【精品】数形关系~计算正方形及正三角形个数70

數形關係~計算正方形及正三角形個數 壹、摘要 本研究透過數學思考一書中的兩個問題來探討圖形與數的關係,藉此也培養我們觀察、歸納、推理及思考能力。在此次的研究中,我們有系統的証明出西洋棋盤共有204個正方形,而且也寫出一般化式子。其次,我們也成功的算出一個八層三角形的等邊三角形個數,並找出n單位三角形中等邊三角形個數的一般化式子。 貳、研究動機 在數學思考一書中第19頁及第193頁中,有下列兩個問題: 棋盤中的正方形 在西洋棋盤中,共有204個正方形,你能証明嗎, 算三角形 一個八層的三角形圖形中有多少等邊三角形呢, 還記得一年級下學期有一個單元是在探討圖形的規律性,那時我們覺得這個單元很有趣,需要觀察與思考,所以當我們看到這兩個問題時,馬上激起我們研究的熱情與興趣。我們的思考,就是從這兩個問題開始,因此我們做了以下的研究。 參、研究目的 一、探討西洋棋盤共有204個正方形,並找出一般化式子。 二、探討一個八層三角形中有幾個等邊三角形,並找出n單位三角形中等邊三角形個數的 一般化式子。 肆、研究過程及 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一、探討西洋棋盤共有204個正方形 (一)進入(Entry) 「西洋棋盤」,一開始我們還不知道題目所說的西洋棋盤是指什麼,經過詢問老師,才知道它是一個類似8×8的正方形,如圖一所示。 1 圖一 那麼,題目裡有什麼意義呢,我們卡住了(stuck),因為我們只看到棋盤上只有64個正方形,204個正方形哪裡來的,AHA,我們想到了,大一點的正方形也可以,有了對「正方形」的詮釋後,我們近一步做下面的研究。 (二)攻擊(Attack) 我們試著數2×2的正方形,如圖二 如圖二 我們發現它們會彼此重疊(圖二中黑色的區域),怎麼辦呢,如果毫無規則的數,肯定會眼花撩亂。我們必須有系統的去數它們,因此我們想到,先算第一列,看看有多少正方形會碰到棋盤頂端的那條線:我們稱第一條線:,如圖三。 圖三 我們數了7個,繼續有系統的數,我們考慮有多少個2×2正方形會碰到下一條線,還是七個。如圖四 圖四 2 依此類推,AHA,每一列都有7個,而且棋盤共有9條線,2×2的正方形不會接觸到底下兩條線,所以我們發現,2×2的正方形每一列有七個正方形,有七列,總共49個。現在,我們做了以下的表格。 表一 正方形 1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 6×6 7×7 8×8 大小 正方形 64 49 1 數目 做到這邊,我們認為正方形個數似乎有規律,因為64,8×8,49,7×7,因此我們猜測3×3的正方形個數會是36,6×6。 (三)檢查(Check) 數3×3的正方形個數,仿造前面數2×2正方形個數的算法,我們還是先計算有多少個正方形會碰到第一條線,我們數了6個,且有九條垂直線和第一條線相交,每個交點都可做出3×3的正方形,除了最右邊的三個。如圖五。 圖五 所以有(9,3)個3×3的正方形會碰到第一條橫線,有(9,3)條橫線會被正方形的頂邊碰到:棋盤共九條線,3×3正方形下面三條用不到:。所以3×3的正方形個數為36。同理,有(9,m)個m×m正方形碰到第一條線,(9,m)條橫線被正方形碰到,因此m×m大小的正方形有(9,m)×(9,m)個。這時我們可以大膽完成表一,得到表二的結果。 表二 正方形1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 6×6 7×7 8×8 大小 正方形64 49 36 25 16 9 4 1 數目 現在將總數相加: 64,49,36,25,16,9,4,1,204 我們有規律的算出來了。 (四)一般化 前面探討的是8×8的正方形,若我們把棋盤一般化為n行n列,則m×m大小的正方形個數為(n,1,m)×(n,1,m),即正方形的個數為 (1×1),(2×2),(3×3),………,(n×n) 2222,1,2,3,………,n n(n，1)(2n，1), 6 3 二、探討一個八層三角形有幾個等邊三角形 (一)進入(Entry) 剛看到圖形時,只見它是由許多小三角形組成,要算出有幾個三角形應該很容易,只要將小三角形算出即可。