齿轮时变系统对扭矩激励的响应

齿轮时变系统对扭矩激励的响应 V o l118 N o 16 第18卷 第6期航空动力学报 2003 年 12月D ec. 2003 Journa l of A ero spa ce Power () 文章编号: 100028055 20030620737207 齿轮时变系统对扭矩激励的响应 1 2 2 2张锁怀, 沈允文, 董海军, 刘梦军 ( 1. 陕西科技大学 机电学院, 陕西 咸阳 712081; )2. 西北工业大学 机电学院, 陕西 西安 710072 摘要: 在考虑齿轮时变啮合刚度、啮合阻尼和输入、输出扭矩波动的情况下, 建立了具有周期性时变系数的齿() 轮系统线性动力学方程, 用 算符方法 求出了该动力学系统的近似解析解。根据计算结果, 算符方 A A OM A () 法 克服了谐波平衡法的缺点, 能够得到系统响应的所有频率成分, 计算精度更高; 与数值法相比, 可取 A OM 较大步长, 省时间, 效率高; 系统受到内部或外部激励时, 响应中含有同频、倍频、差频及和频成分。 () 关 键 词:航空、航天推进系统; 算符方法 ; 齿轮系统; 时变啮合刚度; 扭矩波动A A OM 中图分类号: 11; 132141文献标识码: 113TH TH A - Respon se of a Gea r Sy stem w ith T im eVa ry in g M esh St if fn ess to Torque F luctua t ion 1 2 2 22, 2, 2, 2ZHA N G Suo h ua iSH EN Yun w enDON G H a ijunL IU M engjun (1. , 712081, ;Sh aanx i U n iver sity of Science T ech no logyX ianyang C h ina )2. , 710072, N o r thw estern Po ly tech n ica l U n iver sityX i’an C h ina : . , 2 A bstra ctT h e govern ing equa t ion of a gea r sy stem is estab lish edIn th e equa t ion th e t im e , , . va ry ing m esh st iffnessm esh dam p inginp u t and ou tp u t to rque f luctua t ion s a re con sideredD ue to , th e m esh st iffness of a gea r p a irth e govern ing equa t ion rep resen t s a linea r dynam ic sy stem w ith () 22. p er iod ic t im eva ry ing coeff icien tA op era to r m ethod A OM is u sed to ob ta in th e app rox im a te () . , 2ana ly t ic so lu t ionA cco rd ing to th e resu lt sA op era to r m ethod A OM overcom es th e defau lt s of . , h a rm on ic ba lance m ethod and can k eep a ll f requency com ponen t sIn th e respon se of th e sy stem , 2fundam en ta ldoub le and com po sed f requency etc of t im eva ry ing m esh st iffness and to rque f luc2 () 2. tua t ion f requency coex istA op era to r m ethod A OM tak es less t im e th an o th er num er ica l .m ethod () 2; ; Key words: aero sp ace p rop u lsion sy stem ; op era to r m ethod A OM gea r sy stem A 2;t im eva ry ing m esh st iffness to rque f luctua t ion 1, 2 , 分将时变啮合刚度近似为常量, 在研究非线性振负载大小发生变化、或驱动机转速波动时 3, 4 别会引起齿轮系统输出、输入扭矩的变化, 这必将 动问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 时, 又按分段线性处理。近年来, 随着对 齿轮系统传动平稳性的要求愈来愈高, 现有的研 引起振动和噪音。