子集、全集、补集(第二课时)

学科：数学 教学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ：子集、全集、补集（第二课时）     【学习目标】 1．了解全集的意义和它的记法． 2．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及子集的补集． 3．会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题． 【学习障碍】 1．对于全集的理解模糊不清． 2．对于补集的理解不到位． 3．数形结合是一种常用方法，但部分同学只注意逻辑思维，忽视了数与形的结合，走了弯路并常出错． 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．预习课本P9～10． 2．本课时的重点是补集的概念，难点是概念的应用． 关于补集与全集的概念． ①补集：设S是一个集合，A是S的一个子集，即A S，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)．记作 SA＝｛x｜x∈S且x A｝ 图示法表示如图1—2： ②全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可看作一个全集．全集通常用U表示． Ⅱ．知识拓宽 与补集相关的概念是差集．什么是差集呢？集合A与集合B之差或集合A减集合B记作A/B；即：A/B＝｛x｜x∈A且x B｝．要注意该式等号右边与补集定义中的式子类似，但意义不同，在 AB中，要求B是A的子集；在A/B中，B可以不是A的子集，当B是A的子集时的时候有 AB＝A/B． Ⅲ．障碍分析 1．如何理解全集的概念？ 全集具有相对性，并不惟一．我们在自然数范围内讨论问题时，可以把N看作U，在实数范围内讨论问题，可以把实数集R看作全集U． 2．对补集的理解应注意什么? (1)紧紧抓住补集的概念，不能死记硬背，而应深刻理解 UA U，且A U． (2)补集是相对于全集而言的，同一集合在不同的全集中，补集不同，如A＝｛1，2，3｝，若U＝｛1，2，3，4，5｝，则 UA＝｛4，5｝；若U＝｛1，2，3，4，5，6｝，则 UA＝｛4，5，6｝． (3)对于补集有以下结论： ①若A B，则 UB UA， ②若A＝B，则 UA＝ UB， ③若 UA＝ UB，则A＝B， ④ UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝A． ［例1］设全集U＝｛2，3，a2＋2a－3｝，A＝｛｜2a－1｜，2｝，且 UA＝｛5｝，求实数a的值． 思路：解本题的关键是理解题意， UA＝｛5｝，说明了5∈U，但5 A，所以 a2＋2a－3＝5，｜2a－1｜≠5且｜2a－1｜∈U． 解：∵ UA＝｛5｝，∴5∈U且5 A． ∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4． 当a＝2时，｜2a－1｜＝3≠5， a＝－4时，｜2a－1｜＝9≠5但9 U ∴a＝－4(舍去)  ∴a＝2． 误区点评：在解本题时求出a＝2或－4时，忘记检验，忽略了隐含条件A U，即 ｜2a－1｜∈U，误把a＝－4当作本题的答案． 3．如何利用文氏图来表示补集？ 文氏图法或数轴法也是研究补集关系的常用方法．但一般来说都比较直观、简捷，要注意数形结合思想的应用． ［例2］设全集为U，A、B为其子集，且A B，则 A． UA UB B． UA UB C． UA UB D． UA UB 解：画出如图1—3所示文氏图，由图可知 UA UB． 答案：C 点评：文氏图是研究集合关系的常用方法，也是数形结合思想的重要应用． Ⅳ．思维拓展 ［例3］已知全集S＝{1，3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果 SA＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由． 思路：由 UA＝｛0｝，知0∈S，但0 A.由0∈S，可求出x，然后结合0 A，来验证其是否符合题目的隐含条件A S，从而确定最后的x是否存在． 解：∵ SA＝｛0｝，∴0∈S且0 A，于是有x3＋3x2＋2x＝0，x(x＋1)(x＋2)＝0，即x1＝0，x2＝－1，x3＝－2．当x＝0时，｜2x－1｜＝1不合题意； 当x＝－1时，｜2x－1｜＝3，3∈S； 当x＝－2时，｜2x－1｜＝5，但5 S． 因此，实数x的值存在，x＝－1． 点评：①解此类问题的关键是理解补集的概念及 SA＝｛x｜x∈S且x A｝的含义． ②求出的x要注意检验． Ⅴ．探究学习 对于非空集合M和N，把所有属于M但不属于N的元素组成的集合称为M和N的差集，记作M－N，那么M－(M－N)等于 A．N B．M C．M∩N D．M∪N 答案：C 【同步达纲练习】 一、选择题 1．全集U＝｛a，b，c，d，e｝，A＝｛a，b｝，B UA，则集合B的个数是 A．5                                    B．6 C．7                                    D．8 2．设A＝｛x｜ ＞0｝，S＝R，则 SA等于 A．｛x｜ ＜0｝ B．｛x｜x＜0｝ C．｛x｜x≤0｝ D．｛x｜x≥0｝ 3．设S＝Z，A＝｛x｜x＝2k，k∈Z｝，B＝｛x｜x＝2k＋1，k∈Z｝，则下列关系式中错误的是 A． SA＝B                                B． SB＝A C． S( SA)＝B                            D． S ＝Z 4．已知全集U，集合M，N是U的非空子集，若 UM N，则必有 A．M UN                                B．M UN C． UM＝ UN                            D．M＝N 二、填空题 5．已知全集I＝｛2，0，3－a2｝，子集P＝｛2，a2－a－2｝， IP＝｛－1｝，则a的值为_________． 6．设S＝｛x｜x是至少有一组对边平行的四边形｝，A＝｛x｜x是平行四边形｝，则 SA＝_________． 7．设A、B、C都是R的子集，若A＝ RB，B＝ RC，则A与C的关系是_________． 三、解答题 8．设U＝｛2，3，a2＋2a－3｝，A＝｛b，2｝， UA＝｛5｝，求实数a和b的值． 9．设全集P＝｛1，2，3，4｝，A＝｛x｜x2－5x＋p＝0｝， PA＝｛x｜x2－qx＋6＝0｝，求实数p、q的值． 参考答案 【同步达纲练习】 一、1．C  提示： UA＝｛c，d，e｝，∵B UA＝｛c，d，e｝ ∴｛c，d，e｝的真子集有23－1＝7个． 2．C  提示：因A＝｛x｜ ＞0｝＝｛x｜x＞0｝，∴ SA＝｛x｜x≤0｝ 3．C  提示： SA＝B， SB＝A． 4．A  提示：该题可由文氏图来解． 二、5．－2  提示：由题意得a2－a－2＝0，3－a2＝－1，∴a＝－2． 6．｛x｜x是梯形｝  提示：至少有一边平行包含“只有一组对边平行”和“两组对边都平行”，∴ SA是只有一组对边平行即梯形． 7．A＝C  提示：由文氏图可以得出． 三、8．解：∵ UA＝｛5｝ ∴a2＋2a－3＝5，∴a＝2或a＝－4． 又∵A U，5 A 9．解：∵x2－5x＋p＝0，∴x1＋x2＝5 又∵x2－qx＋6＝0，x3x4＝6 ∴2、3∈ PA，1，4∈A． ∴p＝4，q＝5．