第一章 复数与复变函数
一、基本要求
1、 熟练掌握复数的加、减、乘、除、乘方、开方和共轭运算；
2、 掌握和运用复数模的三角不等式；
3、 熟练复数的各种表示形式之间的关系；
4、 理解无穷远点的概念；
5、 弄清开集、区域、闭区域、单连域、多连通域、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线等概念，会用复数方程和不等式表示一些常见的平面曲线和简单区域；
6、 掌握复变函数的概念及映射的概念，弄清复变函数与实二元函数之间的关系。
7、 掌握复变函数的极限、连续和导数的概念及其性质。
二、典型例题
例1 求复数
的模。
解：注意到本题的特殊性
（因为一对共轭复数的模相等）
例2、求复数
的实部与虚部。
解：
所以，
，
。
例3、设
，证明
。
证明：
，
因为
（算术-几何平均不等式）
所以
，
所以
。
例4、如果
，且
，证明
、
、
是内接于单位圆的一个正三角形。
证明：由于
，所以它们在单位圆上；又因为
，故
如图，则
与
的夹角和
与
的夹角相等；
同理，
与
的夹角和
与
的夹角相等；
与
的夹角和
与
的夹角相等；
因此，容易证明，
、
、
的夹角为120度，所以结论成立。
例5．将
化为三角形式（
）
或：
因为当
例6、解方程
例7、求
的值。
解：先把括号中的两个复数化成三角形式：
，
再由复数的除法及求幂的方法，得
例8计算
解：
例9、求在
的映射下，z平面上直线
映射成
平面上的曲线方程.
解：直线
的参数方程为
它在
平面上表示的一、三象限的平分线
，在
映射下，此角平分线映射成曲线
，即
于是，
，消去t得：
这是
平面上第二、四象限的角平分线方程。
例10．函数
映射或w平面上何种曲线。
解：
令z=x+iy，w=u+iv
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