过去人们研究齿轮系统的动力 学问题时, 由于受数学方法和计算速度的限制, 常 究成果无法解释齿轮系统中的一些异常振动现 2003- 01- 10; 2003- 06- 25 收稿日期:修订日期:基金项目: ( ) ( )国家自然科学基金资助项目 50075070; 陕西省教育厅基金资助项目 01164 J K作者简介: ( ) 张锁怀 1962- , 男, 陕西宝鸡人, 陕西科技大学机电学院教授, 博士, 主要从事转子动力学及机械系统动力学研究. 5C = 1 象, 必须考虑齿轮时变啮合刚度这一时变因素, 0 才能对齿轮系统的动力学行为给出更为精确的描0 0 0 C 11 述。考虑齿轮时变啮合刚度后, 系统的动力学方程 rcƒI rcƒI b1 01 1 b2 23 2 - 0 - 0 0 式将是一个具有周期性时变系数的线性微分方 0 0 0 0 C 33 6 程, 当存在其他激励因素时, 其响应完全不同于0 0 - c I 0 - c I ƒƒb3 23 3 b4 45 4 r r 7 常系数线性动力系统的响应。由于受数学方法0 0 0 0 C 55 的限制, 目前这方面的研究工作进展缓慢。A do2K= 1 89, 10 提出的分解算法 经人们推广后, 能很m ian 0 0 0 0 K 11 好地用于研究具有时变啮合刚度的齿轮系统的动rkƒI rkƒI 0 0 0 - b1 01 1 - b2 23 2 力学问题。 0 0 K 0 0 33 rkI ƒ0 0 0 1 动力学方程式- b3 23 3 - rk ƒI b4 45 4 0 0 0 K 0 55图1所示的以二级齿轮系统为研究对象, 只考 虑齿轮系统的扭转振动, 令: N = 2 2 2 T x = Υ- Υx = rΥ- rΥ , ( )1 0 12 b1 1 b2 2rƒI rƒI + rƒI - - ƒI 0 0 b1 1b1 1 b2 2 b2 2 r x = x = Υ-Υ, rΥ-rΥ3 4 2 3 b3 3 b4 4 N = 3 2 2 T ( )0 0 - - rI ] ƒrI I + rI ƒƒƒb4 4 b3 3 rb3 3 b4 4 x = Υ- Υ 5 4 5 ) (C = 1ƒI + 1ƒI c11 0 1 01 ) (C = 1ƒI + 1ƒI c33 2 3 23 ) (C = 1I + 1I cƒƒ55 4 5 45 ) (K = 1I + 1I k ƒƒ11 0 1 01 (K = 1I +) ƒ33 2 1ƒI k 3 23 ) (K = 1ƒI +1ƒI k 55 4 5 45 式中, 为5阶单位矩阵。根据文献 11 计算齿轮M 时变啮合刚度, 然后用 级数展开得: Fou r ier m m 22 ( ) k12 t= ak12 ico siΞm 12 t + bk12 i sin iΞm 12 t6 6 i= 0 i= 1 m m 22 ( ) k34 t= ak34 ico siΞm 34 t + bk34 i sin iΞm 34 t6 6 i= 0 i= 1 二级齿轮系统振动模型图1TT ƒI F = 0 0 0 T ƒI ]20 0. 1 5 5 F igM ode l of tw o staged gea r sy stem 驱动力矩 和阻力矩 用 级数分别 T 0 T 5 Fou r ier ( ) 为原动机、齿轮、负载的转角, = 0, 5, 可得 Υi i 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为:动力学方程式为: m m 33β α C + M X+A c+ A c]X+1 2 12 3 34 T = aco siΞt + bsin iΞt 0 T 0 i0 T 0 i 0 6 6 i= 0 i= 1 ( ) ( ) () 1 F [ K1 + A 2 k12 t+A 3 k 34 t]X =m m 33 式中:T = aco siΞt + bsin iΞt 5 T 5 i5 T 5 i 5 6 6 i= 0 i= 1 Tx x x ]X = x x 3 4 5 1 2以上各式中: TA = N N N N N ]2 1 2 1 1 1 , —— 原动机、负载的转动惯量; 0 5 I I ( ) T—— 齿轮 的转动惯量 = 1, 2, 3, 4; I i z i iA = N N N N N ]3 1 1 1 3 1 , , —— 材料扭转阻尼;c01 c23 c45 T N = 0 0 0 0 0 1 k 01 , k 23 , k 45 —— 材料扭转刚度; , —— 齿轮啮合阻尼; 式中: —— 时间步长 c12 c34 h ( ) ( ) ( ) 将 式 5与式 6相加即得式 2的近似解析 0 , 5 —— 原动机驱动力矩、负载阻力矩;T T 解。 ( ) rbi —— 齿轮基圆半径 i= 1, 2, 3, 4;( )( ) i i (为了 书 写 方 便, 上 式 中, 表 示 h; tk , y y , —— 齿轮啮合频率;Ξm 12 Ξm 34 ) , = 1, 2, 3, 。y ti , —— 驱动机和负载的变化频率;k Ξ0 Ξ5 ? , ——级数的项数。