第一章 复数与复变函数
一、基本要求
1、 熟练掌握复数的加、减、乘、除、乘方、开方和共轭运算;
2、 掌握和运用复数模的三角不等式;
3、 熟练复数的各种表示形式之间的关系;
4、 理解无穷远点的概念;
5、 弄清开集、区域、闭区域、单连域、多连通域、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线等概念,会用复数方程和不等式表示一些常见的平面曲线和简单区域;
6、 掌握复变函数的概念及映射的概念,弄清复变函数与实二元函数之间的关系。
7、 掌握复变函数的极限、连续和导数的概念及其性质。
二、典型例题
例1 求复数
的模。
解:注意到本题的特殊性
(因为一对共轭复数的模相等)
例2、求复数
的实部与虚部。
解:
所以,
,
。
例3、设
,证明
。
证明:
,
因为
(算术-几何平均不等式)
所以
,
所以
。
例4、如果
,且
,证明
、
、
是内接于单位圆的一个正三角形。
证明:由于
,所以它们在单位圆上;又因为
,故
如图,则
与
的夹角和
与
的夹角相等;
同理,
与
的夹角和
与
的夹角相等;
与
的夹角和
与
的夹角相等;
因此,容易证明,
、
、
的夹角为120度,所以结论成立。
例5.将
化为三角形式(
)
或:
因为当
例6、解方程
例7、求
的值。
解:先把括号中的两个复数化成三角形式:
,
再由复数的除法及求幂的方法,得
例8计算
解:
例9、求在
的映射下,z平面上直线
映射成
平面上的曲线方程.
解:直线
的参数方程为
它在
平面上表示的一、三象限的平分线
,在
映射下,此角平分线映射成曲线
,即
于是,
,消去t得:
这是
平面上第二、四象限的角平分线方程。
例10.函数
映射或w平面上何种曲线。
解:
令z=x+iy,w=u+iv
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