柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法.doc

柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法.doc 微分中值定理的进一步探讨 ? 孙 莹 摘要: 微分中指定理中的 Cauchy中值定理与Lagrange中值定理是数学分析学习内容的重中之重，其具有较强的理论性,其揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。我们在处理数学证明题中会经常用到这两个定理，但是课本中给出的证明方法单一而且独特，较难掌握，为弥补此不足之处，本课题将帮 家多角度地了解微分中值定理的证明方法，以便更深刻地理解Cauchy中值定理与助大 Lagrange中值定理，学会用多种方法处理同一问题的思想。 关键词: Cauchy中值定理;Lagrange中值定理;常数k法;行列式法;坐标旋转法 文章一开始先给出Roller中值定理，因为Cauchy中值定理和Lagrange中值定理的多种证明过程都会用到Roller中值定理的结论。然后给出北师大版的数学分析上册书中的Cauchy中值定理和Lagrange中值定理及其证明过程，目的在于让读者发现其与其它证明方法的联系。 定理1 (Roller中值定理) 若fx()满足如下条件: ()i 在[,]ab上都连续; ()ii (,)ab 在上都可导; f(a),f(b)()iii ， 'f(,),0,(,)ab则在内至少存在一点，使得。 [1]fx()gx()定理2 (Cauchy中值定理) ，满足以下几个条件: ()i[,]ab 在上都连续; ()ii(,)ab 在上都可导 ''f(x)g(x)()iii 和不同时为零 (iv)g(a),g(b) ,,(,),ab 则存在使得 'ffbfa()()(),, ,。 'ggbfa()()(),, - 1 - 证明: 作辅助函数 f(b),f(a)，，F(x),f(x),f(a),g(x),g(a) g(b),g(a) , 易见F(x) 在上满足罗尔定理条件，故存在使得 [,]ab,(,),ab f(b),f(a)'''F,(),f(,),g(,),0 g(b),g(a) ''g(,),0f(,),0 因为(否则由上式可知)，所以可把上式改写成 'ffbfa()()(),, ,'ggbfa()()(),, 证毕。 定理2 (Lagrange中值定理) 若函数fx()满足如下条件: ()i fx() 在[,]ab上都连续; ()ii fx()在(,)ab上都可导， , 则在(,)ab内至少存在一点，使得 fbfa()(),',f(),ba, 。 证明:做辅助函数 f(b),f(a)F(x),f(x),f(a),(x,a)b,a F(a),F(b),0F(x)[,]ab显然，且在上满足罗尔定理的另外两个条件，故存在,,(a,b)，使得 f(b),f(a)''F(,),f(,),,0b,a 移项后即可得 fbfa()(),',f(),ba, 证毕。 接下来将给出Cauchy中值定理和Lagrange中值定理的其他证明方法: 证法一: 常数k法 ( Cauchy中值定理 )利用常数k的辅助函数来证明一个等式往往是通过待定系数法的思 - 2 - 路来完成证明的，其符合人的认识规律，易于理解。 将Cauchy中值定理的结论改写成: ,f'()f(b),f(a),[g(b),g(a)],0,g'() g(a),g(b)由条件可知，一定存在一个常数k使得: f(b),f(a),k[g(b),g(a)],0 成立。将上式中的常数b换成变量x,可以得到辅助函数 ,(x),f(x),f(a),k[g(x),g(a)] < 1 > ,(x),(a),,(b),0经检验，在在上都连续，在上都可导，而且满足Roller[,]ab(,)ab ',(,),0，,,(a,b)中值定理的所有条件，于是根据Roller中值定理可知:至少，使得即 '','(,),f(,),kg(,),0 由此解得 ',f()k,'g(,) 代入< 1 >中可得 ,f'()f(b),f(a),[g(b),g(a)],0,g'() 证毕。 ( Lagrange中值定理 ) 将Lagrange定理的结果改写成 f(b),f(a),f'(,)(b,a),0 b,ak由可知，必定存在一个常数使得: f(b),f(a),k(b,a),0 < 2 > bx将上式中的常数换成变量，得到辅助函数 ,(x),f(x),f(a),k(x,a) ,(x),f(x),f(a),k(x,a)()i[,]ab经检验，满足Roller中值定理的全部条件: 在 ,(a),,(b),0()ii(,)ab上都连续， 在上都可导，且。