广州高中数学奥赛班专题资料-立体几何(向量方法)

广州高中数学奥赛班专题资料-立体几何(向量方法) 立体几何(向量方法) 知识精要 1( 证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线(即成倍数关系)(证明两条直 线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零( 2( 通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角(从而可以利用公式 求解( cos||||,,,,,, P3( 建立空间直角坐标系( 1例题1如图，在三棱锥P,ABC中，AB?BC，AB,BC,PA，点D2 O、D分别是AC、PC的中点，OP?底面ABC( (?)求证?平面; PABODC(?) 求直线与平面PBC所成角的大小( OODA OPABCOAOCABBC,,,平面，，，解答 B ？,,, OAOBOAOPOBOP，，. 以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，OOPzOxyz,，， z,,,,,,222P 设，则ABaAaBaCa,,,0,0,0,,0,,0,0,,,,,,,,,,,,222,,,,,, D 设，则OPhPh,0,0,.，， ? DPC为的中点，，，AOCx ,,,,212yB ？,,,, ODahPAah,0,,,0,又，,,,,,,,,422,,,, 1？,,？？ ODPAODPAODPAB...??平面 2 ,,7214 ？, ha,? PAa,2,？,, ODaa,0,,，，,,,,244,, ,,ODn,2101？，，,, cos,.ODn 可求得平面的法向量PBCn,,1,1,,,,,,307ODn,,, 210设与平面所成的角为，ODPBC,则 ,,，，,sincos,,ODn 30 210？ ODPBC与平面所成的角为arcsin( 30 BD练习1如图，已知长方体，，直线与平面所ABCDABCD,ABAA,,2,1AABB1111111 0AEBDEF,成的角为30，垂直于为的中点( AB11 AAEBF(?)求异面直线与所成的角; 1D1 BDF(?)求平面与平面所成二面角(锐角)的大小; AAB1F A新疆王新敞D奎屯ABDF(?)求点到平面的距离 BC11 AB解答 在长方体中，以所在直线为 ABCDABCD,xE1111 ADy轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直 zAA1CB 角坐标系如图( AD,由已知，可得(又平面，从面ABF(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)ABAA,,2,1AABB111 z0A1DBD与平面所成的角即为 ，,DBA30AABB111 F23DA新疆王新敞奎屯又 ABAEBDAEAD,,,,2,,1,BC11y3 E 1323新疆王新敞奎屯从而易得 ED(,,0),(0,,0)BC223x 1,2AEBF132新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯,,,(?)？,,,cos,AEBF AEBF,,,(,,0),(1,0,1)4222AEBF 2新疆王新敞奎屯AEBF即异面直线、所成的角为 arccos4 新疆王新敞奎屯BDFm,(0,1,0)nxyz,(,,)(?)易知平面的一个法向量设是平面的一个法向AAB1 ,，,xx0,,,nBF,nBF,023,,,新疆王新敞奎屯,量(由 ,BD,,(2,,0),,,23320xy,,nBD,nBD,0,,,,,3,xz,,mn315,新疆新疆新疆王新敞王新敞王新敞奎屯奎屯奎屯,cos,,,,,,mn取? n,(1,3,1),mn515，3xy,,, 15新疆王新敞奎屯BDF即平面与平面所成二面角(锐角)大小为 AABarccos15 新疆王新敞奎屯ABn(?)点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值 所以距离 ABn||225ABn新疆王新敞奎屯,||AB dABABn,,,||cos,,,,||||ABn||5n5 25新疆王新敞奎屯所以点A到平面BDF的距离为 5 例题2 如图1，已知ABCD是上(下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对3 新疆王新敞奎屯称轴OO折成直二面角，如图2 1 (?)证明:AC?BO; 1z(?)求二面角O,AC,O的大小( 1OC1 OO11CCDD D yOBOBOAB 图3 A图1 图2 xA 解答(I)证明 由题设知OA?OO，OB?OO(所以?AOB是所折成的直二面角的平面角， 11 即OA?OB( 故可以O为原点，OA、OB、OO所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间x1 直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，1，)3O(0，0，)(从而 3AC,(,3,1,3),BO,(0,,3,3),AC,BO,,3，3,3,0.111所以AC?BO( 1 (II)解:因为所以BO?OC，由(I)AC?BO，所以BOBO,OC,,3，3,3,0,1111 ?平面OAC，是平面OAC的一个法向量(设是0平面OAC的一个法向BOn,(x,y,z)11 ,,n,AC,0,3x，y，3z,0,,量，由得( 设二面角O—AC—n,(1,0,3),取z,3,,,y,0.,n,OC,0,1, ,,,,,,cos,O的大小为，由、的方向可知，>，所以COS，nnnBOBO111 3n,BO31>=即二面角O—AC—O的大小是 arccos.BO1,.144|n|,|BO|1 D练习2 如图, 在直三棱柱中， ，点为ABCABC,ACBCABAA,,,,3,4,5,41111 新疆王新敞奎屯AB的中点 CB11(?)