但再仔細看題目,是問說有幾個等邊三角形,AHA,我們想到了,大一點的等邊三角形也可以。而且經過觀察,發現圖中不僅有正立的三角形,也有倒立的三角形。有了對等邊三角形的詮釋後,使我們能繼續往下研究。 (二)攻擊(Attack) 顯然的,要算出題目中的三角形個數,需要花一點時間及精神(眼力),否則很容易算錯。爲了能有規律的算出來,我們先將題目簡單化,然後有系統的去做。因此我們做了以下的研究方法: 1 ?先將三角形分成正立三角形及倒立三角形。 2 ?再按其邊長為1單位,2單位,3單位,…..找出等邊三角形的個數。 (1)最大邊長為1單位的三角形,如圖六 圖六 很明顯的,最大邊長為1單位的等邊三角形只有1個。 (2)最大邊長為2單位的三角形,如圖七 圖七 圖形開始有了變化,開始有倒立三角形出現,所以圖七的等邊三角形個數如下: 正立三角形個數 邊長為1單位的正立三角形數有1,2,3,算法如圖八 邊長為2單位的正立三角形數有1,1 ,算法如圖九 倒立三角形個數 邊長為1單位的倒立三角形數有1,1 ,算法如圖十 總計個數,3,1,4 4 圖八 圖九 圖十 (3)最大邊長為3單位的三角形,如圖十一 圖十一 正立三角形個數 邊長為1單位的正立三角形數有1,2,3,6,算法如圖十二 邊長為2單位的正立三角形數有1,2,3,算法如圖十三 邊長為3單位的正立三角形數有1,1,算法如圖十四 倒立三角形個數 邊長為1單位的倒立三角形數有1,1,算法如圖十五 總計個數,6,3,1,10 圖十二 圖十三 圖十四 圖十五 依此計算方法,規律好像呼之欲出,我們將此結果用圖表表示,以方便觀察。如表三所示,我們列出最大邊長由1到8的等邊三角形個數。 表三 最大邊小合小合總形狀 正立三角形個數 倒立三角形個數 邊長 長 計 計 計 計 計 , 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1+2 3 1 1 2 4 1 5 2 1 1 0 0 1 1+2+3 6 1+2 3 3 2 1+2 3 10 3 13 3 1 1 1 1+2+3+4 10 1+2+3 6 2 1+2+3 6 1 1 4 20 7 27 3 1+2 3 4 1 1 5 1 1+2+3+4+5 15 1+2+3+4 10 2 1+2+3+4 10 1+2 3 5 3 1+2+3 6 35 13 48 4 1+2 3 5 1 1 1 1+2+3+4+5+6 21 1+2+3+4+5 15 2 1+2+3+4+5 15 1+2+3 6 3 1+2+3+4 10 1 1 6 56 22 78 4 1+2+3 6 5 1+2 3 6 1 1 1 1+2+3+4+5+6+7 28 1+2+3+4+5+6 21 2 1+2+3+4+5+6 21 1+2+3+4 10 3 1+2+3+4+5 15 1+2 3 7 4 1+2+3+4 10 84 34 118 5 1+2+3 6 6 1+2 3 7 1 1 1 1+2+3+4+5+6+7+8 36 1+2+3+4+5+6+7 28 2 1+2+3+4+5+6+7 28 1+2+3+4+5 15 3 1+2+3+4+5+6 21 1+2+3 6 4 1+2+3+4+5 15 1 1 8 120 50 170 5 1+2+3+4 10 6 1+2+3 6 7 1+2 3 8 1 1 AHA,題目中的等邊三角形有170個,而且我們也看到了規律性。我們不想就此結束,我們想試著找出一般化式子來表示一個n邊三角形的等邊三角形個數,因此我們做了以下的猜測。 (三)猜想 猜想,:最大邊長為n的正立三角形數為 1,(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4),…………,(1,2,3,4,5,………,n) n (1，2，3，.......，k) , ,,1k nkk，(1) , ,2k,1 2nk，k , ,2k,1 6 1n(n，1)(2n，1)n(n，1)，，， , ,,262，， n(n，1)(n，2) , 6 我們試著驗證看看: 1，2，3 當n,1,代入得 ,16 2，3，4 n,2,代入得 ,46 3，4，5 n,3,代入得 ,106 . . . 