应用不定积分换元法易犯的错误
应用不定积分换元法易犯的错误 在通常的教材中，求不定积分时，对其定义区间一般是不作要求的。实际上，
1不定积分的被积函数蕴含着该积分的定义区间。例如，不定积分仅当dx,2x,1才有意义。因此，严格地讲，在对不定积分作第二类换元时，需要考虑它x,1
的逆变换在相应区间上的存在性。下面举例说明:
1例:求不定积分dx， x,1,2x,1
,,,,t,解:如果取变换x,sect， 22
,t,由于x,sect 在不单调，故它不存在单值的反函数， 2
,,,,t,,，x,1,，, 而且当时， 22
,,,,即，变换及其逆变换不可能建立,,，，，，,,,,1,1,，,x,sect,, 与之22,,
间的一一对应关系
,,,,,,,,,t0,,,,,0,x,sectx,sect,,,,,, 易看出若取变换，时，在区间222,,,,,,,,,上分段单调增，且其反函数分别在区间，，,,,,1，，1,，,,,,,与与内存在，从而 2,,
,,sectdt,0,t,,,1,2dxx,sectcott,sect,tantdt,, ,,2,x,1, sectdt,t,,,,,,2,
,,lnsect，tant，C,0,t,2,,lnx，x,1，C,1,x,，,，，,,2,, ,,2,,，，,lnx,x,1，C,,,,t,,1,,,,lnsect，tant，C,,t,,2,
,,t,,最后一个等式的得出是由于将用回代时，当时，arcsectt2
2tant,0tant,,x,1，从而应有。注意到
122 ,lnx,x,1,ln,lnx，x,12x,x,1
从而
12 dx,lnx，x,1，C， end x,1,2x,1
2例:在求不定积分时，有人这样求解:令x,t，那么 xdx,
2x32 xdx,tdt，C,，C,,2
这个解法对吗,
2x,t，，解:解法不对。因为函数，而令，等于将限制在区间x,C,,,，,x
内，如果仅在这个区间内求原函数，那么上面的解法是对的。但一般应求，，0,，,
x出函数在整个定义域的原函数，故还应在内求出的原函数，这时 ，，,,,0
12xdx,,xdx,,x，C ,,2
故
1,2x，C,当x,01,,2xdx, ,,12,xC,当x0,，,2,2,
x因为在内连续，故在整个数轴上存在原函数，所以上式中与不，，,,,，,CC21
x,0是相互独立的常数，应求出它们的关系，使原函数在出也可导。为此，只
x,0要上式右边的原函数在连续就行了，也就是令
11,,,,22 limxClimxC，,,，,,,,12，,x,0x,022,,,,即，便可求得 C,C,C12
1xdx,x,x，C ， end ，，x,,,,，,,2
理工教研组:宋冬梅
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