“直线与平面垂直的定义与判定”的教学设计与说明

“直线与平面垂直的定义与判定”的教学设计与说明 “直线与平面垂直的定义与判定”的教学设 计与说明 ? 教学参考?数学通讯一2010年第12期(下半月)13 "直线与平面垂直的定义与判定"的教学设计与说明 孔小明 (浙江省金华第一中学,321015) 1教材分析 1.1教学内容 直线与平面垂直的定义,直线与平面垂直的判 定定理及其应用. 课本通过让学生观察旗杆与它在地面上影子的 位置关系引出直线和平面垂直的概念:如果一条直 线与一个平面内的任意一条直线都垂直,就称这条 直线与这个平面互相垂直.而直线与平面垂直的判 定定理是让学生通过折纸试验来感悟的:一条直线 与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与 此平面垂直.该定理把原来定义中要求与任意一条 (无限)直线垂直转化为只要与两条(有限)相交直线 垂直就行了,使直线与平面垂直的判定具有可操作 性.课本中例1给出了判定直线与平面垂直的一个 间接 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 :如果两条平行直线中的一条直线垂直于 一 个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 1.2地位作用 直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特 殊情况,它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓 展,又是平面与平面垂直的基础,是空间中垂直位置 关系间转化的轴心,同时它又是直线和平面所成的 角等内容的基础,因而它是空间点,直线,平面间位 置关系中的核心概念之一. , 一一„1_-一 , 一'==二=:===一 通过该内容的学习,进一步培养和发展学生空 间想象能力,合情推理能力,一定的推理论证能力以 及运用图形语言进行交流的能力,体验和感悟转化 的数学思想,即"空间问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 转化为平面问题","无限 问题转化为有限问题","直线与直线垂直和直线与 平面垂直的相互转化". 2学情分析 2.1基础水平 之前学生已经学习了两直线(共面或异面)互相 垂直的位置关系,学习了直线与平面平行的判定和 性质,有了研究方法的体验,有了"通过观察,操作并 抽象概括等活动获得数学结论"的体会,有一定的空 间想象能力,几何直观能力,推理论证能力以及运用 图形语言进行交流的能力,参与意识,自主探究能力 有所提高,具备学习本节课所需的知识. 2.2认知困难 学生学习的困难之一是如何从直线和平面垂直 的直观形象中抽象概括出直线与平面垂直的定义, 让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的.因 为学生直观感知中的形象和定义中"直线与平面内 的任意一条直线都垂直"的内涵是有距离的.教学中 首先通过一些实例让学生直观感知直线与平面垂直 的具体形象,然后将其抽象为几何图形,再利用"旗 杆与变动的影子的关系"的情境,从中概括出定义, 体会直线与平面垂直定义的合理性. 学生学习的另一个困难是在探究直线与平面垂 直的判定定理过程中,对为什么要且只要"两条相交 直线"的理解,因为定义中"任一条直线"指的是"所 有直线",这种用"有限"代替"无限"的过程导致学生 理解上的思维障碍.教学中可充分利用"折纸"试验, 引导学生进行操作,观察,思考与说理,挖掘"折纸" 活动的数学内涵,对定理的两个关键条件"双垂直" 和"相交"进行理解和确认. 3教学目标 (1)知识与技能:借助对实例,图片的观察,抽 象概括出直线与平面垂直的定义,并能正确理解直 线与平面垂直的定义;通过直观感知,操作确认,归 纳出直线与平面垂直的判定定理,并能运用判定定 理证明和直线与平面垂直有关的简单命题. (2)过程与方法:在探索直线与平面垂直判定 定理的过程中进一步培养学生的空间观念,发展学 生的合情推理能力和一定的推理论证能力,同时体 14数学通讯一2010年第12期(下半月)?教学参考? 验和感悟转化的数学思想方法. (3)情感态度与价值观:让学生亲身经历数学 研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣 和信心. 4重点难点 (1)教学重点:直观感知,操作确认,概括出直 线与平面垂直的定义和判定定理. (2)教学难点:操作确认并概括出直线与平面 垂直的判定定理及其初步运用. 