第10章函数项级数和幂级数

第10章函数项级数和幂级数 第十章 函数项级数 , 引言 本章将数项级数进一步推广，引入函数项级数。类比数项ux(),nn1, , 级数，要解决的主要问题是:对什么样的，有意义，在有意义的条件xux(),nn1, , 下，对应的和函数具有什么样的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 性质以及如何计算和函数。 fxux()(),,n1n, ?1 函数项级数及其一致收敛性 一、 定义 我们先给出函数项级数的定义。 X给定实数集合X，设，是定义在上的函数，称无穷个函 ux()(1,2,3)n,,,,n 数的和 uxuxux()()()，，,,,，，,,,12n ,n为函数项级数，记为其中:称为通项，为部分和，ux()ux()Sxux()(),,,nnnkn1,1,k , 也称为的部分和函数列。 {()}Sxux(),nnn1, 类似于数项级数，必须讨论无限和是否有意义的问题，显然，这和x点的 位置有关，为此，先引入函数项级数的点收敛性。 , ux()xX,x定义1.1 设，若数项级数收敛，称在点收敛。否ux(),,n000nn1, , x则，称在点发散。 ux(),0nn1, , x{()}Sxx注、显然，在点收敛，等价于函数列在点收敛，即 ux(),0n0nn1, {()}Sx数列收敛。 n0 注、定义给出了函数项级数在一点的收敛性，也称点收敛性，进一步可以 348 将点收敛性推广到区间或集合收敛性。 ,, ,,xX定义1.2 若， 收敛，则称在上收敛。此时，Xux()ux(),,nnn1n1,, ,,,,,xX， 都有意义，记，称为的和函数。 Sx()ux()Sxux()(),ux(),,,nnnn11n1,,n, ,, 注、在上收敛是局部概念，等价于在中每一点都收敛。 XXux()ux(),,nnn1n1,, , 注、在上收敛，等价于函数列在上收敛。显然，在收XX{()}Sxux(),nnn1, 敛的条件下，有 , 。 SxuxSx()()lim(),,,nnn,,1n, ,n 例1 讨论函数项级数在上的收敛性，并在收敛的条件下求 X,,(1,1)x,,n1 其和函数。 ,n解、任取，考察数项级数。 x,,(1,1)x,00,n1 ,,nnnn||||1xx,,由根式判别法可知:，可知 绝对收敛，因而收敛，xx0,,00,,n1n1 ,nx,,(1,1)由的任意性，则，在 收敛。 (1,1),x,0,n1 利用等比数列的求和公式，则 nnxx(1),kx,,(1,1) ， Sxx(),,,n1,x,1k 因而， x()lim(), (1,1),,,,SxSxx 。 n,,n1,x 通过例1可知，借助于数项级数的收敛性，可以研究函数项级数的收敛性。 与函数项级数相类似的研究对象是函数列，函数项级数与函数列可以相互转 349 , 化，事实上，给定函数项级数，得到对应的部分和函数列，而{()}Sxux(),nnn1, , 的敛散性也等价于的敛散性。反之，给定一个函数列，{()}Sx{()}Sxux(),nnnn1, ,,令，，得函数项级数，使得的部分uxSxSx()()(),,(0)S,ux()ux(),,nnn,10nnn1n1,, , 和正是。二者的敛散性也等价。因此，可以将视为与等价Sx(){()}Sxux(),nnnn1, 的研究对象，因而，在后续的研究中，只以其中的一个为例引入相关的理论，相应的理论可以平行推广到另一个研究对象上。 下面，我们继续以函数项级数为例引入相关理论。 我们将函数项级数与数项级数进行简单的对比，可以发现:二者的形式上的区别在于通项结构上，数项级数的通项是仅与位置变量有关的常数，而函数项级数的通项是与位置变量有关的函数，正是这些简单的区别，却决定了函数项级数的研究内容要比数项级数的内容更加丰富，即除了研究“点”收敛之外，还要研究对函数的运算(如极限、微分、积分等)能否由有限过渡到无限，函数的性质(如连续性、可微性等)能否由有限过渡到无限，如:已知成立有限和的函数极限的运算性质 lim[()()]lim()lim()uxuxuxux，,,,，,，,,,， 11nn,,,xxxxxx000 这个性质能否过渡到对无限和的函数运算也成立，即成立 ,, ， lim()lim()uxux,,,nnxxxx,,0011nn,, 这实际是两种运算――求和和求极限的换序运算问题。 