摘要
姓名:吴逊 学号：20036126028
由超复数
，其中i 和j、k都是虚数诱导出四元数q 其定义如下：
其中w,x,y,z是实数，i 和j、k都是虚数，且有:
，Q的模为
一个四元素Q可以由平面上两个复数u,v来表示：
其中a,b,c,d是实数，
是v，u的共轭。
对于四元数q，如果存在正数
和
，当
时
为真，则
。
其性质如下：
1、
两个等式等价
2、
三个等式等价
对于性质1，由四元数极限的基本性质给于证明。
对于性质2分三步证明;
1>、由性质1、等价无穷小量、高阶无穷小量的性质可以证明
2>、同理可证
3>、同理可证
综合上述3步即：
关键字
超复数 四元数 无穷小量 三维空间
四元数的性质
一、四元数的产生
18世纪创立复数是数学史上的一件大事，那么是否存在超复数呢？所谓的超复数定义如下：
令
，其中i 和j、k都是虚数，他们满足下述运算要求：
它们满足乘法分配律。
两个超复数的乘法公式如下定义：
令
和
，则
一个四元数q 是这样定义的：
<1.1>
其中w,x,y,z是实数，i 和j、k都是虚数，且有:
<1.2>
Q的模为:
<1.3>
一个四元素Q可以由平面上两个复数u,v来表示：
<1.4>
其中a,b,c,d是实数，
是v，u的共轭。
二、四元数的基本性质
一个四元数也可以用q=[w,x,y]来表示。其基本性质如下:
一个平面上的复数由实部和虚部组成：z=a.1+bi,一个四元数同样也可以由若干部分线性组合而成：
Q=wU+xI+yJ+zK <2.1>
其中
<2.2>
于是
<2.3>
也就是说，I，J，K是矩阵方程
的解，是负单位矩阵的平方根
一个四元数整系数基的线性组合也叫 Hamilton整数，在R4空间，四元数的基是如下四个：
<2.4>
<2.5>
<2.6>
<2.7>
与超复数不同，四元数的三个虚数之间的运算并不征遵从乘法交换律，其运算规律如下：
<2.8>
看起来像三维空间直角坐标系中单位向量i,j,K的叉乘关系。
设
，则其四元数共轭为
<2.9>
其加法遵从一般规律：
<2.10>
设
，
其乘法服从
<2.11>
q的模仍然遵从一般复数的关系。
<2.12>
且等于公式（1.3）。
一个四元数可以写成一个数量加上一个向量
<2.13>
其中向量
。如此一来，两个四元数的乘法就变得较为简单：
<2.14>
四元数的除法也遵从复数关系
和
. <2.15>
从几何上来讲，四元数代表着时间加三维空间。如果固定实数
为常数，则这个四元数就上三维空间的一个变量。
定理1 设
是两个非零四元数，则
是三维空间对
的一个旋转。
证明 因为
，所以
，又
，表明
是三维空间对P的一个正交变换，由于
把零点变换到零点，把非零四元数P变换到另外一个等长的四元数，所以
就是对P的一个旋转变换。
Arvo于1994年证明了这样一个事实;三维空间中的单位向量n作
角旋转后，可记为一个四元数：
显然|q|=1和
，该四元数的分量又称为Euler参数，一个点
经过旋转以后，可以写为：
<2.16>
两次旋转以后为:
<2.17>
把定理1概括为：
若：
则:
三、四元数极限的定义和重要性质的证明
定义1、四元数的极限：
如果
即q趋向于c时，f(q)的极限是l，指存在正数
和
，当
时
为真
下面两个等式等价
<3.1>
同样下面三个等式等价
<3.2>
1、 如果
证明：
充分性：假定
，由于
，由定义，存在正数
和
，当
时，
为真
即：
时，
即有:
存在正数
和
，当
时，
为真
即：
必要性：由于
，由定义，存在正数
和
，当
时，
为真
即：
时，
即有:
即:
证明完毕
2、
证明：
1>、
由无穷小量的性质，当
时，
是无穷小量。
又由高阶无穷小量的性质，当
时，
是比
更高阶的无穷小量。
由性质
，当
时，
和
是同阶的无穷小量。
于是当
时，
是比
更高阶的无穷小量。
即:
2>、
因为当
时，
，而当
时，
，当
,
和
是同价无穷小量。
由性质
，当
时，
和
是同阶的无穷小量。
由于
，由无穷小量的性质，于是当
时，
是比
更高阶的无穷小量。
于是当
时，
是比
更高阶的无穷小量。
即：
3>、
因为当
时，
，而当
时，
，当
,
和
是同价无穷小量。
由无穷小量的性质，当
时，
是比
更高阶的无穷小量。
于是当
时，
是比
更高阶的无穷小量。
即：
综上所述：
证明完毕
参考文献：
1、分形 李水根 编著 高等教育出版社出版 2004.5
2、数学
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
陈纪修等编著 高等教育出版社出版 2002.1
浙公网安备 33021202002483