2009年高考全国卷1文科数学试题及答案

2009年高考全国卷1文科数学试题及答案 2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修?) 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分(第I卷1至2页，第II卷3至4页(考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回( 第?卷 注意事项: 1(答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码(请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目( 2(每小题选出答案后，用2,铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号(在试题卷上作答无效( ((((((((( 3(本卷共12小题，每小题5分，共60分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 参考公式: 如果事件AB，互斥，那么 球的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积公式 2PABPAPB()()()，,，SR,4π RAB， 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 PABPAPB()()(), 球的体积公式 43AP 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 VR,π3 Rk 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 n kknk, PkCPPkn()(1)(01,2),,,，，，nn 一、选择题 sin585(1)的值为 2233,,(A) (B) (C) (D) 2222 (2)设集合A=,4，5，6，7，9,，B=,3，4，7，8，9,，全集=AB，则集合,(AB)u 中的元素共有 (A) 3个 (B) 4个 (C)5个 (D)6个 x，1，1(3)不等式的解集为 x,1 xx01，，(A) (B) xxxx011，，，,,,,,, (C) (D) xx,，，10xx，0,,,, 1,,(4)已知tan=4,cot=,则tan(a+)= a3 7777(A) (B) (C) (D) ,,11131113 22xy2,,1ab,，,00(5)设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的y,x，1，，22ab 离心率等于 (A) (B)2 (C) (D) 635 fx()f(1)(1)，g,gxx()10,，2lgx,(6)已知函数的反函数为，则 ，， (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 (7)甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中 各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 (A)150种 (B)180种 (C)300种 (D)345种 abc,,，a，b,cab，,(8)设非零向量abc、、满足，则 (A)150?B)120? (C)60? (D)30? (9)已知三棱柱ABCBC的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为ABCABC,A1111 AB的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 CC1 3573(A) (B) (C) (D) 4444 4,yx,，3cos(2),, (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 (,0)3 ,,,,(A) (B) (C) (D) 6432 0 ,,,,,,,,,(11)已知二面角为60，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q3 到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ,23 (A) (B) 2 (C) (D) 3 32 2x2Cy:1，,lAl,(12)已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若 2 ,则= AFFAFB,3 (A) (B) 2 (C) (D) 3 32 2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修选修?) ， 第?卷 注意事项: 1(答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码(请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目( 2(第?卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效( ((((((((( 3(本卷共10小题，共90分( 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分(把答案填在题中横线上( (注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 1037(13)的展开式中，3,的系数与的系数之和等于_____________. ()xy,xy (14)设等差数列的前项和为。若，则_______________. {}aSS,72aaa，，,nnn9249 OAOOAMOAM(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆 M3,O的面积为，则球的表面积等于__________________. 2(16)若直线被两平行线所截得的线段的长为，则lxylxy:10:30,，,,，,与m212 的倾斜角可以是 m 15304575 ? ? ? ? ? 60 其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号) 三(解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为， asbTnnnnnn已知的通项公式. ababTSb,,，,,,1,3,17,12,},{}求{a113333nn (18)(本小题满分12分)(注意:在试用题卷上作答无效) 22acb,,2在中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c.