8，9，10 n,8,代入得 ,1206 9，10，11 以上的結果均與表三吻合,若照此猜想,當n,9時,有個等邊三角形,,1656這與我們實際畫圖去數的結果一樣,所以此一猜想應是正確的。 剛剛看到的是邊長為n的正立三角形個數,如果是倒立三角形的個數,由表三我們發現 邊長為奇數與邊長是偶數時的規律不大一樣,因此我們分成邊長為奇數與邊長為偶數來討論。 猜想2:邊長為奇數時的倒立三角形個數 由表三可觀察到,當最大邊長為奇數時,其等邊三角形的個數為 0,(1+2),(1+2+3+4),(1+2+3+4+5+6),…………,[1+2+3+………+(n,1)] 1n， 2 ,,1，2，3，.........，(2k,2) , ,1k, 1n， 2(22)(221)k,k,， , ,21k, 1n， 2 (k,1)(2k,1) , ,1k, n，1 222k,3k，1 , ,k,1 n，n，n，111 22222k,3k，1 , ,,,k,1k,1k,1 7 n，1n，1n，1n，1n，1，，，，(，1)(2，，1)(，1),,,,n，122222 , 2，,3，，,,,,622,,,,,,,,，，，， 2(n，1)(n，2)(n，3)3(n，1)(n，3)n，1 , ,，2482 (n，1)2(n，2)(n，3),9(n，3)，12,, , 24 2(1)(23)n，n，n, , 24 (n，1)(n,1)(2n，3) , 24 同樣的,我們做了以下的測試: 2，0，5 當n,1,代入得 ,024 4，2，9 n,3,代入得 ,324 6，4，13 n,5,代入得 ,1324 8，6，17 n,7,代入得 ,3424 10，8，21 上述的結果均與表三符合,當我們嘗試n,9時,得到,結果與實際畫圖,7024去數所得到的結果相同。AHA,我想我們猜想的是正確的,只要能證明這個式子成立,就可 以寫出一般化式子了。 猜想3:邊長為偶數時的倒立三角形個數 由表三可觀察到,當三角形最大邊長為偶數時,其等邊三角形為 1,(1+2+3),(1+2+3+4+5),…………,[1+2+3+………+(n,1)] n 2 ,,1，2，3，.........，(2k,1) , ,,1k n 2(21)(211)k,k,， , ,2,1k n 22(21)kk, , ,2,1k 8 nn 222 ,2k,k ,,,,11kk nnnnn，，(，1)(2，，1)(，1),,22222 , 2,,,62,,,,，， 2n(n，1)(n，2)n(n，2) , ,248 2n(n，1)(n，2),3n(n，2) , 24 n(n，2)(2n,1) , 24 將n,2、4、6、8代入驗算 2，4，3 當n,2,代入得 ,124 4，6，7 n,4,代入得 ,724 6，8，11 n,6,代入得 ,2224 8，10，15 n,8,代入得 ,5024 AHA,這些結果均與表三的結果符合,再次驗證我們的猜測是正確的。 (四)證明 前面經由表三的觀察我們得到三個式子,只要能證明這三個式子成立,就表示我們的猜 測是正確的,以下證明是使用數學歸納法證明。 n(n，1)(n，2) 1. 1,(1,2),(1,2,3),……,(1,2,3,4,……,n), 6 1，2，31 證明:?當n,1時, ,所以原式成立。 1,,16 2 ?設n,k時,原式成立,即 k(k，1)(k，2) 1,(1,2),(1,2,3),…,(1,2,3,4,…,k), 6 則n,k,1時, 1,(1,2),(1,2,3),…,(1,2,3,4,…,k),[1,2,3,4,…,(k,1)] k(k，1)(k，2)(k，1)(k，2) ,, 62 k(k，1)(k，2)3(k，1)(k，2) ,, 66 9 (k，1)(k，2)(k，3) , 6 (k，1)(k，1)，1(k，1)，2,,,, , 6 ?n,k,1時,原式成立 由數學歸納法知,原式對每個nN恆成立。 , (n,1)(n，1)(2n，3) 2. 0+(1+2)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5+6)+…+[1+2+3+…,(n,1)] , 24 2，0，51 證明:?當n,1時,,所以原式成立。 0,,024 2 ?