5教法教具 (1)教法:本课采用"引导一探究式"教学方法, 通过精心设计一个个问题串,激发学生的求知欲.教 师引导学生通过观察,分析,实验,讨论,说理等活 动,领悟定义与判定定理的本质内涵,通过对例题和 练习的思考,板演,交流与说理,体验思路的形成过 程,感悟蕴涵其中的数学思想方法.同时借助多媒体 辅助教学,增强教学的直观性,提高课堂效率. (2)教具:投影仪,多媒体 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 (以PowerPoint 为平台,结合使用几何画板),三角板,教鞭(表直 线).学生自备学具:三角形纸片,笔(表直线),课本 (表平面). 6教学过程 6.1直观感知直线与平面垂直的形象 直线在平面内,直 在直线与平面的位置关系中, 线与平面平行我们已经系统研究过了,接下来要研 究直线与平面相交的情形. 问题1请举出日常生活中具有直线与平面 相交的例子,你见到较多的直线与平面相交的情形 是什么? 意图:基于学生的客观现实,通过对生活事例的 观察,让学生直观感知直线与平面相交中的特例 —— 直线与平面垂直的形象,由此引出课题. 师生活动:学生举例,通过比较,引导学生先研 究直线与平面垂直的情形,教师根据学生举例的情 况适当补充,如旗杆与地面,跨栏的支架与地面的位 置关系等. 问题2在已学的空间几何体的直观图中,说 说你心目中哪些直线与平面是垂直的? 意图:基于学生的数学现实,在已学的几何模型 中感知直线与平面垂直的位置关系. 师生活动:学生举例,如长方体的侧棱与底面, 圆柱,圆锥的轴与底面位置关系等. 6.2抽象概括直线与平面垂直的定义 问题3根据我们已有的经验,对于直线与平 面垂直的位置关系,研究的内容,方法分别是什么? 意图:明确研究的内容,通过对已有知识经验的 回顾,引导学生用平面外直线与平面内直线的位置 关系来研究直线与平面垂直的情形,体会知识形成 的自然性. 师生活动:学生思考回答,在考察该直线与平面 内直线的位置关系过程中,教师适时给出"旗杆与变 动的影子的关系"的情境. 问题4如图1,在阳光 下观察直立于地面的旗杆 AB及它在地面的影子BC. (1)它们的位置关系是 怎样的? (2)随着太阳的移动,图1 它们的位置关系会发生改变吗? (3)AB与地面上任意一条不是影子(不过旗 杆底部B)的直线BC的位置关系又是什么? 意图:第(1)(2)问旨在让学生发现旗杆AB所 在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直, 第(3)问旨在引导学生根据异面直线所成角的概念 得出旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过 点B的直线也垂直. 师生活动:学生思考,分析与说理,教师可利用 多媒体课件演示旗杆在地面上的影子的移动过程. 接着引导学生思考:能否用一条直线垂直于一个平 面内的任意一条直线,来定义直线与平面垂直. 问题5若一条直线与一个平面内的任意一 条直线都垂直,你认为该直线与此平面垂直吗? 意图:通过观察,讨论与举例,引导学生认识定 义的"充要性"与"合理性",由此得出直线与平面垂 直的定义. 师生活动:引导学生继续 操作,观察,如图2,当平面外的 直线AB(用一支笔表示)与平 面(用书本表示)不垂直时(直 观感知),平面内就可以找到直 线BC(可用另一支笔表示)与 图2 平面外的这条直线不垂直.接着引导学生给出定义 ? 教学参考?数学通讯一2010年第12期(下半月)15 定义如果直线z与平面a内的任意一条直线 都垂直,我们就说直线z与平面a互相垂直,记作:z j-a.直线叫做平面a的垂线,平面a叫做直线z 的垂面.直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P 叫做垂足. 画法如图3,通常把直线z画成与表示平面a 的平行四边形的一边垂直. 图34 辨析1命题"如果一条直线垂直于一个平面 内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直"是 否正确?为什么? 意图:使学生明确定义中"任意"的要求. 师生活动:引导学生用笔表示直线,用书本表示 平面来举出反例,教师可结合图4说明. 6.3操作确认直线与平面垂直的判定定理 通常定义可以作为判定的依据. 问题6如图5, 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的跨栏,其支架必须竖直 立于地面(即支架所在直线与地面所在平面垂直), 如何进行检验? 