绝密*启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)
数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷
一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合
;,则
中所含元素
的个数为( )
【解析】选
,
,
,
共10个
(2)将
名教师,
名学生分成
个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,
每个小组由
名教师和
名学生组成,不同的安排
方案
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共有( )
种
种
种
种
【解析】选
甲地由
名教师和
名学生:
种
(3)下面是关于复数
的四个命题:其中的真命题为( )
的共轭复数为
的虚部为
【解析】选
,
,
的共轭复数为
,
的虚部为
(4)设
是椭圆
的左、右焦点,
为直线
上一点,
是底角为
的等腰三角形,则
的离心率为( )
【解析】选
是底角为
的等腰三角形
(5)已知
为等比数列,
,
,则
( )
【解析】选
,
或
(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数
和
实数
,输出
,则( )
为
的和
为
的算术平均数
和
分别是
中最大的数和最小的数
和
分别是
中最小的数和最大的数
【解析】选
(7)如图,网格纸上小正方形的边长为
,粗线画出的
是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
【解析】选
该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为
此几何体的体积为
(8)等轴双曲线
的中心在原点,焦点在
轴上,
与抛物线
的准线交于
两点,
;则
的实轴长为( )
【解析】选
设
交
的准线
于
得:
(9)已知
,函数
在
上单调递减。则
的取值范围是( )
【解析】选
不合题意 排除
合题意 排除
另:
,
得:
(10) 已知函数
;则
的图像大致为( )
【解析】选
得:
或
均有
排除
(11)已知三棱锥
的所有顶点都在球
的求面上,
是边长为
的正三角形,
为球
的直径,且
;则此棱锥的体积为( )
【解析】选
的外接圆的半径
,点
到面
的距离
为球
的直径
点
到面
的距离为
此棱锥的体积为
另:
排除
(12)设点
在曲线
上,点
在曲线
上,则
最小值为( )
【解析】选
函数
与函数
互为反函数,图象关于
对称
函数
上的点
到直线
的距离为
设函数
由图象关于
对称得:
最小值为
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个
试题
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考生都必须作答,第22-第24题为选考题,考生根据要求做答。
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)已知向量
夹角为
,且
;则
【解析】
(14) 设
满足约束条件:
;则
的取值范围为
【解析】
的取值范围为
约束条件对应四边形
边际及内的区域:
则
(15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3
正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从
正态分布
,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命
超过1000小时的概率为
【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
(16)数列
满足
,则
的前
项和为
【解析】
的前
项和为
可证明:
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知
分别为
三个内角
的对边,
(1)求
(2)若
,
的面积为
;求
。
【解析】(1)由正弦定理得:
(2)
解得:
(l fx lby)
18.(本小题满分12分)
某花店每天以每枝
元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝
元的价格出售,
如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。
(1)若花店一天购进
枝玫瑰花,求当天的利润
(单位:元)关于当天需求量
(单位:枝,
)的函数解析式。
(2)花店
记录
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了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下
表
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:
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
(i)若花店一天购进
枝玫瑰花,
表示当天的利润(单位:元),求
的分布列,
数学期望及方差;
(ii)若花店
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?
请说明理由。
【解析】(1)当
时,
当
时,
得:
(2)(i)
可取
,
,
的分布列为
(ii)购进17枝时,当天的利润为
得:应购进17枝
(19)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱
中,
,
是棱
的中点,
(1)证明:
(2)求二面角
的大小。
【解析】(1)在
中,
得:
同理:
得:
面
(2)
面
取
的中点
,过点
作
于点
,连接
,面
面
面
得:点
与点
重合
且
是二面角
的平面角
设
,则
,
既二面角
的大小为
(20)(本小题满分12分)
设抛物线
的焦点为
,准线为
,
,已知以
为圆心,
为半径的圆
交
于
两点;
(1)若
,
的面积为
;求
的值及圆
的方程;
(2)若
三点在同一直线
上,直线
与
平行,且
与
只有一个公共点,
求坐标原点到
距离的比值。
【解析】(1)由对称性知:
是等腰直角
,斜边
点
到准线
的距离
圆
的方程为
(2)由对称性设
,则
点
关于点
对称得:
得:
,直线
切点
直线
坐标原点到
距离的比值为
。(lfx lby)
(21)(本小题满分12分)
已知函数
满足满足
;
(1)求
的解析式及单调区间;
(2)若
,求
的最大值。
【解析】(1)
令
得:
得:
在
上单调递增
得:
的解析式为
且单调递增区间为
,单调递减区间为
(2)
得
当
时,
在
上单调递增
时,
与
矛盾
当
时,
得:当
时,
令
;则
当
时,
当
时,
的最大值为
请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,
做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,
分别为
边
的中点,直线
交
的外接圆于
两点,若
,证明:
(1)
;
(2)
【解析】(1)
,
(2)
(23)本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程
已知曲线
的参数方程是
,以坐标原点为极点,
轴的正半轴
为极轴建立坐标系,曲线
的坐标系方程是
,正方形
的顶点都在
上,
且
依逆时针次序排列,点
的极坐标为
(1)求点
的直角坐标;
(2)设
为
上任意一点,求
的取值范围。
【解析】(1)点
的极坐标为
点
的直角坐标为
(2)设
;则
(lfxlby)
(24)(本小题满分10分)选修
:不等式选讲
已知函数
(1)当
时,求不等式
的解集;
(2)若
的解集包含
,求
的取值范围。
【解析】(1)当
时,
或
或
或
(2)原命题
在
上恒成立
在
上恒成立
在
上恒成立