等比数列计算公式：等差等比数列计算方法 等比数列计算公式

等比数列计算公式：等差等比数列计算方法 等比数列计算公式 等比数列计算公式:等差等比数列计算 方法 等比数列计算公式 话 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :等比数列计算公式 计算方法 数列 等差、等比数列的公式1(概念与公式:?等差数列:1?.定义:若数列{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列;2?.通项公式:an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d;3?.前n项和公式:公式:Sn?n(a1?an)2?na1?n(n?1)2d.?等比数列:1?.定义若数列{an}满足n?1n?kan?1an?q(常数)，则{an}称等比数列;2?.通项公式:a1?anq1?q?a1(1?q)1?qnan?a1q?akq;3?.前n项和公式:Sn?(q?1),当q=1时Sn?na1.2(简单性质:?首尾项性质:设数列{an}:a1,a2,a3,?,an,1?.若{an}是等差数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??; 2?.若{an}是等比数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??. ?中项及性质:1?.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A?2?.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G???设p、q、r、s为正整数，且p?q?r?s, 1?. 若{an}是等差数列，则ap?aq?ar?as; 2?. 若{an}是等比数列，则ap?aq?ar?as; ?顺次n项和性质: n2nk3na?b2;ab.1?.若{an}是公差为d的等差数列，则?a,?k?1nak,?ak?2n?13nk组成公差为n2d的等差数列;k?n?12nk2?. 若{an}是公差为q的等比数列，则当q=,1，n为偶数时这个结论不成立)?a,?k?1k?n?1ak,?ak?2n?1k组成公差为qn的等比数列.(注意:?若{an}是等比数列，则顺次n项的乘积a1a2?an,an?1an?2?a2n,a2n?1a2n?2?a3n组成公比这qn2的等比数列.?若{an}是公差为d的等差数列,1?.若n为奇数，则Sn?na中且S奇?S偶?a中(注:a中指中项,即a中?an?1,而S奇、S2偶指所有奇数项、所有偶数项的和);2?.若n为偶数，则S偶?S奇?练习 1(三个数nd22.1m,1,1n成等差数列,又m,1,n成等比数列,则B(,3或1C(1或32m?nm?n22的值为 ( )A(,1或3 D(,3或,1( )2(在等比数列{an}中,a7?a11?6,a4?a14?5,则a20a10=A(23或32B(?23或?32C(?5或?2015D(1318或?12( )3(等比数列{an}前n项乘积记为A(1000B(40Mn,若M10?20,MC(?10,则M30?D(2544(已知等差数列5，8，11，?与3，7，11，?都有100项，则它们相同项的个数 ( ) A(25 B(26 C(33 D(345(已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为 ( ) A(12项 B(13项 C(14项 D(15项 6(若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An和Bn,且满足AnBn?7n?14n?27(n?N?)则a11b11的值是( ) A(74B(32C(43D(78711(B 2(A 3(D 4(A 5(A 6(C求通项方法(一)一 公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an?Sn?Sn?1(n?2)，等差数列或等比数列的通项公式。例一 已知无穷数列?an?的前n项和为Sn，并且an?Sn?1(n?N)，求?an?的通项公式, 【解析】:? Sn?1?an，? an?1?Sn?1?Sn?an?an?1，? an?1?*12an，又a1?12，??1?an???.?2?二 归纳法:由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二 已知数列?an?中，a1?1，an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式. 【解析】:?a1?1，an?2an?1?1(n?2)，?a2?2a1?1?3，a3?2a2?1?7???? 猜测an?2?1(n?N)，再用数学归纳法证明.(略)三 累加法:利用an?a1?(a2?a1)????(an?an?1)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如nn*an?1?an?f(n)的递推数列通项公式的基本方法(f(n)可求前n项和).?1?例三 已知无穷数列?an?的的通项公式是an???，若数列?bn?满足b1?1，?2?列?bn?的通项公式.【解析】:b1?1,bn?1nnn?，求数1?1??bn???(n?1),?bn?b1?(b2?b1)????(bn?bn?1)=1++??+2?2?.? 1????2?n?1?1?=2????2?n?1四 累乘法:利用恒等式an?a1a2a3a1a2???anan?1(an?0,n?2)求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: an?1?g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积).例四 已知 a1?1,an?n(an?1?an)(n?N),求数列?an?通项公式.*【解析】:?an?n(an?1?an),?1×××???×an?1an?n?1n,又有an?a1a2a3a1a2???anan?1(an?0,n?2)=23nn-112=n,当n?1时a1?1，满足an?n，?an?n.五 构造新数列: 将递推公式an+1?qan?d(q,d为常数，q?0，d?0)通过(an?1?x)?qa(n?x与原递推公式恒等变成)an?1?dq?1?q(an?dq?1)的方法叫构造新数列.例五 已知数列?an?中, a1?1,an?2an?1?1(n?2),求?an?