( ) m 2 m 3 Fou r ier i (, y ) ( ) y = y h; tk - 1 tt7 k- 1 k 6 i= 0 方程求解 2 T ( ) 0 0 0 0 F a0 i t=f N 10 T α T 也为令 y = X X], I 为单位矩阵。由于 M( ) N 0 0 0 0 f ]F t=1 5 a5 i () 单位矩阵, 系统动力学方程式 1可转换为:f =0 α( ) ( )() 2 y=H y + F 1 t+F 2 t, y ( ) ( [ aco si sin iΞ ] b Ξt+ t T 0 iT 0 i tk + t 0 k 式中:I 0 0 - I f = 5 H = - KC 1 1 ( ) ( ) [ a co siΞt + t+ b sin iΞt + t]5 5 5 T 5 i k T i k T T T I 5( ) N F ]F 1 t= 1 ( ) ( ) F 2 t, y = H 1 ty3 对扭矩激励的响应 ( ) H t=1 齿轮系统结构参数如表1所列。在用 方 A OM 0 () 0 法求解之前, 已对系统动力学方程式 1进行了无 - 表1 齿轮系统参数 ( ) ( ) A c+ A 2 k12 t+ A 3 k 34 t2 12 A 3 c34 1 Ta ble Pa ram e ter s of gea r sy stem () 方程 2初值解的一般表达式为: () 0()( ) y + 3 y t= expH t y + 1 y 2r () 齿轮齿数 0 z 123 ( ) y y == 0 t tt=| 0齿轮齿数 z 2 73 t 齿轮齿数 z3 27 ) () ( y = expHΣΣ t - 1 r F 1 Σd ?0 齿轮齿数 z 483 ()驱动力矩 ƒraT 00 Nm t 1 ( ) (() ) y = expHt - 2 Σr F 2 Σ, y ΣdΣ ?) 0 (r阻力矩 ƒ T 50 Nm a 9175 ()() 扭矩波动 ƒr 在式 3中, 与 无关, 可精确求出。把 归 011 aT 01 Nm y 1 y y 1 () 0() 扭矩波动 ƒraT 51 Nm ( ) 结到 中去, 根 据 , 构 造 多 项 y F 2 ty A dom ian 011 齿宽 , ƒ齿宽 b1 b2 mm ( ) ( ) 式, 这样的计算结果通常比直接对 , , F 1 tF 2 ty 20 , ()ƒb3 b4 mm 压力角ƒ? 构造 多项式进行计算的结果要好。根据 A dom ian 25 12 () 分解算法, 式 3的各阶近似解析解为:A OM 20 - 451551×10 2 )(转动惯量 ƒr I 0 k gm() 0 - 4H h r y +expy =t 31493×10 k 2 )( 转动惯量 ƒr I 1 k gm- 2m 331545×10 α ( ) ( ) 2 expH h [H F t+ F t] r r a0 i k a0 i k ()转动惯量 ƒrI 2 k gm -2 2 6 2 ) ( H + iΞI 0 - 4 i= 0 ()转动惯量 ƒrI 3 k gm 81293×10 m 3α - 2 71406×10 2 ( ) ( ) [H F t+ h + F t+ h ] r a0 i k a0 i k ()转动惯量 ƒr I 4 k gm +2 2 6 - 3) ( 2H + iΞI 0 21022×10 i= 0 ( ) 转动惯量 ƒrI 5 k gm m 3α 011 阻尼 , , c01 c23 c45( ) ( ) expH h r [H r F t+ F t] a5 i k a5 i k -2 2 阻尼比 , 扭转刚c12 c34 6 0105 )( H + iΞ I 5 i= 0 () 度 ƒr扭转刚5 k 01 Nm m 11005×10 3α ( ) ( ) ()[H F + h + h r 度 ƒra5 i tk + F a5 i tk ]k 23 Nm 5()5 61135×102 2 6 ) ( H + iΞ5 Ii= 0 5 51089×10 ()扭转刚度 ƒr k 45 Nm ( ) i- 1 ) ( ) ( H h H t expr ry = - H I - 1 k ( ) i- 1() ()y h; t , y 6 k- 1 tk- 1 量纲化处理, 所以, 系统响应以无量纲形式给出。2 倍 频、3 倍 频 及 Ξm 12 - Ξm 34 , Ξm 12 + Ξm 34 等 成 有 其 只存在输入轴上由表1可知, 两级齿轮传动系统的速比分别为分, 3倍频以上的成分幅值很小。 7323 = 3117, 8327 = 3107, 总速比为9176。第一 ƒƒ扭矩波动时, 系统沿 和 x 2 x 4 级齿轮传动的啮合频率 与输出轴角频率 之 Ξm 12 Ξ5 方向的响应频谱如图3所示。与图2所示的无扭矩比为 ƒ= 22414, 第二级齿轮传动的啮合频率 z 4 z 2 z 3 波动的情况相比, 除具有图2中的频率成分外, 还 与输出轴角频率 之比为 = 83。