再如对有限和成立的微分和积分运算性质 dux()dux()dn1[()()]uxux，,,,，,，,,,，， 1ndxdxdx bbb[()()]()()uxuxdxuxdxuxdx，,,,，,，,,,，， 11nn,,,aaa 能否过渡到对无限和的运算也成立。再如，在收敛的情况下，和函数是否一定 ux()uxC()[0,1],继承每个相应的性质，如每个，是否成立SxC()[0,1],, nn 有例子表明，不加任何条件，上述提到的问题的答案都是否定的，如:令 350 ,nn,1n，，则在收敛，且，故 uxx(),uxxx(),,[0,1]Sxx(),ux(),1nnnn1, 0 [0,1)x,,， SxSx()lim(),,,n1 1x,, 11显然，或，但或。 CCuxC()[0,1],SxC()[0,1],n , 当然，否定的结论不是我们希望的结论，因此，为使得保持更好ux(),nn1, , 的性质，必须引入更好的收敛性。事实上，从的点收敛的定义也可以看ux(),nn1, ,, xX,出其局限性，设在集合X上收敛，则对任意的，和{()}Sxux()ux(),,nnnn1n1,,在点收敛，由Cauchy收敛准则: x nN,对，使得当时， ,,，,,,0,(,)NNx |()()|SxSx,,,，对成立， ,pnpn， 或 |()()()|uxuxux，，,,,，,,，对成立， ,pnnnp，，，12 xX,显然，对不同的，也不同。正是由于在收敛的条件下，强Nx(,),Nx(,), ux()烈依赖于x，显示了强烈的局部性质，使得每个的性质很难延伸到和函数n N上，也使得一些运算很难推广，要解决这些问题，关键是能否找到一个公共的， 使得上式对所有x都成立,这就是将要引入的一致收敛性。 二、 一致收敛性 , ,,,0nN,X定义1.3 设 在上有定义，如果，，,N()0,，当时， ux(),nn1, ,,xX|()()|uxux，,,,，,,,p，对，成立， nnp，，1 351 , 则称在上一致收敛。 Xux(),nn1, 也可用部分和函数列引入等价的定义。 {()}Sxn ,,,0nN,定义1.4 给定函数列，若，，当时， {()}Sx，,N()0,n ,,xX，对，成立， |()()|SxSx，,,,，,,,pnpn， 则称在上一致收敛。 X{()}Sxn 如果知道和函数，还可利用和函数定义一致收敛性。 , ,,,0定义1.5 设 ()在X上收敛于，若，，{()}SxSx()，,N()0,ux(),nnn1, nN,当时， n ,,xX，()对成立， |()()|SxSx,,,|()()|uxSx,,,,nk,1k , X则称()在上一致收敛于，记为 {()}SxSx()ux(),nnn1, , X()，在上。 Sx()ÞSx()ÞSx()ux(),nnn1, 注、一致收敛是整体概念。 注、一致收敛的几何意义:Sx()等价于当n>N时，函数曲线Sx()都ÞSx()nn 落在曲线和之间。 Sx()-eSx()+e x()Sx,例2 证明:在一致收敛。 X,,,，,(,)n221，nx xX,证明:1)、计算和函数。任取，则 Sx()0 x0()0， Sx,,n0221，nx0故，Sx()0,。 352 2)、判断及验证。由于 ||2||xnx1100， |()()|SxSx,,,,,n22221212，，nxnnxn00 1,,,0nN,故，，，当时， ，,，,N()[]12, ,,xX，对成立， |()()|SxSx,,,n 因而，。 SxSx()(),n 注、类似于数列极限证明的放大法，证明也是利用放大法得到 SxSx()(),n 的一个与x无关且单调递减收敛于0的界G(n),即如下估计: |()()|SxSx,n 。 |()()|()0SxSxGn,,,,？n 将上述证明思想抽取出来，得到如下判别法: xX,X:，使得，，则在推论1.1设存在数列{}aa,0|()()|SxSxa,,nnnn 上。 