初中数学经典几何题及答案
经典难题(一)
1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD?AB,EF?AB,EG?CO(
求证:CD,GF((初二)
C
E
G A B D O F
02、已知:如图,P是正方形ABCD内点,?PAD,?PDA,15(
A D 求证:?PBC是正三角形((初二)
P
C B
3、如图,已知四边形ABCD、ABCD都是正方形,A、B、C、D分别是AA、BB、1111222211
CC、DD的中点( 11A D 求证:四边形ABCD是正方形((初二) 2222D2 A2 A 1
D 1
B1
C1
BC2 2
B C
4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD,BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC
的延长线交MN于E、F( F 求证:?DEN,?F(
E
N C
D 经典难题,二,
A B M 第 1 页 共 14 页
1、已知:?ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM?BC于M(
A (1)求证:AH,2OM;
0,求证:AH,AO((初二) (2)若?BAC,60
O ? H E
B C M D
2、设MN是圆O外一直线,过O作OA?MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C
及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q( G E 求证:AP,AQ((初二)
O ? C
B D
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: M N Q P A 设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN
E 于P、Q(
C 求证:AP,AQ((初二) A Q M ? N P ? O B
D 4、如图,分别以?ABC的AC和BC为一边,在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形
CBFG,点P是EF的中点(
D 求证:点P到边AB的距离等于AB的一半((初二)
G
C
E
P F 经典难题,三,
A B Q 1、如图,四边形ABCD为正方形,DE?AC,AE,AC,AE与CD相交于F(
求证:CE,CF((初二) D A
F E
B C
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2、如图,四边形ABCD为正方形,DE?AC,且CE,CA,直线EC交DA延长线于F(
求证:AE,AF((初二) A D F
B C
E 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF?AP,CF平分?DCE(
求证:PA,PF((初二) A D
F
B P C E 4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于
B、D(求证:AB,DC,BC,AD((初三) A
O D B P
E 经典难题,四, F
C 1、已知:?ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA,3,PB,4,PC,5(
求:?APB的度数((初二) A
P 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且?PBA,?PDA(
求证:?PAB,?PCB((初二)
A B C D
P
3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB?CD,AD?BC,AC?BD((初三) B A C D
B C
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4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且
AE,CF(求证:?DPA,?DPC((初二)
A D
F
经典难题,五,
P
B C E 1、设P是边长为1的正?ABC内任一点,L,PA,PB,PC,求证:?L,2(
A
P
2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA,PB,PC的最小值(
CB D A
P
C B
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA,a,PB,2a,PC,3a,求正方形的边长(
DA P
004、如图,?ABC中,?ABC,?ACB,80,D、E分别是AB、AC上的点,?DCA,30,
0 A?EBA,20,求?BED的度数(
C B
E D
经典难题,一, C B1.如下图做GH?AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以?GFH,?OEG,
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EOGOCO即?GHF??OGE,可得==,又CO=EO,所以CD=GF得证。 GFGHCD
2. 如下图做?DGC使与?ADP全等,可得?PDG为等边?,从而可得
0 ?DGC??APD??CGP,得出PC=AD=DC,和?DCG=?PCG,15
0 所以?DCP=30,从而得出?PBC是正三角形
3.如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接CF与AE并延长相交于Q点, 1122连接EB并延长交CQ于H点,连接FB并延长交AQ于G点, 2222
01111由AE=AB=BC= FB,EB=AB=BC=FC,又?GFQ+?Q=90和 211112 21 2222
0?GEB+?Q=90,所以?GEB=?GFQ又?BFC=?AEB , 222222可得?BFC??AEB ,所以AB=BC , 222222220又?GFQ+?HBF=90和?GFQ=?EBA , 2220 从而可得?AB C=90, 222
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形ABCD是正方形。 2222
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4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得?QMF=?F,?QNM=?
DEN和?QMN=?QNM,从而得出?DEN,?F。
经典难题,二, 1.(1)延长AD到F连BF,做OG?AF,
又?F=?ACB=?BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
0(2)连接OB,OC,既得?BOC=120,
0 从而可得?BOM=60,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
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3.作OF?CD,OG?BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。
ADACCDFDFD2 由于, ====ABAEBEBGBG2
由此可得?ADF??ABG,从而可得?AFC=?AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆,可得?AFC=?AOP和?AGE=?AOQ,
?AOP=?AOQ,从而可得AP=AQ。
EGFH+4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH。可得PQ=。 2
由?EGA??AIC,可得EG=AI,由?BFH??CBI,可得FH=BI。
AIBI+AB 从而可得PQ= = ,从而得证。 22
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经典难题,三, 1.顺时针旋转?ADE,到?ABG,连接CG.
000 由于?ABG=?ADE=90+45=135
从而可得B,G,D在一条直线上,可得?AGB??CGB。
推出AE=AG=AC=GC,可得?AGC为等边三角形。
000 ?AGB=30,既得?EAC=30,从而可得?A EC=75。
000 又?EFC=?DFA=45+30=75.
可证:CE=CF。
2.连接BD作CH?DE,可得四边形CGDH是正方形。 由AC=CE=2GC=2CH,
00 可得?CEH=30,所以?CAE=?CEA=?AED=15,
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0000又?FAE=90+45+15=150,
0从而可知道?F=15,从而得出AE=AF。
3.作FG?CD,FE?BE,可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
ZX2 tan?BAP=tan?EPF==,可得YZ=XY-X+XZ, YYXZ-+
即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出?ABP??PEF ,
得到PA,PF ,得证 。
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经典难题,四,
01. 顺时针旋转?ABP 60 ,连接PQ ,则?PBQ是正三角形。
可得?PQC是直角三角形。
0所以?APB=150 。
2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE?DC,BE?PC.
?ABP=?ADP=?AEP,可得: 可以得出
AEBP共圆(一边所对两角相等)。
可得?BAP=?BEP=?BCP,得证。
3.在BD取一点E,使?BCE=?ACD,既得?BEC??ADC,可得:
BEAD =,即AD•BC=BE•AC, ? BCAC
又?ACB=?DCE,可得?ABC??DEC,既得
ABDE =,即AB•CD=DE•AC, ? ACDC
由?+?可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC?BD ,得证。
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SABCDSS4.过D作AQ?AE ,AG?CF ,由==,可得: ADEDFC2
AEPQAEPQ =,由AE=FC。 22
可得DQ=DG,可得?DPA,?DPC(角平分线逆定理)。
经典难题,五,
01.(1)顺时针旋转?BPC 60 ,可得?PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如下图:可得最小L= ;
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(2)过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F。
由于?APD>?ATP=?ADP,
推出AD>AP ?
又BP+DP>BP ?
和PF+FC>PC ?
又DF=AF ?
由????可得:最大L< 2 ;
由(1)和(2)既得:?L,2 。
02.顺时针旋转?BPC 60 ,可得?PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。
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13423+2++(1)既得AF= = = 23+422
22(31)+(31)+ = = 22
62+ = 。 2
03.顺时针旋转?ABP 90 ,可得如下图:
2222(2)()++a 既得正方形边长L = = 。 522+a22
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04.在AB上找一点F,使?BCF=60 ,
连接EF,DG,既得?BGC为等边三角形,
00 可得?DCF=10 , ?FCE=20 ,推出?ABE??ACF ,
得到BE=CF , FG=GE 。
0 推出 : ?FGE为等边三角形 ,可得?AFE=80 ,
0 既得:?DFG=40 ?
00 又BD=BC=BG ,既得?BGD=80 ,既得?DGF=40 ?
推得:DF=DG ,得到:?DFE??DGE ,
0 从而推得:?FED=?BED=30 。
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