为了表达 Ξm 34 Ξ5 z 4 出现了新的频率成分, 对应的频率为9176, 与输入 简洁、清晰, 频谱图的横坐标以频率比的形式给 出, 它表示了系统的响应频率与输出轴的角频率 轴的角频率相等。此外, 在啮合频率 附近, 也 Ξm 12 的比值。输入轴转速为3000 。ƒΞ5 rm in 出现了新的频率成分, 其对应的频率为 - Ξm 12 Ξ1 3. 1 对输入扭矩激励的响应 用谐波平衡法研究齿轮- 转和 + 。文献 7 Ξm 12 Ξ1 只考虑时变啮合刚度的一次谐波, 输入轴上 子- 轴承系统对时变啮合刚度和不平衡质量激励的恒扭矩如表1所列, 为1 也只考虑输入轴 r, Nm 的响应时, 用解析式指出, 有 - 和 + Ξm 12 Ξ1 Ξm 12 Ξ1上扭矩波动的一次谐波, 其幅值为011 波动 r, Nm 的谐波分量出现在系统的动力响应中, 可见, 此处频率与输入轴的角频率 相同。无扭矩波动时, Ξ1 系统沿 和 方向的响应频谱如图2所示。根据 x 2 x 4 是一致的。所得结果与文献7 图2, 虽然在系统内部只有二个激励频率, 即啮合 14, 但系统的响应中, 有 224频率 m 34 = 83, m 12 = ΞΞ 多个频率成分, 除83, 22414这两个基频分量外, 还 图3 及 坐标对扭矩激励的响应 x 2 x 4 F ig. 3 R e spon se on to rque f luctua t ion in x 2 and x 4 d irect ion 考虑时变啮合刚度的二次谐波时, 和 方 x 2 x 4 向的响应频谱如图4所示, 对应于2处, 峰值明 Ξm 34 图2 及 坐标对扭矩激励的响应 x 2 x 4 显增加, 其他各处的峰值变化不大, 动载系数、响 . 2 F igR e spon se on to rque f luctua t ion in x 2 ()应的幅值略有增加 文中没有给出。 考虑时变and x 4 d irect ion 啮合刚度的三次谐波时, 系统响应 图4 及 坐标对扭矩激励的响应 x 2 x 4 R e spon se on to rque f luctua t ion in x 2 and x 4 d irect ion F ig. 4 及 坐标对扭矩激励的响应 图5x 2 x 4 F ig. 5 R e spon se on to rque f luctua t ion in x 2 and x 4 d irect ion 图6 及 坐标对扭矩激励的响应 x 2 x 4 F ig. 6 R e spon se on to rque f luctua t ion in x 2 and x 4 d irect ion 谱, 为了清楚地表示频率等于1的频率分量, 只给 变化很小。 3. 2 对输出扭矩激励的响应 出了较小的频率范围内的谱线。其规律与输入轴 扭矩波动激起的响应规律相似。011 r波 输出轴上的扭矩波动幅值也取, N m 当考虑时变啮合刚度的二次谐波时, 响应频 动频率与输出轴角频率相等。图5 是其响应的频 谱如图6所示。 及 坐标对扭矩激励的响应及动载系数 图7x 2 x 4 F ig. 7 R e spon se on to rque f luctua t ion and dynam ic load s in x 2 and x 4 d irect ion 及 坐标对扭矩激励的响应及动载系数 图8x 2 x 4 F ig. 8 R e spon se on to rque f luctua t ion and dynam ic load s in x 2 and x 4 d irect ion 3. 3 对输入和输出扭矩共同激励的响应5 结论 取扭矩波动幅值均为011 r波动频率分 , N m ( ) 1法作为一种 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 非线性动力学问 A OM 别等于输入轴和输出轴的角频率。 题的近似解析法, 克服了谐波平衡法的滤波缺陷,当考虑时变啮合刚度的一次谐波时, 系统的 使计算结果精度更高, 可靠性更高。响应频谱及动载系数如图7所示。当同时考虑时变 ( ) 2当线性时变系统受到内部或外部激励 啮合刚度的一次谐波和二次谐波时, 系统的响应 时, 系统响应中含有同频、倍频、差频及和频成分。 频谱及动载系数如图8 所示。虽然系统响应的幅 值、动载系数、各次频率分量的大小有一定变化, 参考文献:但在本文特定的系统参数下, 就响应的频率成分 1 H evza t H. D ynam ic A na ly sis of H igh Sp eed Gea r s by U sing 而言, 其响应规律基本上是前述各种情况的组合。 [ . L oad S ta t ic T ran sm ission E r ro r J Jou rna l of Sound and V i2 ( ) , 1988, 125 1: 71- 83.b ra t ion 4 讨论β, , , . 