高三数学三轮复习 排列易错题
排列易错题
一、交点:圆内还是圆外
例1. 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数是_____________。
错解:因为两条直线相交有且只有一个交点，从12个点中任取2个可确定条直线，从剩下10个点中任取2个可确定条直线，根据乘法原理，有个交点。这里错误的原因在于这些直线所产生的交点有可能在圆外了，而题目
要求
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这些交点在圆内。
正解:因为两条直线相交有且只有一个交点，任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点，有且只有一个。而要得到一个四边形，需要从12个点中取出4个点，个，即有个交点。
问题:若“圆内”改成“圆外”，其他不变，则交点个数是多少,(
答案
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:)
二、相邻不相邻问题:不重不漏
例2. 8人排成一队，A、B、C三人互不相邻，D、E两人也互不相邻的排法共有多少种,
错解:第一步:把除A、B、C、D、E的剩余F、G、H3人全排列，有种方法;第二步:前3人排好后，留下4个空档，把A、B、C三人插入，有种方法;第三步:前6人排好后，留下7个空档，把D、E两人插入空档，有种方法。由乘法原理，有种方法。
则题意，“ADB”排法也满足题意，但按照以上排法，A、B之间早就有F或G或H了，而不可能出现“ADB”，违反“不重不漏”中的“不漏”原则。 正解:用排除法。除A、B、C外的5人先全排列，有种方法，这时在留下的6个空档中插入A、B、C三人，有种插空方法，共有种方法;其中应排除D、E两人相邻的情形，把D、E(运用“捆绑法”看作一个个体)，F、G、H(F、G、H为余下的三人)全排列，有种方法，这时在留下的5个空档中插
入A、B、C三人，有种方法，DE也可交换成ED，共有种方法。所求排法有,14400,2880,11520种。 例3. 有20个零件，其中16个是一等品，4个二等品。若从20个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是_____________。
A. B.
C. D. 以上都错
错解:选项A中
表
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示只取1个一等品，而题目要求取一等品1个、或2个、或3个，有三种情形;C中表示只取2个一等品，表示只取3个一等品，即只取2个或3个一等品，与题目不符。
B中表示从16个一等品中先取1个一等品，表示再从剩下的19个零件中取2个，这时似乎能保证所取的3个零件中至少有1个是一等品。若设1、2、„、16表示16个一等品，A、B、C、D表示4个二等品，可能出现1、2、A形式(先取一等品1，再从剩下的19个零件中取2、A)，也可能出现2、1、A形式(先取一等品2，再从剩下的19个零件中取1、A)，违反“不重不漏”中的“不重”原则。
正解:在选项A的基础上增加先从16个一等品中取2个，再从4个二等品取1个，和从16个一等品中取3个，有种取法，答案应为
，选D。也可以运用排除法，“至少有1个是一等品”的反面是“没有一个一等品”，即3个都是二等品，有，答案为
，选D。
三、抽取问题:放回与不放回
例4. 从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，设抽得的次品数为，求E(5，1)。
错解一:随机变量服从二项分布B(n，p)，这里独立重复试验的次数n,3，在一次试验中事件(次品)发生的概率，得
。
分析:若变量是离散型随机变量，才服从二项分布，才会有公式E(),np，那么怎么样的变量才是离散型的呢,对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，像这样的随机变量叫做离散型随机变量。若在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数则是一个随机变量。如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率p(,k)，其中k,0;1，„，n，，称这样的随机变量服从二项分布，记作~B(n，p)。上面式子，形式上为二项式定理中的第项，所以称服从二项分布。 由上可以看出，二项分布的必要条件是随机变量必须是独立的，而本题中变量与前后有关系，是不独立的，所以题中的变量不服从二项分布，不能用E(),np来算。
错解二:因为不放回地取，先组合再排列，所以，
，
，
得，
分析:对于,1这种情形，表示从13只正品中取一只正品后(不放回)，再接着从剩下的12只正品中取一只正品(不放回)。表示从2只次品取1只次品。这时，对这3只产品作全排列，得。其实，13只正品被抽取的机会是均等的，取得的2只正品前后没有关系，应视作一种情形，只要看1只次品所取的位置，所以，同理
，
，
问题:若原题中“不放回”改为“放回”，其他不变，求。 分析:对于这种情形，表示从13只正品中取一只正品(放回)，再接着从13只正品中取一只正品(放回)。表示从2只次品中取1只次品。这时再考虑次品所取的位置，共有×3种取法，所以
。同理:
，
四、倒球、颜色相同与不同
例5. 从装有4粒大小、形状相同、颜色不同的玻璃球的瓶中，随意倒出若干粒玻璃球(至少一粒)，设倒出奇数粒玻璃球的概率为a，设倒出偶数粒玻璃球的概率为b，比较a与b大小关系。
错解:因为倒出球的个数为1、2、3、4，恰好是两个奇数两个偶数，所以a,b。
分析:题中为什么要注出“颜色不同”,同样是倒出一粒球，若颜色不同，则应视作是不同的情形。
记倒出的玻璃球的个数为n，则当n,1时，种情形;当n,2时，有种情形;当n,3时，种情形;当n,4时，有种情形;现总样本数为4，6，4，1,15，所以，，得。 练习1 某招呼站，每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该招呼站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取了如下策略:先放过第一辆，如果第二
辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆。那么他乘上上等车的概率是多少,(用列举法，)
练习2 排球比赛的规则是5盘3胜制，甲、乙两队每盘获胜的概率分别为。(1)若前两盘中乙队以2:0领先，求最后甲、乙各队各自获胜的概率;(2)求乙队以3:2获胜的概率。(1)P(甲胜),，P(乙胜);(2)P(乙以3:2胜),。
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