初级中学二年级数学小难题及答案

发散1 如图5—19,已知CE、CB分别是?ABC和?ADC的中线,且AB=AC,求 证,CD=2CE, 分析 用加倍法,为了证明CD=2CE,考虑CE是?ABC底边AB上的中线,故把CE 延长到F,使CF=2CE,把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF,如此把线段“倍半”的数量 关系转化为证两条线段的相等关系, 证明 如图5—20,延长CE至F,使EF=CE,连结BF,可证?EBF??EAC, ?BF,AC,AB,BD, 又?CBF,?CBA+?ABF,?BCA+?CAB,?CBD,BC公用, ??CBF??CBD,,SAS， ?CF,CD,即2CE,CD, 发散2 如图5—21,已知?BAC,?DAE,?ABD,?ACE,BD=CE,求证,AB=AC,AD=AE, 分析 本题利用等式相加减的性质进行角的相加减,将?BAC,?DAE转化为?BAD= ?CAE,达到将间接条件转化为直接条件的目的, 证明 ??BAC,?BAD，?DAC,?DAE,?CAE，?DAC,?BAC,?DAE, ??BAD，?DAC,?CAE，?DAC,等量代换， ??BAD,?CAE(等式性质), 在?BAD与?CAE中, ??BAD,?CAE,已证，,BD=CE,已知，,?ABD,?ACE,已知， ??BAD??CAE,AAS，, 构造发散 发散1 如图5—22,在?ABC中,BD=DC,ED?DF,求证,BE，CF,EF, 分析 本题算延长FD到G,使FD=DG,构造新?EDG,通过证明?BDG??CDF,达到 转移线段位置的目的,如图5-22将BE+CF转移为BE+BG,将EF转移为EG， 证明 延长FD到G,使DG=DF,连结BG, ??BDG=?CDF,BD=DC, ??BDG??CDF ?BG=CF 连结EG ?ED?DF,又DG=DF ?EG=EF 在?EBG中,BE+BG>EG, ?BE+CF>EF. 发散2 如图5-23,已知AB?ED,AE?BD,AF=CD,EF=BC,求证,?C=?F 分析 欲证?C=?F,须证?AEF??DBC, 即须证EF=BC,已知，,AF=CD,已知， 现缺少条件AE=BD,若连结BE,构造一对三角形?ABE和?BDE,欲证AE=DB,须证 ?ABE??DEB,这显然可以得证 证明 连结BE, ? AB?ED, ? ?1,?2, ? AE?BD, ? ?3,?4, 在?ABE和?DEB中, ? ?1,?2,BE,BE,?A,?3, ? ?ABE??DEB(ASA), ? AE,DB, 在?AEF和?DBC中, ? AF,CD,EF,BC,AE,DB, ? ?AEF??DBC, ? ?C,?F, 25,,本题8分，如图,直线y = kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F. 点E的坐标为(- 8, 0), 点A的坐标为(- 6,0). 点P,x,y，是第二象限内的直线上的 一个动点。 (1).求K的值， (2).当点P运动过程中,试写出?OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的 取值范围， (3).探究,当P运动到什么位置,求P的坐标，时,?OPA的面积为27,8,并说明理 由 y F E x A O 02、已知,如图,P是正方形ABCD内点,?PAD,?PDA,15, 求证,?PBC是正三角形,,初二， A D P C B 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF?AP,CF平分?DCE, 求证,PA,PF,,初二， A D F B P C E 1、已知,?ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA,3,PB,4,PC,5, 求,?APB的度数,,初二， A P B C 4.如图,在?ABC中,?ABC=60?,AD、CE分别平分?BAC、?ACB,求证,AC=AE+CD. A 003、?ABC中,AB,AC,?BAC=90,D、E在BC上,且?DAE=45,若BD=3,CE=4 求DE的长。 A E O B C D B C D E A 3、解,作点B关于AD的对称点,连结OD、OE、OA ??BAD,?OAD,AB,AO,BD,OD ??BAC,90?,?DAE,45? ??BAD，?CAE,?OAD，?OAE ??CAE,?OAE ?AB,AC,?AC,AO 在?OAE与?CAE中, AO,AC ?OAE,?CAE AE,AE ??OAE??CAE,SAS， ??AOE,?C 又??B,?AOD OE,CE ??DOE,?B，?C,90? 