2 Kah ram an A Ozgvüen H N Hou ser D R et a lD ynam ic 时变啮合刚度的引入, 使常系数线性系统变[ . A na ly sis of Gea red Ro to r s by F in ite E lem en t s J A SM E 为具有周期性时变系数的线性系统, 其形式类似 , 1992, 114: 507- 514.Jou rna l of M echan ica l D esign 于 方程, 但它是一个多自由度系统。由于时变 H ill 3 , . 2Kah ram an A S ingh RN onL inea r D ynam ics of a Gea red Ro2 啮合刚度的影响, 系统的动力响应变得较为复杂。 to r2B ea r ing Sy stem w ith M u lt ip le C lea rances [ J . Jou rna l of 在常系数线性系统中, 系统响应的频率等于激励 ( ) Sound and V ib ra t ion, 1991, 144 3: 469- 506. 频率, 而在具有时变系数的线性系统中, 即使没有 4 Kah ram an A. In teract ion s B etw een T im e2V a ry ing M esh S t iff2 外部激励, 由于时变系数的影响, 在系统的响应 2[ . ness and C lea rance N onL inea r it ies in a Gea red Sy stem J 中, 也包含有多种频率成分, 如时变啮合刚度的基 ( ) , 1991, 146 1: 135- 156.Jou rna l of Sound and V ib ra t ion 频分量、倍频分量、差频分量及和频分量。当时变 , , . H uang W ZD ing KW ang Z JA n Invest iga t ion on the A b2 5 系统受到外部激励时, 其响应中除包含有上述频 [. . no rm a l V ib ra t ion of a Cen t r ifuga l Com p resso r M P roof IC 率成分及与激励频率相同的频率成分外, 还包含 - HBR SD ’ 97, B eijing: N a t iona l D efence Indu st ry P ress, 有其他新的频率成分, 其对应的频率大小等于时 1997, 3: 234- 238. () 变系数的变化频率 啮合频率与激励频率相加或 张锁怀. 齿轮耦合的转子- 轴承系统的动力特性研究 [.D 6 相减。可见, 对于这类系统, 若想减少其振动的幅 西安: 西安交通大学, 2000. 张锁怀, 李忆平, 丘大谋. 用谐波平衡法分析齿轮耦合的转 值、或降低噪音, 在设计阶段, 应进行动力学分析, 7 不但要使系统的固有频率避开啮合频率、各传动 轴承系统的动力特性[. ( ) 子-J 机械工程学报, 2000, 36 7:轴的角频率以及其他激励频率, 而且, 还要避开他 18- 22. 们的倍频以及上述频率相加或相减所得的组合频 . 8 A dom ian GSo lu t ion of Coup led N on linea r P a r t ia l D ifferen t ia l 率。 [ . . . ,E qua t ion s by D ecom po sit ion J Com p u ter M a thA pp lic 与谐波平衡法相比, 法没有滤波特性, A OM ( ) 1996, 31 6: 117- 120. 能够保留系统响应的所有频率成分, 具有更高的 方锦清, 姚伟光. 逆算符方法求解非线性动力学方程及其一 9 精度、可靠性和实用性; 与其他数值方法相比, 由 ( ) 些应用实例[. 物理学报, 1993, 42 9: 1375- 1387.J 李华, 沈允文, 孙智民. 基于 算符方法的齿轮系统的分 - A 10 ( ) 岔与混沌[. 机械工程学报, 2002, 38 6: 11- 15.J . Ca i YS im u la t ion on the Ro ta t iona l V ib ra t ion of H elica l 11 Gea r s in Con sidera t ion of the Too th Sep a ra t ion P henom enon ()A N ew S t iffness F unct ion of H elica l Invo lu te Too th P a ir 于 法给出了前几阶近似解析解, 没有迭代 A OM( ) [ J . A SM E Jou rna l of M echan ica l D esign, 1995, 117 9 : 运算, 在保证计算过程收敛和计算精度的情况下,460- 468. 李华. 基于 的非线性机械系统动力分析理论及其应可取较大的步长, 计算速度快, 节省时间。因此,AOM 12 法是分析非线性动力系统的有效方法, 具A OM 用[. 西安: 西北工业大学, 2002.D 有明显的优越性。