【doc】黄金椭圆和黄金双曲线的性质
黄金椭圆和黄金双曲线的性质
'数学教学通讯)2004年2月(上半月)(总第195期)重庆?4s?
目明圆国营凰固鳃国皤厨
(浙江省绍兴县越崎中学312050)俞新龙 椭圆和双曲线是非常重要的两种圆锥曲 线,在每年的高考试题中都有出现.本文主要论 述离心率为的椭圆和离心率为
的双曲线的性质.
1概念
如果一个椭圆的离心率为,则称
该椭圆为黄金椭圆.如果一个双曲线的离心率 为,则称该双曲线为黄金双曲线.
2性质
性质1黄金椭圆的短轴长和长轴长的平 方比等于.
证明:不妨设黄金椭圆的方程为篆+一 1(盘>6>o),则一詈.因为c2=以2一 所以=c,
则一.
所以黄金椭圆的短轴长和长轴长的平方比 等于.
类似地,我们能得到
件盾2莆余双曲线的虚轴长和宴轴长的 ※※米米米米米米米米米米米米粜米米米米米米米米米米米米粜米米米米米米
米米米米米米泰米米米米
(因为0.<HAF<90.) 例3如图3,正方
形BCD中,E是B延
长线上的一点,且E一
1
?A8,F是边D上的一
点,且F=2FD,CF的
延长线交DE于P,求
证:P.1-PC.(选自《怎
/
,,
图3
所以AC=2,则DAC:45.. r在?ACF中,由正弦定理
FCAF
sin45osinACF
?(吉)+1/一号/sin/ACF 样添加平面几何辅助线》.中国致公出版社,第 153页例io)
分析:该书原解也设边长为常量,但为n, 显然增加的计算量,整个过程含有"勾股定理", "相似三角形"及其公式变换,特别是"判定 Rt?"颇费精力,而现在只需简单运算,加入 "四点共圆",使求解回避许多繁琐过程. 证明:设正方形ABCD的边长为1, 厂——一
则AF=DE一?(专)+1一.
DF=?,AF=告,连AC,
…,…F吾×孚所
n:J-i-6一去
?
/一sin/ADE
易知/ACF:/ADE(因为此二角为锐 角)
又PFD:/AFC(对顶角)
所以?PFD?AAFC
所以筹一而DFPF?Fc:AF?DF 所以P,A,C,D四点共圆,为直径
所以ZAPC=ZADC=90.(半圆上的圆 周角).所以P-l-PC.
?46?重庆《数学教学通讯}2004年2月(上半月)(总第195期)
平方比等于.
证明:略.
性质3黄金椭圆的准线到相应顶点的距 离与长半轴长之比为.
证明:因为椭圆准线到相应顶点的距离d 一
譬一.一士.一.一,所一一口—:==_一口一口——_n,所c5—
12
一
2一
以椭圆准线到相应顶点的距离与长半轴长之比 为.:n一.
性质4黄金双曲线的准线到另一个顶点 的距离与实半轴长之比为.
证明:因为双曲线准线到另一个顶点的距 离一了a2+n===
亏n+"一n,
2..——'
所以双曲线准线到另一个顶点的距离与实半轴 长之比为.:一.
性质5若方程+一1(口>6>o)是 黄金椭圆,则方程吾一22—1表示黄金双曲线. 证明:因为椭圆+y2—1(口>6>o)是 黄金椭圆,所以根据定义可得二一
,
化简得b2一年,而双曲线x2
一
22
—1的离心率等于一/1+
一
3+
2
v~-=,
所以方程蔷一y2一:==——'所以刀槿一 一1表示黄金双曲线,一般地,形如磊一22— 1(>O)的方程都表示黄金双曲线. 我们还可得到
性质6若方程篆一WZ一1(口>6>o)表 示黄金双曲线,则方程吾+一1表示黄金椭圆. 证明:因为方程X2—
22
—
1表示黄金双曲
线,所以根据定义可得一,
化简得b2=,
且6>n.所以方程x2
+一1表示焦点在轴上的椭圆,其离心率"
等于罕一?一a2一?一
,
所以方2+22—
1表示焦点在z
轴上的黄金椭圆.实际上形如x2+22—1( 性质7已知黄金椭圆X2+22一 l(a>6
>O),则黄金椭圆与黄金双曲线X2一 22
—
1交
点围成矩形的面积是塑;与黄金双 曲线一x2—1交于点(o
,?6).
证明:因为+yZ一1表示黄金椭圆,由 性质5知吾一yA一1是焦点在z轴上的黄金双
曲线,22一
a2—1是焦点在j,轴上的黄金双曲 线,则联立aZA
一
-~
茎-/=一1和1喜X2萎y2,分 别解得{::和{6,所以
黄金椭圆和黄金双曲线一22—1的交点围 2
?×2~/a2b.2(.a+2--b2)一
塑,
黄金椭圆和黄金双曲线22一 薯一1交于(o,?6)两点.
本文档为【【doc】黄金椭圆和黄金双曲线的性质】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483