求证; ACBC,1A1 (?) 求证; ACCDB平面11 新疆王新敞奎屯(?)求异面直线与所成角的余弦值 ACBCC11B AD 解答?直三棱锥底面三边长，两两垂ACBCAB,,,3,4,5ABCABC,ACBCCC,,1111 3新疆王新敞奎屯直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C(0,0,4),B(0,4,0),B(0,4,4),D(,2,0) 112 新疆王新敞奎屯(?), ACBC,,,(3,0,0),(0,4,4)？,,？,ACBCACBC0,111111 (?)设与的交点为E，则E(0,2,2) CBCB11zCB113A DEAC,,,,(,0,2),(3,0,4)112E 1 ？,？DEACDEAC,//112BDECDBACCDB,,平面平面,,y111CADx新疆王新敞奎屯 ？ACCDB//平面11 ACCB2211(?)？,,,,cos,,ACCB?异面ACCB,,,(3,0,4),(0,4,4),11115||||ACCB11 22新疆王新敞奎屯直线与所成角的余弦值为 ACBC115 466AB,,cosB,例题3 在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求SINA( 536 新疆王新敞奎屯解答 以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象限 BC 304646445sinB,由，则，设=(x，0)，则BABB,,(cos,sin)(,)BC63333 4，3x25144325，x22|BD|,()，(),5x,,，由条件得，从而x=2，BD,(,)63363 245(舍去)，故(于是 CA,,(,)33 880,，BA,CA31499新疆王新敞奎屯 cosA,,,14|BA|,|CA|1680480，,，9999 702新疆王新敞奎屯sin1cos?A,,A, 14 ,ABC练习3 在平面上给定，对于平面上的一点P，建立如下的变换 的中点为Q，fAP: '''PPPBQ的中点为R，CR的中点为，，求证 只有一个不动点(指与重合的ffPP(), 点)( 1111解答:依提意，有AQAP,，且，ARABAQABAP,，,，()2224 1111''PP，要使与重合，应APACARACABAP,，,，，，()2248 1111,ABC，得，对于给定的，满足条件的不APACAB,，(42)APACABAP,，，7248 动点P只有一个( 例题4 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，E是AB上 1一点，PE?EC( 已知PD,2,CD,2,AE,,求 P2 (?)异面直线PD与EC的距离; (?)二面角E—PC—D的大小( D解答 (?)以D为原点，DADP、、分别为x、DCC y、z轴建立空间直角坐标系( ABE由已知可得D(0，0，0)，P(0，0，， 2) zC(0，2，0)设 A(x,0,0)(x,0),则B(x,2,0),PGF113E(x,,0),PE,(x,,,2),CE,(x,,,0). 222 DyC332由，即 Ax,,0,故x,.PE,CE得PE,CE,042BEx 3133由， DE,CE,(,,0),(,,,0),0得DE,CE2222 又PD?DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得，故异面直线PD、CE|DE|,1的距离为1( (?)作DG?PC，可设G(0，Y，Z)(由得,即DG,PC,0(0,y,z),(0,2,,2),0 作EF?PC于F，设F(0，M，N)，则 z,2y,故可取DG,(0,1,2), 31 EF,(,,m,,n).22 31由， EF,PC,0得(,,m,,n),(0,2,,2),0,即2m,1,2n,022 22312又由F在PC上得 n,,m，2,故m,1,n,,EF,(,,,).22222 ,因故平面E—PC—D的平面角的大小为向量的夹角( EF,PC,DG,PC,EF与DG DG,EF2,,故cos,,,,, 即二面角E—PC—D的大小为 .,,424|DG||EF| 练习4如图，在三棱柱ABC—ABC中，AB?侧面BBCC，E为棱CC上异于C、C的一1111111 ,点，EA?EB，已知AB=，BB=2，BC=1，?BCC=，求: 21113 (?)异面直线AB与EB的距离; 1AA1(?)二面角A—EB—A的平面角的正切值( 11 解答(I)以B为原点，、BA分别为Y、Z轴建立空间BB1 BB,1直角坐标系( 由于BC=1，BB=2，AB=，?BCC=， 2113CCEz在三棱柱ABC—ABC中有 1111AA1 B(0，0，0)，A(0，0，)，B(0，2，0)， 21 3133B C(,,,0),C(,,0)1yB22221C CEx13设 E(,a,0),由EA,EB,得EA,EB,0,即112 33332,，a(a,2),a,2a，, 0,(,,,a,2),(,,2,a,0)4422 131331得(a,)(a,),0,即a,或a,(舍去),故E(,,0)222222 313333BE,EB,(,,0),(,,,0),,，,0,即BE,EB.11222244 又AB?面BCCB，故AB?BE( 因此BE是异面直线AB、EB的公垂线， 111 31则，故异面直线AB、EB的距离为1 |BE|,，,1(144 ,(II)由已知有故二面角A—EB—A的平面角的大小为向量EA,EB,BA,EB,111111 的夹角( BA与EA11 31因BA,BA,(0,0,2),EA,(,,,,2),1122EA,BA211, 故cos,,, 3|EA||BA|11 2即tan,,.2