学课程标准了解初中教材了解学生在初中学习过哪些内容尤其是相应的教学目标是什么关注学生的认知结构(应该做好初、高中的衔接工作不仅注意知识的衔接还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接为学习高中的相关内容做好铺垫(以为已经学习过锐角三角函数学生就能够把它理解为一种特殊的函数是一个明显的例子(教科书在节首提出的“思考”是:“我们已经学过锐角三角函数知道它们都是以锐角为自变量以比值为函数值的函数你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗”其实学生只知道锐角三角函数是直角三角形中边长的比值并不完全知道“它们都是以锐角为自变量以比值为函数值的函数”这就需要通过复习来帮助学生补上这一点(()讨论中老师们提出了许多有价值的教学应该遵循的一般规律以及一些先进的教学理念但是要求一节课全面体现各种先进教学理念去承担反映数学教学规律中太多的东西是不现实也是不应该的(课堂教学是一项实践性很强的工作除了认真的课前准备外对教学过程中出现的“突发事件”随机应变十分重要(教师需要关注学生的学习行为关注学生的认识过程随时修改自己的教学设计调整教学内容、教学要求改变策略选择恰当的方法实施教学以达到最佳教学效果(这一切都需要教师有很强的基本功(

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