2222 ?DE,,,5 OD，OEBD，CE 27,已知,如图,中,,于,DBE?ABC，,ABC45?CDAB, 平分,且于E,与相交于点是边的，ABCCDFH，BCBEAC, 中点,连结与BE相交于点, DHG ,1，求证,， BFAC,1，求证,， ,2CEBF,2,3，与的大小关系如何,试证明你的结论, CEBG 27、,1，证明,,,是等腰直?CDAB,，,ABC45???BCD 角三角形,, ?BDCD, 在和中, Rt?DFBRt?DAC ,,且, ?，,,，DBFBFD90?，,,，DCAEFC90?，,，BFDEFC ,又,, ?，,，DBFDCA?，,，,BDFCDA90?BDCD, ,, ????RtRtDFBDAC?BFAC, ,2，证明,在?BE和中 平分, ，ABCRt?BEARt?BEC ,又, ?，,，ABECBE?，BEBEBEABEC,，,，,90?1,,又由,1，,知,????RtRtBEABECBFAC,?CEAEAC,,112, ?CEACBF,,22,3，,证明,连结, CGCEBG, H是等腰直角三角形,,又是边的中点,?DH垂直平分BC??BCD?BDCD, , BC ,在中,是斜边,是直角边,, ?CGCE?BGCG,Rt?CEG?CECG,?CEBG, 24.(10分)?ABC中,AB=A C,将?ABC绕C点旋转至?AB′C′,连BA,,以AB,BB′为邻边作平行四边形ABB′D,连A′D, ?旋转后B、C、A′在一条直线上,如图?,若?BAC=600,则?ADA′=____, ?如图?，旋转后B、C、A′在一条直线上,若?BAC=,则?ADA′=________, , ?若将图?中的?A′B′C继续旋转至图?,使B、C、A′不在一条直线上,连AA′,试判别?ADA′的形状,并证明你的结论, 25.(12分,如图,已知平面直角坐标系中,OA=OB=2,BP?AP (1)求直线BP的函数解析式， (2)在BP上截取BC=BA,过A作任意直线AM使CD?AM于D,求?ADB的度数, (3)在(2)的条件下,延长DB到N,且NA ?AD,MN ?NA,交AB的延长线于M,连 MC,则MC-CD的值是否变化,若不变,求其值, 24.,10分， (1)如图?,A、B、C三点在同一直线上,分别以AC,BC为边在AB的同侧作等边?ACD和等边?BCE,连接AE、BD,M、N分别为AE、BD的中点,连接CM、CN、MN.则?CMN的形状是________三角形， (2)如图?,A、B、C三点在同一直线上,分别以AC,BC为边在AB的同侧作等腰Rt?ACD和等腰Rt?BCE,?ACD=?BCE=90?,连接AE、BD,M、N分别为AE、BD的中点,连接 CM、CN,MN.则?CMN的形状是______三角形， (3)如图?,在图?的基础上,将?BCE绕点C旋转一定的角度,其它条件不变,请将图形补充完整,试判断?CMN的形状,并说明理由, 25.,12分，一次函数y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,E为OA上一动点,D为OB的延长线上一动点,且AE=BD (1)当E为OA中点时,求C点坐标, FC (2)当E运动到z轴正半轴上,仍有AE-BD,过E作EF?AB于F,的值是否变化,AB若不变,请求出其值，若变化,请求其变化范围, 25、已知,以?ABC的两边AB、AC为边向外作等腰?ADB和等腰?AEC,且AB=AD,AC=AE,?BAD=?EAC,DC、BE交于O . ,1，求证,DC=BE (2)若?ADB与?ACE均为等边三角形,求?BOC的度数 ,3，若?BOC=150?,AD=10,求?ABD的面积. A D E O C B 25、,1，证明,??BAD,?EAC ??DAC,?BAE 在?DAC与?BAE中, AD,AB ?DAC,?BAE AC,AE ??DAC??BAE,SAS， ?DC,BE ,2，??DAC??BAE ??1,?2 ??BOC,?OCE+?OEC=?ACE+?AEC 又??ACE是正?,??ACE,?AEC,60? ??BOC,120? ,3，过点B作BP?AD,垂足为P ??PAC??BAE,??3,?4 ??BOC,?OBD+?BDO,?ABD,?ADB,150? ??DBA,30? 又?BP?AD 1 ?BP,AB 又?AB,AD,10 12 ?BP,5 ?S ,BP×AD,25 ?ABD 2