的通项公式. 【解析】:利用(an?x)?2(an?1?x),求得an?1?2(an?1?1),??an1an?1?1?是首项为a1?1?2,公比为2的等比数列,即an?1?2,?an?2?1六 倒数变换:将递推数列an?1?法叫倒数变换.例六 已知数列?an?(n?N)中, a1?1,an?1?*nncanan?d(c?0,d?0),取倒数变成?d1can?1c的形式的方an2an?11,?,求数列?an?的通项公式.【解析】:将an?1?an2an?1取倒数得:1an?1?2?1an?1.an?1?1??2,???1为?是以aana?n?11首项,公差为2的等差数列.1an?1?2(n?1),?an?12n?1练习1已知数列?an?的前n项和Sn，满足关系lg?Sn?1??n(n?1,2???).试证数列?an?是等比数列.2. 设?an?是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列?an?的通项公式. 3.已知a1?12,an?1?1?*?an???(n?N),求数列?an?通项公式.?2?n?1n4.已知数列?an?满足a1?1,an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1(n?2). 则?an?的通项公式是. 5.已知数列中, a1?1,an?36.已知数列?an? 中, 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :1. 证明:由已知可得:Sn?10?1，当n?2时 an?Sn?Sn?1?9?10?n?an-1(n?2)求数列?an?的通项公式.,求数 列?an?的通项公式.,an?1?2anan?2n?1，n?1时，a1?S1?9满足 上式. ??an?的通项公式an?9?10?为等比数列.n?1,n?2时 anan?1?10为常数,所以?an?2. 解:由已知可求a1?1,a2?3,a3?5, 猜测an?2n?1.(用数学归纳法证明). 3. 由已知 an?11?1??1??an???,?an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)????(an?an?1)=???2?2??2?n2?1?????????2?n?1?1?????2?2?3n?1.4.n?2时, an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1,an?1?a1?2a2?????(n?1)an?1?nan 作差得: an?1?an?nan,?an?1an?n?1,?a3a2?3,a4a3?4,???,anan?1?n?1????n?1an!??n?3?4?5????n,a2?1,?an?(n?2),?an??n!.2a2?n?2?25. an?3?12n6. an?2n?1求通项题型(二)类型1 an?1?an?f(n) 解 法:把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相 加法)求解。例1:已知数列?an?满足a1?解:由条件知:an?1 分别令，求an。 2n?n1111?an?2???n(n?1)nn?1n?n12， an?1?an?1n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加 之，即 (a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1) ?(1??a1?121)?(12?13)?(1213?141n)????????(?32?1n1n?1?1n) 所以 an?a1?1?1n2，?an??1?类型2 an?1?f(n)an 解法:把原递推公 式转化为例2:已知数列?an?满足a1?解:由条件知an?1an?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。23，an?1?nn?1an，求an。an?1an?nn?1，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累乘之，即 a2a1?a3a2?a4a323????????anan?123n?12?23?34????????n?1n? ana1?1n又?a1?，?an?类型3 an?1?pan?q(其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0))。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:an?1?t?p(an?t)，其中t?q1?p，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.解:设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.故递推公式为an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且bn?1bn?an?1?3an?3?2.所以?bn?是以b1?4为首项，2为公比的等比数列，则bn?4?2nn?1?2n?1,所以an?2n?1?3.n(pq(p?1)(q?1)?0))类型4 an?1?pan?q(其中p，q均为常数，。 (或an?1?pan?rq,其中p，q, r均为常数) 。解法:一般地，要先在原递推公式两边同除以q引入辅助数列?bn?(其中bn?例5:已知数列?an?中，a1?n?1，得:an?1qn?1?pq?anqn?1qanqn)，得:bn?1?pqbn?1q再待定系数法解决。1n?1an?()，求an。63211n?12nn?1n?1解:在an?1?an?()两边乘以2得:2?an?1?(2?an)?132322nn令bn?2?an，则bn?1?bn?1,解之得:bn?3?2()33bn1n1n所以an?n?3()?2()232,an?1?类型5 递推公式为an?2?pan?1?qan(其 中p，q均为常数)。解 (特征根法):对于由递推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程51x?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。2若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x2时，数列?an?