SxSx()(),n 再引入一个较弱的概念。 [,]ab XX定义1.6 设为一区间，若，SxSx()(),，称在上{()}Sx,,[,]abXnn内闭一致收敛于。 Sx() 显然，一致收敛性远强于点收敛性。正是如此，才保证一致收敛条件下和 函数能继承很好的性质，也能保证函数性质由有限到无限的过渡。在研究这些 {()}Sx性质之前，先给出一致收敛性的一个充要条件。以为例: n {()}Sx定理1.1 设在X上点收敛于，记 Sx()n ||()()||sup|()()| SxSxSxSx,,,， nn,xX X lim||()()||0SxSx,,SxSx()(),则，当且仅当。 nn,,n 证明:充分性 lim||()()||0SxSx,,,,,0，NnN,设,则，，当时， n,,n 353 . ||()()||SxSx,,,n 又， xX,， |()()|||()()||SxSxSxSx,,,nn nN,,,xX故时，，都有 ， |()()|SxSx,,,n xX,故，，。 SxSx()(),n 必要性 ,,,0nN, 设，则，，当时， SxSx()(),，N(),n ,,,xX|()()|SxSx,,，， n2 ,故,,因而, sup|()()|SxSx,,,,n2,xX lim||()()||0SxSx,,. n,,n 注、对任意的n，是一个与x无关的量。 ||()()|| SxSx,n 注、定理1.1的思想是将一致收敛的判断转化为最值(确界)的计算和数 列的极限的计算，而最值的计算可利用导数法来完成，因而，对一个具体的函 数列，可以借助于微分学理论完成一致收敛性的判断。 nx()Sx,例3 判断在的一致收敛及内闭一致收敛性。 (0,)，,n221，nx 解、显然。 Sx()0, nx()()SxSx,,用定理1.1判断。由于，下面用导数法求其最大值。 n221，nx 对固定的n，因而 22222nnxnxnxnnx(1)2(1)，,,,,， Sx(),,n222222(1)(1)，，nxnx 1x,Sx()故，在处达到最大值，因而， nnn 1SxSxSxSx,,,,,||()()||||()||()0 nnnn2 Sx()故，不一致收敛于S(x)。 n 354 考察内闭一致收敛性。任取，由于 [,](0,)ab,，, 22nnx(1),,， Sx(),n222(1)，nx 1,因而，当Sx()0,时，，，因此，此时 n,,,xab[,]na na， ||()()||||()|||()|0SxSxSxSa,,,,,nnn221，na [,]ab 故，，因而，在内闭一致收敛于0。 Sx()0,Sx()(0,)，,nn 三、一致收敛的判别法则 我们以函数项级数为例，给出一致收敛性的判别法。 , X给定上的函数项级数。 ux(),nn1, 定理1.2 (Weiersfrass判别法) , N,0nN,,,xX若存在，当时，，，而正项级数收敛，|()|uxa,a,nnn,n1 , X则在上一致收敛。 ux(),nn1, , ,,0证明:由于收敛，用Cauchy收敛准则，则对任意的，存在N，a,n,n1 当n>N时，对任意的正整数p，成立 0,，,,,，,uu,， nnp，，1 因而，当n>N时， ,,xX|()()|uxux，,,,，,,， 对 nnp，，1 , X故，在上一致收敛。 ux(),nn1, 注:W-判法也是比较判别法。 类似数项级数，还可以引入如下的判别法。 355 定理1.3(Abel判别法) , ,,xX设在上一致收敛，满足:1)、对，关于单Xvx(){()}vxnux(),nnnn1, , 调，2)、在上一致有界，则在X上一致收敛。 X{()}vxuxvx()(),nnn1n,分析 证明思想类似数项级数的Abel判别法，即利用Abel变换和Abel引 理，考察其Cauchy片段。 ,n,,xX证明:设，，. |()|vxM,n ,,,0，NnN,由于一致收敛，故，，当时， ux(),n ，,|()()|uxux，,,,，,， ， ,,pNnnp，，13M ,,xX又，关于单调，故，由Abel引理 {()}vxnn ,|()()()()|(||2||)uxvxuxvxvv，,,,，,，, ,nnnpnpnnp，，，，，，1113M, 故，在X上一致收敛。 