已知，且,ABC ，求b. sin4cossinBAC, (19)(本小题满分12分)(注决:在试题卷上作答无效) 如图，四棱锥SABCD,中，底面ABCD为矩形，SD,底面ABCD，，AD,2DCSD,,2，点M在侧棱SC上，。 ?ABM=60 ,证明:M是侧棱SC的中点; ，， ,,求二面角SAMB,,的大小。 ，， (20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 (?)求再赛2局结束这次比赛的概率; (?)求甲获得这次比赛胜利的概率。 (21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 42 已知函数. fxxx()36,,， fx() (?)讨论的单调性; yfx,() (?)设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的ll方程 (22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 2222 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、DEyx:,Mxyrr:(4)(0),，,, 四个点。 (?)求r的取值范围 (?)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。 一、选择题 osin585)的值为 (1 2233,,(A) (B) (C) (D) 2222 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。 2oooooosin585,sin(360，225),sin(180，45),,sin45,,解:，故选择A。 2 UAB,(2)设集合A=,4，5，7，9,，B=,3，4，7，8，9,，全集，则集合中ð()ABU的元素共有 (A) 3个 (B) 4个 (C)5个 (D)6个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。(同理1) AB,{3,4,5,7,8,9}解:，故选A。也可用摩根ABAB,？,{4,7,9}(){3,5,8}ðU 定律: 痧()()()ABAB, UUU x，1,1(3)不等式的解集为 x,1 xx01，，(A) (B) xxxx011，，，,,,,,, (C) (D) xx,，，10xx，0,,,, 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。 x，122,1,|x，1|,|x,1|,(x，1),(x,1),0,4x,0,x,0解:， x,1 故选择D。 1,,(4)已知tan=4,cot=,则tan(a+)= a3 7777 (B) (C) (D) (A),,11111313 【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。 ,,tan，tan4，37,,tan(，),,,,tan,,3解:由题，，故选择B。 1,tan,,tan,1,1211 22xy2,,1ab,，,00(5)设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的y,x，1，，22ab 离心率等于 (A) (B)2 (C) (D) 356 【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。 22bxxy,,1ab,，,00解:由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程y,，，22aab 222ax,bx，a,0b,4a,0整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即22，故选择C。 c,5a,e,5 fx()f(1)，g(1),gxx()10,，2lgx,(6)已知函数的反函数为，则 ，， (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 【解析】本小题考查反函数，基础题。 1，2lgx,1f(1),1g(1),1f(1)，g(1),2解:由题令得，即，又，所以，x,1 故选择C。 (7)甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 (A)150种 (B)180种 (C)300种 (D)345种 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。 211112解:由题共有CCC，CCC,345，故选择D。 562536 |a|,|b|,|c|,a，b,c,a,b,,(8)设非零向量、、满足，则 abc (A)150? (B)120? (C)60? (D)30? 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。 解:由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处abab的对角线长等于菱形的边长，故选择B。 (9)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为ABCBCABCABC,A1111的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ABCC1 3573(A) (B) (C) (D) 4444 ) 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。(同理7解:设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线AB与所成的BCACC,,，AAB111 ADAD3角,由三角余弦定理，易知,,，，,,,,.故选D csoscosAADDABco1AAAB41 4,yx,，3cos(2), (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么,的最小值为 (,0)3 ,,,,(A) (B) (C) (D) 6432 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。 4,,,，0解: 函数yx,3cos2，,的图像关于点中心对称 ，，,,3,, 4,,13,,由此易得.故选A ？,，,，||,？,,,2kkkZ(),,,,,min6326 0 ,,,,l,,,,(11)已知二面角为60，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q3到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 23, 【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。