意图:引发学生认知冲突,激发探索判定定理的 需要,将平面内直线条数从"无限"转化为"有限". 师生活动:先让学生思考用定义判断不方便的 原因,再讨论平面内直线减少到多少条才合适,排除 一 条和两条平行的情形,针对两条相交情形,引导学 生进行折纸活动. 图56 实验请你拿出准备好的三角形的纸片,我们 一 起来做一个试验:如图6,过?ABC的顶点A翻 折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在 桌面上(BD,DC与桌面接触). 问题7(1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使AD与桌面所在平面垂 直? 意图:通过折纸活动让学生发现,当且仅当折痕 AD是BC边上的高时,AD所在直线与桌面所在的 平面a垂直(如图7). 图7 师生活动:让学生沿A点进行各种翻折,并充 分观察,思考与讨论,教师参与活动. 问题8当折痕AD与BC不垂直时,绕AD 无论怎样翻折,翻折后AD始终与桌面所在平面a 不垂直吗?为什么? 意图:回归定义分析,明确判定一条直线与一个 平面不垂直,只要该直线与平面内的一条直线不 垂直. 师生活动:学生继续观察并 说理,如图8,当AD与BC不垂 直时,翻折后AD始终与桌面内 的直线BD(或DC)不垂直. 问题9当折痕AD上BC 时,绕AD无论怎样翻折, 图8 (1)翻折之后AD始终与桌面所在平面a垂 直吗? (2)翻折之后的垂直关系即AD.1.BD,AD上 CD是否发生变化?由此得到什么结论? 意图:问题(1)旨在让学生继续操作并确认AD 始终与桌面所在平面a垂直的事实,问题(2)意在引 导学生发现:当AD垂直于平面a内过D的任意两 条相交直线时,AD就垂直于平面a. 师生活动:引导学生继续操作观察,进行合情推 理并获得结论. 问题10AD上BD,AD上CD,就有AD上d. 它与直线与平面垂直的定义相符合吗? 意图:建立了定义与判定之间的联系,有助于学 生发现判定的本质,也有助于深化学生对定义的 理解. 师生活动:学生解释说明,如图9,当AD_i_BC 16数学通讯一2010年第12期(下半月)?教学参考? 时,固定BD,保持DC紧贴桌 面,让折纸的CAD部分绕着 AD旋转,旋转过程中发现AD 始终与平面a垂直(直观感 知),同时AD与平面内任意 一 条过点D的直线都垂直,因 图9 此AD与平面a内任意一条直线都垂直. 问题l1根据上面的试验,结合两条相交直 线确定一个平面的事实,你能给出直线与平面垂直 的判定方法吗? 意图:让学生归纳出直线与平面垂直的判定 定理. 师生活动:学生叙述结论, 教师可追问:上述平面内两条 相交直线与平面外的这条直线 是否一定要有公共点?以明确 平面内两相交直线的任意性, 接着指出前面的验证过程并非 定理的严格证明,在后续学习中将借助空间向量的 方法来证明,再引导学生给出文字,图形,符号这三 种语言表示,明确定理中的五个条件. 定理一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直.(如图10) 用符号语言表示为: mCa,nCa,mN:01,. z上,z上尸上 辨析2命题"如果一条直线与一个梯形的两 条边垂直,那么这条直线垂直于梯形所在的平面"是 否正确?为什么? 意图:强化定理中"相交"直线的条件. 师生活动:学生思考作答,教师强调"相交"条 件.接着让学生给出检验跨栏的支架是否竖直立于 地面的办法:只要与地面上两相交横杆垂直. 6.4初步应用 例1如图11,在正方体AC中,下列结论是 否正确,为什么? ?AD上平面DCC,D; ?BD_l_平面DCC,D; ?AD上CD. 意图:利用所学知识解决直线与平面垂直的有 关问题,体会转化思想在解决问题中的作用.其中? 是判定定理的应用,?是定义的应用,?是判定定理 与定义的综合应用. 师生活动:学生思考作答,教师参与讨论. 图l1图12 例2如图12,已知a//b,口_』_a,求证:6上a. 意图:能分别用判定定理与定义解决问题,会用 证明问题的一般思维策略:由已知想可知(性质),由 未知想需知(判定),合理选择辅助线. 师生活动:由学生分析思路并口述证明过程,师 生共同评析,接着引导学生阅读课本,注意证明题书 写的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性,并用文字语言叙述:两条平行直线中的 一 条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于 这个平面. 