uxvx()(),nn1n, 定理1.4(Dirichlet判别法) , ,,xX设的的部分和一致有界，vx()满足:1)、对，{()}vx关于nux(),nnnn1, , {()}vx单调，2)、函数列一致收敛于0，则在X上一致收敛。 uxvx()(),nnn1n,与Abel定理的证明类似，略去其证明。 ,,n例4 若收敛，证明在上一致收敛。 [0,1]aax,,nn,n1n1, , 证明:因为在[0,1]上一致收敛，由Abel判别法即得。 a,n,n1 ,注、不能用Weiersfrass-定理，因为不一定收敛。 ||a,n,n1 356 , 例5 设单调趋于0，证明:在内闭一致收敛。 {}a(0,2),anxsin,nn1n, 证明:，考虑，由于单调一致收敛于0，{}a,,,,(0,)[,2](0,2),,,,,,n且成立如下的部分和有界性: n11|sin|kx,,， ,x,k,1sinsin22 因此，由Dirichlet判别法，结论成立。 我们引入一个利用函数分析性质判断一致收敛性的Dini-定理。 定理1.5(Dini-定理) [,]ab 设，且，又设，关SxSx()(),SxCab()[,],{()}SxSxCab()[,],,,xab[,]nnn [,]ab 于单调，则。 SxSx()(),nn [,]ab 分析 定理中的条件有两个，从条件出发，可以得到的结论是:SxSx()(),n ,,,0对，，存在，使得时 ,,xab[,]Nx(,),nNx,(,), ， |()()|SxSx,,,n 而连续性的条件，可以将上式推广到x的某个邻域成立，而一致收敛性的Ux()结论要求将上式推广到对某个N，对所有的都成立，这就必须克服两个xab,[,] 局部性条件的限制:和，一般从局部到整体性质的推广可以利用有Nx(,),Ux() 限覆盖定理，但是，由于有两个局部性条件的限制，使得利用有限覆盖定理进行推广很难进行，我们知道，对这类问题还有一个有效的处理方法，就是反证法，使得假设要证明的结论整体不成立，利用条件得到在某个点或其附近也不成立，由此得到矛盾，下面，我们利用反证法证明结论。 证明:反证法 xab,[,]{()}Sx，,,0n设不一致收敛于Sx()，则，，及使得 nn0kk |()()|SxSx,,, (*) nnn0kkk 357 利用上面的分析，我们希望确定一个点，使得在此点附近产生矛盾，为此，我们利用Weiersfrass-定理，则有收敛子列，不妨设. {}xxxab,,[,]nn0kk ,0，N下面，分析在点附近的性质，由于，则对，，使得 xSxSx()(),n0004 ,0， |()()|SxSx,,N004 利用连续性，将此点的性质推广，由于且，故，xx,SxSxCab(),()[,],，,k0n0N0k当时 kk,0 ,,00， ， |()()|SxSx,,|()()|SxSx,,NnNn00kk88故, |()()||()()||()()|SxSxSxSxSxSx,,,，,NnnNnNn00kkkk ,0 (**) ，,,|()()|SxSxn0k2 这就得到了在点附近成立的一个性质，比较(*)和(**)，为得到矛x0 盾性的结论，只需将仅对N成立的(**)推广到对所有充分大的n都成立即可，为此，必须利用剩下的条件――单调性条件。 nk,又,对固定的，关于单调，因而，当时 {()}Sxxnn |()()||()()|SxSxSxSx,,, , (***) nk nk,事实上，若{()}Sx关于单调增加，则SxSx()(),,且时，SxSx()(),，nnnnk因而, |()()|()()()()|()()|SxSxSxSxSxSxSxSx,,,,,,, nnkk nk,{()}SxSxSx()(),SxSx()(),而当关于n单调减，此时，且时，则 nnnk |()()|()()()()|()()|SxSxSxSxSxSxSxSx,,,,,,, nnkk nk,故,时总成立 |()()||()()|SxSxSxSx,,,, nk knN,因而，当充分大，使得时，由(***)和(**)得 k 358 ,0， |()()||()()|SxSxSxSx,,,,nnnNnnkkkkk2 [,]ab 这与(*)矛盾。