(同理10) 解:如图分别作 QAAAClCPBB,,,,,于于于,,, PDlD,于，连 CQBDACQPBD,60,则，,，,: ？,,ACPD2， AQBP,,23,3 222PQAQAPAP,，,，,1223又 点与点APAP,0当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。 2x2Cy:1，,lAl,(12)已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若2 ,则= AFFAFB,3 (A) (B) 2 (C) (D) 3 32 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。 解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,BMl,lFAFB,3 2222故.又由椭圆的第二定义,得||BF,,,.故选A ？,||2AF||BM,2333 2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修选修?) ， 第?卷 注意事项: 1(答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码(请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目( 2(第?卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效( ((((((((( 3(本卷共10小题，共90分( 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分(把答案填在题中横线上( (注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 107337(13)的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________. ()xy,xyxy 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。(同理13) rr10,rr373解: 因T,(,1)Cxy所以有,，,,,,,CCC()2240 r，110101010 (14)设等差数列的前项和为。若，则_______________. {}aSS,72aaa，，,nnn9249 【解析】本小题考查等差数列的性质、前项和，基础题。(同理14) n a解: 是等差数列,由,得 ？,Sa9,S,72a,8,,n9955 。 aaaaaaaaaa，，,，，,，，,,()()324？2492945645 (15)已知为球的半径，过的中点M且垂直于的平面截球面得到圆M，若圆OAOOAOA 的面积为，则球的表面积等于__________________. M3,O 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。 R2222,r,3,r,3解:设球半径为R，圆M的半径为，则，即由题得，R,(),3r2 22R,4,4,R,16,所以。 (16)若直线被两平行线所截得的线段的长为，lxylxy:10:30,，,,，,与m2212 的倾斜角可以是 则m 15304575 ? ? ? ? ? 60 其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号) 【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思 想。 |3,1|od,,230解:两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜mll111，1 o00o00o4530，45,7545,30,15角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写?或? m 三(解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，已知asbTnnnnnn 的通项公式. ababTSb,,，,,,1,3,17,12,},{}求{a113333nn 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和，基础题。 n q,0,,,,的公差为d，数列的公比为， 解:设abnn 2由得 ? ab，,1712317，，,dq33 2得 ? TS,,12qqd，,,433 q,2,d,2q,0由??及解得 n,1annb,，,,,,，12(1)21,32故所求的通项公式为。 nn (18)(本小题满分12分)(注意:在试用题卷上作答无效) 22acb,,2在中，内角的对边长分别为.已知，且,ABCABC、、abc、、 ，求. sin4cossinBAC,b 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 222a,c,b,2bccosA， 解:由余弦定理得 22又 ， a,c,2b,b,0 2b,2bccosA,2b， 即 ? b,2ccosA，2 bBsin由正弦定理得 ,cCsin 又由已知得 sin4cossinBAC, sinB， ,4cosAsinC 所以bcA,4cos ? 故由??解得 b,4 (19)(本小题满分12分)(注决:在试题卷上作答无效) 如图，四棱锥SABCD,中，底面ABCD为矩形，SD,底面 MABCD，，DCSD,,2，点在侧棱SC上，AD,2 ，,ABM60 M(?)证明:是侧棱SC的中点; (?)求二面角SAMB,,的大小。(同理18) 解法一: (I) MEMEABME,作?CD交SD于点E，则?，平面SAD 连接AE，则四边形ABME为直角梯形 MFAB,作，垂足为F，则AFME为矩形 222AEEDADx,，,,，(2)2MEx,SEx,设，则， 2MFAExFBx,,,，,,(2)2,2 。2MFFBxx,,,，,,tan60,(2)23(2)得由 解得 x,1 1即ME,1，从而 MEDC,2 所以M为侧棱的中点 SC 22(?)，又,所以,ABM为等边三角形， MBBCMC,，,2，,,ABMAB60,2 又由(?)知M为SC中点 222，故 SMSAAM,,,2,6,2SASMAMSMA,，，,,90 BGAMGHAM,,,取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则,由此知，BGH 为二面角的平面角 SAMB,, BH连接，在中， ,BGH 3122222BGAMGHSMBHABAH,,,,,，,3,, 2222 222BGGHBH，,6cos，,,,BGH所以 23,,BGGH 6arccos(),二面角SAMB,,的大小为 3 解法二: 以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设，则 A(2,0,0)BCS(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)(?)