复球面与无穷远点
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?4 复球面与无穷远点
一、教学目标或要求:
掌握基本概念、 处理习题
二、教学内容(包括基本内容、重点、难点): 基本内容:复球面 扩充复平面 球极投影 处理习题 重点:复球面 扩充复平面 球极投影
难点: 球极投影
三、教学手段与方法:
讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习:
9,11
?4 复球面与无穷远点
1. 复球面
复数还有一种几何
表
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示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的
测地投影法，建立复平面与
球面上的点的对应。
把一个球放在复平面上，球
以南极S跟复数平面相切原
点，通过O点作一垂直于z
平面的直线与球面交于N
点，N称为球的北极，在复平面上任取一点z，它与球的北极N的联线跟球面相交于，这样就建立起复平面上的有限远点跟球面N以外的点的一一对应，这个球叫做复数球.
考察平面上一个以原点为心的圆周C，在球面上对应的也是一个圆周(即纬线)，当圆周C的半径越来越大时，圆周就越趋于北极N.因此，我们可以把北极N与平面上的一个模为 无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为. 无远点的幅角没有明确意义，复平面加上点后，称为扩充平面(或闭平面，全平面)，与它所对应的就是整个球面，称为复球面，原来的复平面称为开平面.
数 的运算规定:
无意义;
当 时,
当 (但可取 时),
的实部、虚部及辐角都无意义，
复平面上的每一条直线都经过点,同时,没有一个半平面包含点 。 2(扩充复平面上的几个概念
(1) 无穷远点的邻域:以原点为心的某圆周的外部，即的邻域是指合乎条件的的点集.
(2) 闭平面是唯一的无边界的区域，无穷远点是开平面的界点，是闭平面的内点.在扩充复平面上，无穷远点的邻域应理解为以原点为心的某圆周的外部，即的一邻域指: 。相应的聚点、内点和边界点等概念均可以推广到点。
1)复平面上的无穷远点，只有一点，即当时的极限
点(不论取何值)，是指沿任意方向趋于.
2) 无穷远点的运算与实变函数中的复变函数的运算相似.
本章内容课后讨论
1.复数在哪几种表示式,在进行复数的各种运算时，各以何种形式为方便,
2.为什么不用定义虚数单位,
3.复数的辐角主值是如何选取的,argz的规定方式是否是惟一的,为什么,
z=0和z=的辐角有无意义,
4.若规定0
0，a为复常数)，Rez>0，Imz>0的点z各位于何处,
12.复数和间有何关系,
13.何谓邻域,何谓区域,
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