练习如图13,在三棱 锥V-ABC中,VA=VC, AB=BC,求证:VB上AC. (课本P67练习1) 意图:进一步领会问题 解决的一般思维策略,合理 选择辅助平面,体会转化思 想在解决问题中的作用. 师生活动:学生板演练习,师生共同评析. 6.5总结反思 (1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直 线与平面垂直的方法? (2)上述判断直线与平面垂直的方法体现了什 么数学思想? (3)你还有什么收获与感想? 意图:培养学生反思的习惯,鼓励学生对研究的 问题进行质疑和概括. 6.6作业 (1)如图14,点P是平行四边形ABCD所在平 面外一点,o是对角线AC与BD的交点,且PA= PC,PB=PD.求证:PO上平面ABCD. ? 教学参考?数学通讯一2010年第12期(下半月)17 (2)课本P7练习1 曰 14图l5 (3)课本P73探究题:如图15,直四棱柱A,BC D一ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中, 底面四边形满足什么条件时,ACJ-B,D? 意图:通过训练,巩固本课所学知识,检测运用 所学知识解决问题的能力.其中第(1)题主要运用直 线与平面垂直的判定定理,第(2),(3)题是活用直线 与平面垂直的定义与判定定理. 7板书设计(略) 8设计说明 8.1设计思想 本设计力图贯彻"以人的发展为本"的教育理 念,以情境认知理论和建构主义作为理论依据,体 现"以学生为主体,教师是课堂活动的组织者,引导 者和参与者"的现代教学思想,不仅要关注学生"学 会",而且更要关注学生"会学",让学生通过观察,思 考,实验,分析,合作,反思等过程建构新知识,学会 从数学的角度去观察事物和思考问题.整个教学设 计将知识的发生,发展过程与学生的思维过程进行 有效融合,体现高中几何的教育价值,合情推理与逻 辑推理并重,几何直观能力与抽象思维能力并重,让 学生在自主探索的过程中理解概念,掌握定理,感悟 蕴涵其中的数学思想方法. 8.2设计思路 高中新课标强调立体几何教学中用直观感知, 操作确认,思辨论证,度量计算的方法认识和探索几 何图形及其性质.本节课是在该要求的指导下,借助 学生已有的研究经验,按照"感知实例一抽象定义一 确认判定,初步应用"的研究主线展开. 直线与平面垂直是日常生活中常见的特殊线面 位置关系,教学中通过引导学生举例,有助于学生直 观感知直线与平面垂直的形象,通过在空间几何体 的直观图中寻找线面垂直的位置关系,有助于从中 抽象出线面垂直的直观图形,培养学生的几何直观 能力. 直观感知后给线面垂直下定义是自然的事,为 了帮助学生理解定义中的"任意一条",本设计以概 念的形成方式进行,教学中首先让学生回忆以往的 研究经验,引导学生运用"降维"转化的方法思考问 题,考察直线与平面内直线的位置关系,再通过分析 旗杆与影子的位置关系这种学生熟悉的生活实例, 让学生通过观察,实验,归纳,猜想等思维活动逐步 概括得出线面垂直的定义,使定义教学自然,合理, 准确,有助于学生对线面垂直本质的理解,也有助于 提高学生的抽象概括能力. 对判定定理的教学,课标不要求在必修课程中 进行证明,而强调操作确认并归纳出判定定理.但是 怎样操作才能归纳出判定定理?确认到什么程度, 才能在不对定理进行证明的情况下,不降低学生的 思维水平,不仅体现合情推理,而且体现逻辑推理? 本设计充分利用教材中折纸试验的素材,通过一系 列问题的引导,给学生提供动手操作的机会,引导学 生通过自己的观察,操作等活动获得数学结论,把合 情推理作为一个重要的推理方式融人到学生的学习 过程中.同时让学生在操作过程中进行解释与说理, 挖掘折纸试验所反映的数学本质,建立判定与定义 的有效联系,体现了操作确认过程中的逻辑推理成 份,达到合情推理与逻辑推理并重的效果.另外,通 过定理的探索过程,也培养和发展学生的几何直觉 以及运用图形语言进行交流的能力. 例题,习题的选择充分考虑到知识应用的层次 性,从让学生理解,记忆定义与判定定理及简单应 用,到灵活应用判定定理和定义进行线线,线面位置 关系的转化等,巩固所学知识,体会蕴含的转化数学 思想,丰富证明问题的思考策略. 8.3问题思考 (1)怎样充分考虑学生可能给出的概念定义水 平,要求学生自己给出直线与平面垂直的定义,然后通 过辨别,解释等活动来促进学生形成正确的数学概念. (2)怎样充分挖掘"折纸"活动的数学内涵,让 学生充分展开思维活动,使学生明确折纸的目的, "观察"的角度,"确认"的途径. (3)如何通过恰当的教学设计,组织学生的认 知活动,在"直观感知,操作确认"中不降低学生的思 维水平,不仅体现合情推理,而且体现逻辑思维. (收稿日期:2010—07—09)