故,. SxSx()(),n 注、定理1. 5中闭区间的闭性条件不可去。 将定理1.5推广至函数项级数，可得相应的Dini-定理。 定理1.6 设，，如果1)、，，uxSx()(),uCab,[,]xab,[,](1,2)n,？,nn ,, ，2)、对每个固定，是同号级数，则在SxCab()[,],xab,[,][,]abux()ux(),,nnn1n1,,一致收敛于。 Sx() 1,xn例6 设，证明:在[0,1]上一致收敛。 Sxx(),{()}Sxnn21，x 证明:容易计算， SxSx()lim()0,, ， x,[0,1]n,，,n 由于对任意的n，且;而对于任意给定的，SxC()[0,1],SxC()[0,1],x,[0,1]n 关于n单调非增，由Dini定理，在[0,1]上一致收敛。 {()}Sx{()}Sxnn 四、一致收敛的必要条件及非一致收敛性 由于并不是所有的函数列和函数项级数都一致收敛性，因此，研究函数列的非一致收敛性很有必要，下面给出一些判断非一致收敛性的结论。 XX SxSx()(),SxSx()(),,,xX定理1.7 设，则的充要条件是，都有nnn lim(()())0SxSx,,。 nnn,,n 证明:必要性 ,,,0，,N0nN,SxSx()(),设，则，，当时， n ,,xX|()()|SxSx,,,，， n 因而， |()()|SxSx,,,， nnn 359 lim(()())0SxSx,,故，。 nnn,,n 充分性 ,N反证法。设不一致收敛于S(x)，则，， ，，xX,Sx()，,，,nNnn0NN使得 。 |()()|SxSx,,,nnn0NNN N,1取，则，，使得; xX,|()()|SxSx,,,，nnnnn011111 取，则，，使得。 xX,|()()|SxSx,,,Nn,，nnnnn0122222 如此下去，构造，使得 {}xnk 。 |()()|SxSx,,,nnn0kkk 因此，对任意满足的点列，都有不收敛于0，{}{}xx,{}xX,(()())SxSx,nnnnnnk 与条件矛盾。 定理1.7的作用体现在下面推论中。 推论1.2 若，使得不收敛于0，则不一致收敛，,xX|()()|SxSx,Sx()nnnnn 于S(x)。 , X若相应的结论可以推广到函数项级数，如类似成立: 在上收敛，ux(),nn1, , lim()0rx,X,,{}xX则在上一致收敛的充要条件是，有，其中ux()nn,nn,,nn1, , 。 rxux()(),,nk1kn,， 下面的结论在判断函数项级数的一致收敛性时也非常有用: ,, X,,{}xX定理1.8 若在上一致收敛，则对，收敛。 ux()ux(),,nnnnn11,n, 这个结论可以用类似定理1.2的方法证明，但是，条件的充分性不成立。 这个结论在判断非一致收敛性时很有用。 360 2,x例7 证明:在[0 , 1]上非一致收敛。 ,n2(1)，xn,1 2,,x11n证明:取，发散，由定理1.8，结论成立。 ,x,,,nn21，(1)xnnnn,,11n，n(1)n n例8 判断在上的一致收敛性。 Sxx(),[0,1)n 1解、显然，取，则 x,,,(1)[0,1)Sx()0,nn 11nSxSx,,,,,， ()()(1)0nnnne 故不一致收敛。 Sx()n 类似数项级数，成立函数项级数一致收敛的必要条件。 ,X X在上一致收敛，则。 定理1.9 若ux()0,ux(),nnn1, , ,,,0只需用Cauchy收敛准则即可。事实上:由于一致收敛，则，ux(),nn1,，NnN,，当时， |()()|uxux，,,,，,,， nnp， X取，在上|()|ux,,，故ux()0,。 p,0nn 注、定理1.9与数项级数收敛的必要条件类似，常用于判别非一致收敛性。 还可以借助端点的发散性判断非一致收敛性。 , ,,,0ux()定理1.10 设对每个n，在xc,处左连续，又发散，则，uc(),nnn1,, 在(,)cc,,上必不一致收敛。 