于是根据Roller中值定理可知， - 3 - ',(,),0,至少存在一个，使得， 即 ,'(,),f'(,),k,0 。 ,f'()k,g'(),由此解得 ， 代入 < 2 >中可得 fbfa()(),',f(),ba, 证毕。 证法二: 行列式法 f(b),f(a)g(b),g(a)不难发现Cauchy中值定理的结论有着独特的形式，和与二阶行列 f(b)1g(b)1 f(a)1g(a)1式和有着密切的联系，根据此关系可构造一个行列式作为辅助函数 f(x)g(x)1 ,(x),f(b)g(b)1 f(a)f(a)1 显然该函数满足Roller中值定理的所有条件。于是，根据Roller中值定理的结论可得，至少 ',(,),0,少存在一个，使得， 即 f'()g'()0,, ,'(),f(b)g(b)1,0, f(a)f(a)1 解得 f'(,)[g(b),g(a)],g'(,)[f(b),f(a)],0 f(b),f(a)f'(,)g'(,)因为，且和不同时为零，所以上式可改写成 ,f'()f(b),f(a),g'(,)g(b),f(a) 证毕。 f(b),f(a)b,a不难发现Lagrange中值定理的结论有着独特的形式，和与二阶行列式 - 4 - f(b)1b1 f(a)1a1和有着密切的联系，根据此关系可构造一个行列式作为辅助函数 f(x)x1 ,(x),f(b)b1 f(a)a1 显然该函数满足Roller中值定理的所有条件。于是，根据Roller中值定理的结论可得，至少 ',(,),0,少存在一个，使得， 即 f'(,)10 ,'(),f(b)b1,0, f(a)a1 由此可得 f'(,)(b,a),[f(b),f(a)],0 b,a因为，所以上式可以改写为 f(b),f(a)f'(),,b,a 证毕。 证法三: 坐标旋转法 考察参数方程 x,g(t),a,t,b,3,,y,f(t), 由Cauchy中值定理的条件可知，方程< 3 >的图像是XOY平面上一条连续且光滑的曲线L， ，，，，Ag(a),f(a)Bg(b),f(b)其端点分别为和。 AB,rx,xOx'如图1，设弦AB与轴正方向的夹角为，且。旋转轴，使得平行于AB， ，，M,g(t),f(t)[g'(a),g'(b)]Ox'曲线L在上的投影分别为，则曲线上一点在新坐标系x'Oy'的坐标为 (x',y'),(g(t)cos,，f(t)sin,,f(t)cos,) g(b),g(a)f(b),f(a)cos,sin,,,rr其中，， - 5 - 。 x'Oy'故曲线L在新坐标系下的参数方程为 g(b),g(a)f(b),f(a),x',g(t)，f(t),rr,, ,g(b),g(a)f(b),f(a)y',,g(t)，f(t),rr, 记 f(b),f(a)g(b),g(a)n,m,rr ， ,4,则式可化为 x',mg(t)，nf(t), ,y',,mg(t)，nf(t), dx'dy' t,(a,b)dtdt显然，对于任意，与均存在。 dx',0[g'(a),g'(b)]dt设，则方程< 3 >在上满足Roller中值定理的所有条件并且有: dy' ,0x',g'(,)dx ' ,,(a,b)即至少存在，使得: - 6 - dymgtnft','()，'(),,0xg,xg,dxmgtnft','()','()''()，'() 经化简可得: ,f(a),f(b)f'(),g(b),g(a)g'(,) 证毕。 比较Lagrange中值定理和Roller中值定理便可知道，它们的区别仅仅在于区间端点的函数 值相等与不相等，如果将Lagrange中值定理中函数所对应的图象通过旋转坐标使得该函数 两端点的函数值相等。于是旋转后图像所对应的新函数则满足Roller中值定理的所有条件， T从而证明Lagrange中值定理。先引入坐标系的旋转变换,即: ,,,,xXcosYsin, ,,,yXsin,Ycos,, ， 因为其系数行列式 ,,cos,,sin ,1,0 ,,sin,cos ,1TT所以还存在变换的逆变换,即: ,,,,X(x)xcosysinxcosf(x)sin,，,，, ,, ,Y(x)xsin,ycos,xsin,f(x)cos,,,，,,，, 不难求得当 f(b),f(a),arctan,b,a Y(a),Y(b)[a,b]时，同时可知Y(x)在上连续，在(a，b)内可微， Y'(,),0,,(,),ab故知Y(x)满足罗尔定理条件，则存在一点使得， 即: ,sin,，f'(,)cos,,0 0:,,,90:cos,,0因为，所以，从而上式可转化为 - 7 - ,sinf(b),f(a),f'(),,tana,cos,b,a 证毕。 - 8 -