的通项为an?Ax1n?1?Bxn?12，其中A，B由a1??,a2??决定(即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?Ax1n?1?Bxn?12，得到关于A、B的方程组);，其中A，B由a1??,a2??决定(即把当x1?x2时，数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1n?1a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?(A?Bn)x1n?1，得到关于A、B的方程组)。例6: 数列?an?:3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b,求an 解(特征根法):的特征方程是: 3x2?5x?2?0。?x1?1,x2?23,?an?Ax1n?1?Bxn?122n?1?A?B?()。又由a1?a,a2?b，于是3?a?A?B?A?3b?2a2n?1?a?3b?2a?3(a?b)() 故?2??n3?B?3(a?b)?b?A?B3?类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an))?S1????????????????(n?1)解法:利用an??与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去SnS?S???????(n?2)n?1?n(n?2) 或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。例7:数列?an?前n项和Sn?4?an?解:(1)由Sn?4?an?12n?2.(1)求an?1与an的关系;(2)求通项公式an.12n?2得:Sn?1?4?an?1?12n?1 于是Sn?1?Sn?(an?an?1)?(12n?2?12n?1)所以an?1?an?an?1?12n?1?an?1?n12an?12n.(2)应用类型4(an?1?pan?q(其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)))的 方法，上式两边同乘以2n?1得:2n?1an?1?2an?2n由a1?S1?4?a1?n121?2?a1?1.于是数列?2an?是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n2an?2?2(n?1)?2n?an?类型7 an?1?parnn2n?1(p?0,an?0)1a解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为an?1?pan?q，再利用待定系数法求解。 例8:已知数列,an,中，a1?1,an?1?解:由an?1??an(a?0)，求数列?an?的通项公式.21a?an两边取对数得lgan?1?2lgan?lg1a21a，令bn?lgan，则bn?1?2bn?lg类型8 an?1?，再利用待定系数法解得:an?a(1a)2n?1。f(n)ang(n)an?h(n)解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an?1?pan?q。 例9:已知数列,an,满足:an?解:取倒数:an?13?an?1?1,a1?1，求数列,an,的通项公式。1an?3?an?1?1an?1?3?1an?1?1?111???1?(n?1)?3?a? 是等差数列， ??(n?1)?3?na3n?2ana1?n?类型9周期型解法:由递推式计算出前几项，寻找周期。例10:若数列?an?满足an?11?2a,(0?a?)nn?6?2，若a1?，则a20的值为___________。 ??71?2a?1,(?a?1)nn?2?an?3(n?N)，则a20=*1.已知数列{an}满足a1?0,an?1?3an?1( )A(0 B(?3 C(3 D(322 在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项an?_______________ 3:已知a1?3，an?1?3n?13n?2an (n?1)，求an。23an?1?13an，求an。*4:已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?。5 已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N).求数列?an?的通项公式;6 已 知数列,an,满足:a1,答案: 12 (key:an?23 解:an?n?132， 且an,求数列,an,的通项公式; n?2，n?N)2an,1，n, 13nan,1??3) 3(n?1)?13(n?1)?2?3(n?2)?13(n?2)?2?????3?2?13?2?2?3?13?2a13n?43n?7526?????3?3n?13n?4853n?1。731n?14 key:an??(?)。 443?5 解: ?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?...?(a2?a1)?a1?2n?1n?2n?2?...?2?1*?2?1(n?N).6 解:(1)将条件变为:1,nan,1,1n, 1an,13)，因此,1,nan,为一个等比数列，其首项为1, 1a1,13，公比13，从而1,nan,13n，据此得an,n?3nn3 ,1(n?1)求和1)公式法:必须记住几个常见数列前n项和 Sn?n(a1?an)2?na1?n(n?1)d2; Sn?na1??q?1???a1(1?qn)??q?1??1?q1+2+?+n=n(n+1)2112+22+?+n2=n(n+1)(2n+1)6113+23+?+n3=(1+2+?+n)2=n2(n+1)241例 1已知等差数列?an?的前n项和为Sn?pn?2a?q(p,q?R),n?N2 (?)求q的值;(?)若a1与a5的等差中项为18，bn满 足an?2log2bn，求数列的{bn}前n项和. . (?)解法一:当n?1 时，a1?S1?p?2?q,当n?2 时,an?Sn?Sn?1?pn?2n?q?p(n?1)?2(n?1)?q?2pn?p?2.22??an?是 等差数列,?p?2?q?2p?p?2,?q?0????????????4分解法二:当n?1 时,a1?S1?p?2?q,当n?2 时,an?Sn?Sn?1?pn?2n?q?p(n?1)?2(n?1)?q?2pm?p?2.22