设,则 SMMC,，,,(0) 2222,, MMB(0,,),(2,,),1111，，，，,,,, 又 ABMBAB,,(0,2,0),,60 故 MBABMBAB,,,||||cos60 422,222,，，(2)()()即 ,,,111，，， ,,1解得，即 SMMC, 所以M为侧棱SC的中点 (II) 211G(,,)由，得AM的中点 MA(0,1,1),(2,0,0)222 231GBMSAM,,,,,,(,,),(0,1,1),(2,1,1)又 222 GBAMMSAM,,,,0,0 所以 GBAMMSAM,,, 等于二面角的平面角 因此SAMB,,GBMS, GBMS,6 cos,GBMS,,,3||||GBMS, 6arccos(),所以二面角的大小为 SAMB,,3 (20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假 设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2 局中，甲、乙各胜1局。 (?)求再赛2局结束这次比赛的概率; (?)求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综 合题。 jiBj(3,4,5),解:记“第局甲获胜”为事件，“第局乙获胜”为事件。 A(i,3,4,5)ji (?)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则 ，由于各局比赛结果相互独立，故 A,A,A，B,B3434 PAPAABBPAAPBB()()()(),,，,,,，,34343434 ,，PAPAPBPB()()()()3434 ,0.6，0.6，0.4，0.4,0.52 (?)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得 这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 ，由于各局比赛结果相互独立，故 B,A,A，B,A,A，A,B,A34345345 P(B),P(A,A，B,A,A，A,B,A)34345345 ,P(A,A)，P(B,A,A)，P(A,B,A)34345345 ,P(A)P(A)，P(B)P(A)P(A)，P(A)P(B)P(A)34345345 ,0.6，0.6，0.4，0.6，0.6，0.6，0.4，0.6,0.648(21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 42 已知函数. fxxx()36,,， fx()(?)讨论的单调性; yfx,()(?)设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方ll 程 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。 663fxxxxxx'()464()(),,,，,解:(?) 22 66fx'()0,,,x,0x,令得或; 22 66fx'()0,x,,0,x,令得或 22 666(,,0)(,，,)(,,,,)，，因此，在区间和为增函数;在区间和fx222 6(0,)为减函数。 2 ll(?)设点，由过原点知，的方程为， P(x,f(x))yfxx,'()000 因此， fxxfx()'(),000 423x,3x，6,x(4x,6x),0即， 00000 22整理得， (x，1)(x,2),000 解得或 x,,2x,200 因此切线的方程为或 ly,,2xyx,22 (22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 2222如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四Eyx:,Mxyrr:(4)(0),，,, 个点。 (?)求的取值范围 r (?)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交 点P的坐标。 2222解:(?)将抛物线代入圆的Mxyrr:(4)(0),，,,Eyx:, 2方程，消去， y 22xxr,，,,7160整理得 ? EM与有四个交点的充要条件是:方程?有两个不相等的正根 xx、12 22,,,,,,(7)4(16)0r ,由此得xx，,,70 ,12 ,2xxr,,,,160,12 152解得 ,,r164 又r,0 15(,4)所以的取值范围是 r2 Axx(,)Bxx(,),Cxx(,),Dxx(,)(II) 设四个交点的坐标分别为、、、。 11112222 152r,(,4)则由(I)根据韦达定理有xxxxr，,,,7,16， 12122 1则 Sxxxxxxxx,,,,，,,，2||()||()211221122 2222 ？,，,，，,，,,Sxxxxxxxxrr[()4](2)(7216)(415)12121212 2222S16,,rt令，则 下面求的最大值。 Stt,，,(72)(72) 方法1:由三次均值有: 122 Sttttt,，,,，，,(72)(72)(72)(72)(144)2 17272144128，，，，,ttt33 ,,,()()2323 157r,(,4)当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。 72144，,,ttt,26 Axx(,)Bxx(,),Cxx(,),Dxx(,):设四个交点的坐标分别为、、、 方法211112222 则直线AC、BD的方程分别为 ,x,xx，x2121 y,x,(x,x),y，x,(x,x)1111x,xx,x2121解得点P的坐标为(xx,0)。 12 72t,xx设，由及(?)得 t,16,rt,(0,)122由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积 1 S,(2x，2x)|x,x|12122 22S,(x，2xx，x)[(x，x),4xx]则 11221212 2xx,t将，代入上式，并令，得 f(t),Sx，x,71212 7232， f(t),(7，2t)(7,2t),,8t,28t，98t，343(0,t,)2 2?， fttttt'()2456982(27)(67),,,，,,，, 77ft'()0,t,,令得t,，或(舍去) 62 7777ft'()0,ft'()0,ft'()0,,t,0,t,当时，;当t,时;当时， 6662 7f(t)故当且仅当t,时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标6 7为(,0)6