設n,k時,原式成立,即 (k，1)(k,1)(2k，3) 0+(1+2)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5+6)+…+[1+2+3+…+(k,1)] , 24 則n,k,2時, 0+(1+2)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5+6)+…+[1+2+3+…+(k,1)],[1+2+3+…+(k+1)] (k，1)(k,1)(2k，3)(k，1)(k，2) ,, 242 12(k，1)(k，2)(k，1)(k,1)(2k，3) ,, 2424 (k，1)(k,1)(2k，3)，12(k，2),, , 24 2(1)(21321)k，k，k， , 24 (k，1)(k，3)(2k，7) , 24 (k，2),1(k，2)，12(k，2)，3,,,,,, , 24 ?n,k,2時,原式成立 由數學歸納法知,原式對每個n,奇數恆成立。 n(n，2)(2n,1) 3. 1,(1+2+3),(1+2+3+4+5),……,[1+2+3+……+(n,1)], 24 2，4，31 證明:?當n,2時, ,所以原式成立。 1,,124 2 ?設n,k時,原式成立,即 k(k，2)(2k,1) 1,(1+2+3),(1+2+3+4+5),……,[1+2+3+……+(k,1)], 24 則n,k,2時, 1,(1+2+3),(1+2+3+4+5),…,[1+2+3+…+(k,1)],[1+2+3+…+(k+1)] 10 k(k，2)(2k,1)(k，1)(k，2) ,, 242 12(k，1)(k，2)k(k，2)(2k,1) ,, 2424 (k，2)k(2k,1)，12(k，1),, , 24 2(2)(21112)k，k，k， ,24 (k，2)(k，4)(2k，3) , 24 (k，2)(k，2)，22(k，2),1,,,,,, , 24 ?n,k,2時,原式成立 由數學歸納法知,原式對每個n偶數恆成立。 , (五)一般化 經由猜想及證明,我們現在可以得到計算等邊三角形的一般化式子: 1. 當最大邊長為奇數時,則正立三角形及倒立三角形的總個數為 2(1)(2)(1)(1)(23)(1)(231)nn，n，n，n,n，n，n，n,，, 6248 2(1，1)(2，1，3，1,1)2，4,,1 當n,1代入, 88 2(3，1)(2，3，3，3,1)4，26,,13 n,3代入, 88 2(5，1)(2，5，3，5,1)6，64,,48 n,5代入, 88 2(7，1)(2，7，3，7,1)8，118,,118 n,7代入, 88 結果均與表三符合 2. 當最大邊長為偶數時,則正立三角形及倒立三角形的總個數為 n(n，1)(n，2)n(n，1)(2n,1)n(n，2)(2n，1)，, 6248 2(2，2)(2，2，1)2，4，5 當n,2代入, ,,588 4(4，2)(2，4，1)4，6，9 n,4代入, ,,2788 6(6，2)(2，6，1)6，8，13 n,6代入, ,,7888 11 8(8，2)(2，8，1)8，10，17 n,8代入, ,,17088 結果也與表三相符,我想我們已經得到計算一個n層三角形其等邊三角形個數的一般式子了。 伍、研究結果 綜合上述的研究,我們得到以下幾個結果 一、一個8×8的西洋棋盤中,共有204個正方形。對於一個n行n列的棋盤,其正方形 n(n，1)(2n，1)個數為 6 二、一個n層的三角形中,其等邊三角形的個數是 2(1)(231)n，n，n, (一)當n為奇數時,其等邊三角形的總個數有個 8 n(n，2)(2n，1) (二)當n為偶數時,其等邊三角形的總個數有個 8 陸、推廣 一、題目1是探討正方形個數,若是長方形個數,有幾個,可以加以探討。 二、題目2若是其他形式的圖形,例如六角形,則如何計算其個數。 柒、參考資料 一、台北市立建國中學49屆314班全體同學譯 數學思考 第一版 台北市 九章出版社 19~22頁、193頁 2000年4月初版 二、吳森元、許乃紅 高中數學1 台北市 正中書局 八十九年八月修訂 三、洪有情 國中數學第二冊 台北縣 康軒文教事業 九十二年二月初版 12 13