数列的通项公式
授课:刘柳城 2010、10、10
本课要点:
一、什么叫数列的通项公式,
a如果一个数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式nnn
就叫做这个数列的通项公式.
二、求数列的通项公式有哪些类型和方法,
(一)可直接用结论的:
aand,，,(1)?若数列是等差数列，则通项公式是; a,,n1n
n,1aaq,?若数列是等比数列，则通项公式是; a,,n1n
Sn(1),,1S?若题目先给出数列的前项和，则通项公式是 naa,,,,nnnSSn,,(2),nn1,
2Snn,,23a例1(1)设，则数列的通项公式___________ ,a,,nnn
n,1Sen,，2a (2)设，则则数列的通项公式___________ ,a,,nnn
aSn,,,,1,2aSSn,,,,45解答:(1)? 时， 11nnn,1
an,,45 ? 数列的通项公式是; a,,nn
nnn,,,122aS,,3,(2)? 时， aSSeeee,,,,，,,，2(1)2n,211nnn,1
3(1)n,,? 数列的通项公式是 aa,,,,nnn,2een(1)2(2),，,,
(二)叠加法与累乘法
如发现是等差数列或等比数列，则可用叠加法: ?aa,,,nn,1
aaaaaaaa,，,，,，，,()()() nnn121321,
,,an ?如发现是等比数列，则可用累乘法: ,,an,1,,
aaa3n2,,,,,.aa n1aaa,121n
aaan,,，1,2a 例2已知数列中，，求此数列的通项公式. a,,11nn，nn
aan,,2a,1解答:? ， nn，11aa,,,21 ? 21
aa,,,22 32
aa,,,23 43
„„„„
aan,,,,2(1) nn,1
aannn,,，，，，,,,2[123(1)](1)将上述等式相加，得 n1
2 ?数列的通项公式是 aann,,，1,,nn
naaa,,，2,3a例3已知数列中，，求此数列的通项公式. a,,11，nnnn
naaa,,,2,3解答:? 11，nn
aa,,3 ? 21
2aa,,3 32
3aa,,3 43
„„„„„
n,1aa,,3 nn,1
231n,将上述等式相加，得 aa,,，，，，3333n1
n31，a,. ?数列的通项公式是 a,,nn2
nb例4已知数列中，，求此数列的通项公式. bbbb,,8,2,,nn11，nn
bnn，1,2解答: ? bn
bbbb23n,1n324,2,2,2,2, ? ，，„， bbbbn,1123
2nnnn(1)6,,，123(1)，，，，,n22bb,,,,,2822.将上述等式相乘，便得 n1
(三)构造新的等差或等比数列，用转化的思想求数列的通项公式
apat,，?待定系数法:形如()的数列，一定可求得“待定系数”，使p,0knn，1
p新数列构成以为公比的等比数列;(参考例5之解答)) ak,,,n
ta11pn?取“倒数法”:形如()可化为,， a,t,0n，1pat，aatnnn，1
,,1因此数列是等差数列. ,,an,,
aaa,,,7,32例5已知数列中，，求此数列的通项公式. a,,11nn，n
解答:本解答采用“待定系数法”
akak,,,3()aak,,32 令，则 nn，1nn，1
aa,,32 将此式与已知递推关系式比较，便得 k,1nn，1
? 数列是公比为等比数列 a,13,,n
nnn,,11 ? aa,,,,,,,,1(1)36323n1
na,，,123. ?数列的通项公式 a,,nn
n例6已知数列中，，求此数列的通项公式. aaaa,,，2,63,,n11，nn
n解答:? ， aaa,,，2,6311，nn
naaaa631，，11nnnn,，,,,，2 ? ，，，，1111nnnnn333333
a12n设，则且 bb,，b,b,2nn，11nn333
a111n,1nnn,,11n仿例5用“待定系数法”可求得，? b,,,,,,,,2263.annn3332
an,,1,aa例7已知数列中，，求此数列的通项公式. a,,11，nn31，an解答:本解答采用“取倒数法”
an,,1,aa ? ， 11，n31，an
1111,，,,,33 ? aaaannnn，，11
,,11? 是首项为1，公差为的等差数列，故 ,，,,,,nn1(1)3323,,aann,,
1 ?数列的通项公式 aa,.,,nnn,32(四)用“不完全归纳法”(即从前几项探索规律，猜测出该数列的通项公式)
例8写出数列的一个通项公式. 5,55,555,
55523 解答:? aaa,,,,,,,,,5(101),55(101),555(101),123999
5n ? 可猜测知数列的通项公式 aa,,(101).,,nn9
的一个通项公式. 例9写出数列1,0,1,0,1,0
n,11(1)，,a, n2
例10写出数列的一个通项公式. 1,1,2,2,3,3,4,4,
112031405160，，，，，， ? aaaaaa,,,,,,,,,,,,123456222222
? 据此，结合例9的通项公式，可猜测知数列的通项公式 a,,n
n,11(1)，,n，n,1n21(1)，，,2 a,,.n24
2aaa,,3,例11已知已知数列中，，则此数列的通项公式是_____________ a,,nn，11n
2aaa,,3,解答:? ， nn，11
22222428aaaaaa,,,,,,,3,33,3, ? ，，213243
n,11,2,4,8, ? 的指数依次是，即的指数是2 33
n,12a,3. ? 可猜测知数列的通项公式 a,,nn
(五)其他(可自行收集归纳)
(3)23,，,，pSpappS例12已知已知数列的前项和满足(为常数且na,,nnnn
p,,3)求数列的通项公式. a,,n
(3)23,，,，pSpap解答:? „„? nn
(3)23,，,，pSpap ? „„? nn，，11
,(3)220(3)2,，,,,，,papapapapa??得 nnnnn，，，111
a2pn，1(3)23,,，,，,pSpapSa ? ，又 ,1111ap，3n
(3)3pap，,，a,1. ? ，但，? p，,3011
n,1,,2p2p1 ?数列是首项为，公比为的等比数列，故其通项公式 a,.a,,n,,np，3p，3,,三、小结:“不完全归纳法”只可用于填空或选择题，如用于解答题则还要有后续检验、论证;除此法，其他方法均可用于解答题.
p四、练习:教学版72—73
p五、作业:练习B22—23.
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