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交换环上Rao正则矩阵的广义Cramer法则.doc

交换环上Rao正则矩阵的广义Cramer法则

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2017-10-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《交换环上Rao正则矩阵的广义Cramer法则doc》,可适用于综合领域

交换环上Rao正则矩阵的广义Cramer法则第卷第期年月大学数学COLLEGEMATHEMATICSVo,Jun交换环上Rao正则矩阵的广义Cramer法则王宏兴,刘晓冀(淮南师范学院数学系,安徽淮南广西民族大学数学与计算机科学学院,广西南宁)摘要GongZ,AldeenM和EisnerL在AnoteonageneralizedCramerSrule,LinearAlgebraApp,zz,s:zss,zs中给出结论:对任NNk,aE,有=,Al(:)},其中AEC可逆矩阵,AX=Y本文给出交换环上Rao正则矩阵的广义Cramer法则关键词Cramer法则交换环Rao正则矩阵中图分类号文献标识码A文章编号()引言文系统的介绍了交换环上矩阵的广义逆及其发展的主要方向,并在性质,定理中应用子式对交换环上Cramer法则的应用进行了研究文E介绍了子式在交换环上矩阵广义逆研究中的应用文给出结论:对任意的口一,有l一lAll(:)J,其中Ac”可逆矩阵,AX=Y本文给出交换环上Rao正则矩阵的广义Cramer法则记R是交换环,Z是整环且有对合,含单位元O记c是域若R中元素a,b满足ab=ba一,则称a可逆,b是a的逆,记易一a若ab=(或ha),则称n右可逆(或口左可逆),为n的右逆(或左逆),记:口(或一n)记A的秩为r(A),记Cr(A)为f)×fm阶矩阵,其第()元素为lAI,其中口:=={口,a,…,,)c{,,…,},a口…d和J={,,…,)(二={,,…,m),…记』D一{,,…,}c{,,…,,z}设口一{口,口,…,a,}c{,,…,},记Q为所有口的集合记A一()T当A=A时,称A是对称的记为mxr矩阵,其(,),…,(,r)处坐标为,其他坐标为记Pd为r×m矩阵,其(,a),…,(r,a,)处坐标为其他坐标为O记IAv()I为A的口列被l,的列代替得到的新矩阵Vol(A)一tr(C(AA))定义设ArnXn如果存在xnXm,使得AAA,AX=:=X,(AX)一AX,(XA)一XA,Penrose逆,记X=A则称x为A的Moore引理设AmXn,r(A):r如果存在{S:Q…,Q},使得G(s),口m,卢Qr埘一J是A的{}逆,则对任意的k,z,有收稿日期基金项目广西科学基金资助项目()安徽省高等学校优秀青年人才基金(SQRZZD)第期王宏兴,等:交换环上Rao正则矩阵的广义Cramer法则fIA州I,q,,):==n一a()弓l理设AE,r(A)一r取n一{口,口,…,口)是×向量,Js一{Sp,}Q…Q…是(m一(a)足等)髁(…,…一一x=As,,则=IA(一)Is州口,卢j引理设AE”是Rao正则矩阵,r(A)一r记A的Rao幂等元为J(A)如果A苎一有解,J(A)一IA叫,(,…)一,则一IA(一),,ISlJj:口Q…Q,,J卢是方程A兰一的一个解引翅E设AC,r(A)一,AX=Y有解,则对任意的忌,有l其中口Q,,Q注如果A是列满秩矩阵,则两边分别右乘A,可以得到类似结论弓I理设Az矩阵,r(A)一r,(i)若s是Cr(A)的{)逆贝IJG(g(…)是A的{,}逆)若sr(Al测G(gn)是A的{,)逆(iii)若A的Moore,Penrose逆存在,Vol(A)可逆,则一丽orQft~PI主要结论设A舻r,一(删x一Ql,Q…tQ…定理设A是Rao正则矩阵,r(A)=r,×,其中I(A)一IA{AX=Y口,珥,,Q,有解,s一()Qr一eq,是()×()矩阵,则x一Q警|PsY口Q,聊,Q,,是方程Axy的一个解证设G一Qad,sl,,则有口口卅,,QrAQfi~PaS~,aY=AQfi~pPasia,x口Qrm,Qrqm,,Qr大学数学第卷一AQaSlJ,aAX=IAI,xtur,m,QrnAXY例设AE凰,r(A)一r,Vol(A)可逆,AXl,有解,则A的MoorePenrose逆A一(Vol(A~SlLa:,一,I(A州命题设AEC,r(A)一r,ANY有解若S一(,)Qr,是C,(A)的{,}逆,是方程的最小二乘解,则(x),IaEQr命题设AC,r(A)一r,Axl,方程的最小二范解,则~ICEQ~,IAv()),,fs,,有解若S一(sp,)Q,Q,是C(A)的{,}一逆,是一IQ,,J~Qr,,I(A()),,ls,,命题设AEmXn,r(A)一r,Axl,有解,是方程的最小二乘二范解,则一删…暑圳I(A(,f((Vol(A))I例设RZn,是整环上的多项式环取A===叫iC(A)一Y复合矩阵口一nabaa,r(A)一,A×X×口nnbab一a一ab由于All,}{)All,}l{l,}一,,,一{一,O,ko,,OO,o,得G一显然GY是方程AXy的一个解X=GY一ababYYl,一abOab„,矗,,曲,Y,abyY,,YnzYzmQ一lAAAZZAAAlllAAA第期王宏兴,等:交换环上Rao正则矩阵的广义Cramer法则则得lX{l},(,}l=abyYYabyY一YnYl一YZlYll,),zt==…,PEQr,,IAv(:)),,ls一==Ylly:zzzz例设A是C矩阵由Vol(A)===得EA:A==Ob一OOXlXXO=删,l((Vol(A))IAa,pOO()(I)()一一(A)参考文献O一BhaskaraRaoKPSThetheoryofgeneralizedinverseovercommutativeringsMUSA:TaylorFrancis,RobinsonDWTheclassicaladjointJLinearAlgebraApp,,():GongZ,AldeenM,ElsnerLAnoteonageneralizedCramerSruleEJLinearAlgebraApp,,():WangG,WeiY,QiaoSGeneralizedinverses:theoryandcomputationsMBeijing:SciencePress,StanimirovicP,StankovicMDeterminantalrepresentationofweightedMoorePenroseinverseEJMatematickiVesnik,,():OBenIsraelA,GrevilleTNEGeneralizedinverses:theoryandapplications(senconed)MNewYork:SpringerVerlag,TheGeneralizedCramerRulerofRaoRegularMatrixoverCommutativeRingsWANGHongxing,LIUXiaoji(DepartmentofMathematics,HuainanNormalUniversity,Huainan,Anhui,ChinaCollegeofMathematicsandComputerScience,GuangxiUniversityforNationalities,Nanning,Guangxi,China)Abstract:GongZ,AldeenMandElsnerLinAnoteonageneralizedCramerSrule,LinearAlgebraApp,,ssventesuany,一IAY(:)I,whereAxsan…inarmatrixoverfieldr(A)一andAXyInthispaper,thegeneralizedCramerrulerofRaoregularmatrixovercommunicateringswasgivenKeywords:CramerrulercommutativeringRaoregularmatrix一,一一升hhhA,,,,lf一A一封,,,b一一ll甜一二h讣,,„,,f一一一,“,hA

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