uc(),nn1, 证明:反证法 361 , ，,,0设，使得在上一致收敛，则由Cauchy收敛准则: (,)cc,,ux(),nn1, ,,,0，,N0，，使得 ， ， |()()|uxux，,,,，,,,,,xcc(,),,pnnp，，1 令，则 xc, ， |()()|ucuc，,,,，,,,pnnp，，1 , 再次用Cauchy收敛准则，收敛，矛盾。 uc(),nn1, 与此定理相似的结论: ,, ,,,0定理1.11 设在处右连续， 发散，则，ux()xc,uc()ux(),,nnnn1n1,,在上必不一致收敛。 (,)cc，, ,nx,例10 判断在的一致收敛性。 (0,)，,ne,n1, n,nx,,nxx0ne分析 显然，收敛，利用根式法可知nee,，只有当,,x0,0 ,,x,x,,,0x,0ee,,1时，才有，才能得证一致收敛。因而:附近有可能破坏一致收敛性。 , x,0解:显然，时，发散。因而由定理1.11可得非一致收敛。 n,n1, 1例11 说明在上非一致收敛。 (,),,，,,2n，x(1) ,,,11x,0解:当时，发散,故,在(,),,，,上非一致,1,,,2n2nx，x，(1)(1)n1nn11,,, x,0收敛(为坏点)。 362 习题 1、研究下列函数项级数的点收敛性: n，1,,(1),2n 1) ; 2); (1),xx,,2nx(1)，n1,n,1 n,,1(1)，，x2,nx 3); 4). ne,,21()，,nxn,11n, 2、研究下列函数列的点收敛性: {()}fxn 1,2nnxxn,is0 ,,x,,nnSx(),1); 2)、。 Sxe(),,nn1,1, 1,,x,n,3、讨论函数项级数在给定区间上的一致收敛性: ,11)、 ,,,，,x ,,2nxn，nisn1, 2,x0,,，,x2)、， ,341，nxn,1 ,ln(1)，x3) , 0,,，,x,22nx，n1, ,oscnx4)、 ,,,,,,,,,,,,,02,( ) ,ixiix,)0 )02 ;,nn1, ,1xn5)、 ，，,,，,1)n(l1),(0 x,2nn1n, ,x6)、 arctan, ,,,,，,x,32，nxn1, ,17)、 ixi,,,,,,ixn,is01 ) )01 ;,xn1n, 363 ,2nx,8)、 1),(，,,，,0xex ,n1, ,1n9)、 ，,,,,,ixi,ix2l1)n(01 ) , )01 ;,nx31n, ,x10)、 1)n(at01 ) ,，,,,,，, )0 ;ixiix,2nn1, 4、讨论下列函数列在给定区间上的一致收敛性: 222,nx 1)、 Sxnxeixiix()2, )01; )01,,,,,,,n nx12)、 Sxixiix(),,,,,,，,0; ) )1 nn12，x n3)、 Sxxx()(01 os),c ,,, n knx,. 4)、Sxxekx(),,,,,，, 0 0 ,n ,,5、设在(a,b)内一致收敛，在端点x,a，b收敛，证明:在区ux()ux(),,nnn1n1,,间[a,b]上一致收敛。 ,,、设6在(a,b)内一致收敛，对任意n，uxCab()[,],，证明:在ux()ux(),,nnnn1n1,,区间[a,b]上一致收敛。 ,, ux()7、设在x,a、b点收敛，对任意的n，在[a,b]上单调，证明:ux()ux(),,nnnn1n1,,在[a,b]上一致收敛。 2x,en，1，n8、证明:在[a,b]上一致收敛但非绝对收敛。举例说明绝对收(1),,2n1n, 敛的函数项级数不一定一致收敛。 ,,0,,0{()}Sx9、设在[a,b]上等度连续，即对任意的，存在，使得当x、n y,[,]ab||xy,,,且时，成立 364 ,n ， ， |()()|SxSy,,, 又设在[a,b]上逐点收敛，证明在[a,b]上一致收敛。 {()}Sx{()}Sxnn ,cosnx10、利用Cauchy收敛准则证明:在(0,1)内非一致收敛。 ,nn1, ?2 和函数的性质 本小节，我们研究和函数的分析性质，如和函数的连续、可微等性质，并由此讨论关于和函数的一些运算。需要指明的是，下面定理中的闭区间 [a,b]都可以用任意的区间代替。 [,]ab SxSx()(),SxCab()[,],定理2.1 若1)，2)，(1,2)n,,,,，则nn SxCab()[,],。 ,,0,xSxCab()[,],,Cab[,]分析 根据定义，要证，只需证明、， 0 365 存在，使得 ,,(,)0x,0 ， |()()|SxSx,,,xUxab,,(,)[,],00 因此，证明的关键是对上式左端的估计。而我们知道的条件一是一致收敛性， 由此知道了，，二是连续性，由此知道了对某个n的估|()()|SxSx,xCab,[,]n 计式，，因此，相互比较可以发现应该通|()()|SxSx,,,(||(,,))xxxn,,,,nn000 过插项方法，利用已知的项实现对未知项的控制，但是，必须要解决估计过程 中，利用连续性所产生与n的依赖关系，因此，必须将任意的n固定，,,(,,)xn0 这是证明中的技巧。 ,,,0nN,证明:任取，利用一致收敛性，则，存在，当时， xab,[,]N(),0 ，， |()()|SxSx,,,,,xab[,]n 特别，取，则 nN,，10 ，。 |()()|SxSx,,,,,xab[,]n0 lim()()SxSx,又，存在，使得 ,,,,(,)()n,nn0000,xx0 |()()|SxSx,,,，， xxab,,:(,)[,],nn0000 因而，当xxab,,:(,)[,],时， 0 |()()||()()||()()||()()|3SxSxSxSxSxSxSxSx,,,，,，,,,， 0000nnnn0000 故，。 SxCab()[,], 注、可以用上述定理证明非一致收敛性，即下述的推论。 [,]ab SxSx()(),SxCab()[,],{()}Sx 推论2.1 设，，若，则非 SxCab()[,],nnn 一致收敛于Sx()。 n如，用推论2.1可以证明:Sxx(),在[0,1]上非一致收敛，因为其和函数 n 366 0, 01,,x,在[0,1]上不连续。 Sx(),,1, 1x,, 注、定理2.1表明，如下运算成立: lim()()lim()limlim()SxSxSxSx,,,00nn,,,,,,xxnnxx00 即两种极限运算可换序， ， limlim()limlim()SxSx,nn,,,,,,xxnnxx00 因此，一致收敛性保证了上述两种运算可换序。 [,]ab 定理2.2 设且，则 SxSx()(),SxCab()[,],nn bbblim()lim()()SxdxSxdxSxdx,,， nn,,,,,,,aaann 即极限与积分可换序。 分析 这是一个关于的极限问题，直接比较即可证明之。 n,, ,,,0，,N0nN,证明:由于， ，，当时， SxSx()(),n ,，， |()()|SxSx,,,,xab[,]n()ba, nN,故，当时， bbb|()()||()()|SxdxSxdxSxSxdx,,,,, ， nn,,,aaa 因而， bbblim()lim()()SxdxSxdxSxdx,, 。 nn,,,,,,,aaann 注、从证明过程中可知:连续性的条件只是为了保证的连续可积性，Sx() SxCab()[,],SxRab()[,],因而，可减弱为，。 SxRab()[,],nn ,{()}SxSxCab()[,],SxSx()(),定理2.3 假设满足1)、;2)、，nnn ,,Sxx()(),,SxSx()(),xab,[,]; 3)、，xab,[,]，则且，因Sxx()(),,nn而，微分与极限运算可换序，即 ddd,()lim()()lim()lim(),,,,,SxSxxSxSx nnn,,,,,,nnndxdxdx 分析 我们知道积分和微分存在着量的关系，而且我们已经知道了积分运 367 算的相应结论，因此，证明的思路就是将微分关系转化为积分关系，借用定理2.2完成证明，即 xx,, 等价于 ,()()()()tdtStdtSxSa,,,Sxx()(),,,,aa 可以充分利用已知的积分换序定理证明结论。 ,证明:由于Sxx()(),,，由定理2.2，则 n xxx,,， ,()lim()lim()lim(()())()()tdtStdtStdtSxSaSxSa,,,,,,nnnnnn,,,,,,,,,aaannn x11由定理2.1得，故，因而，也有，,()[,]tdtCab,,()[,]xCab,SxCab()[,],,a ,对上式两端微分，则。 Sxx()(),, 再次利用微积分关系式，则 xx,,SxStdtSa()()(),，，， SxStdtSa()()(),，nnn,,aa 故， xx,SxSxStdtSatdtSa()()()()()(), ,,，,,nnn,,aa x,(()())(()())SttdtSaSa, ， ,,，,nn,a 故，。 SxSx()(),n 注、上述关于分析性质的定理，可类似推广到函数项级数。 下面通过例子说明上述定理的应用。 ,nisnx例1 证明:1)、; ,,,fxC()(2),0,nn1, ,nisnx12)、 ,,,fxC()(2),0,2nn1, 分析 这是和函数的连续性问题，由定理2.1，只需验证相应的一致收敛性。 sinnx简单分析可以发现，在是点收敛而不是一致收敛，但是，注意到(0,2),,n 连续性、可微性都是局部性的概念，验证这些性质在某个区间上成立，只需验证其在任一个闭子区间上成立，这是局部概念特有的性质，也是处理局部性性质的常用思想。 ，,,0x,(0,2),x,,(,2),,,证明:1)、任取，则，使得，类似前例，00 368 sinnx在一致收敛。由定理2.1，，故在x[,2],,,,fxC()[,2],,,,,fx(),0n 点连续，因而,。 fxC()(0,2),, ,,cosnxcosnx2)、考察其导数级数，对任意的，则在,,,(0,)[,2],,,,,,nnn1n1,, ,cosnx1,,,一致收敛，因此，由定理2.3，且，由的fxC()[,2],,,,,,fx(),nn1, ,sinnx1任意性，则。 ,,,fxC()(0,2),2nn1, 例2 证明:当时， x,,(1,1) n,1,(1)11,n23 xxxxx？,,，,,，ln(1),n23n,1 ,nn11,,证明:考察级数。 则 (1),x,n1, nn1(1),,,,,,11211kknn Sxxxxx？()(1)1(1),,,,，，，,,,nx1，,1k 因而， 1SxSxx,,,,()(), (1,1) n，x1 即 ,1nn11,, 。 (1,1)x,,Sxx,,,()(1),,，x1n1, n,1n,1n,1(1),,(1),x,,,0对，收敛，由Weiersfrass判别法得，在,, [1,1],，,,,一致收敛，因而，由定理2.2，则 xxdt,,11nn(1)(),,tdt， [1,1]x,,，,,, ,,,001，t 即， 369 n,1,(1),n， xx [1,1]x,,，,,,,，ln(1),nn,1 ,,0由的任意性，则 n,1,(1),n ，。 xx (1,1)x,,,，ln(1),nn,1 注、这类题目从形式看是计算函数项级数的和函数，处理这类题目的方法是利用已知的函数项级数及其和函数，通过求积或求导计算新的函数项级数的和函数，而已知的函数项级数通常是 ,1nn11,, (1,1)x,,Sxx,,,()(1),,，x1n1, 和 ,1n 。 (1,1)x,,Sxx,,(),,,x10n, ,xn证明: ，。 例3 ,,,x(1,1),nx,2(1),x1n, ,,1n1,nSx(),证明:易证在点收敛于且内闭一致收敛，而(1,1),xnx,,1,x,n0n1, 1,在内闭一致收敛于，则由定理2.3:, ,,,,()x(1,1),()()xSx2,(1)x ,,xnn1,故, , . ,,,x(1,1),,nxxnx,,2(1),xnn11,, 注、从例2和例3的结论形式看，也可以视为函数的级数展开，将其与函数的Taylor展开相比，可以发现:Taylor展开是有限展开，且在定义域内都成立，级数展开是无限展开，且只在函数项级数收敛的范围内成立。 习题 370 ,x1、证明:在非一致收敛，但是可以逐项求积和逐项求导，(,),,，,arctan,2nn1, 即成立对任意的实数a、b， ,,bbxx ， arctanarctan,dxdx,,22,,aann11nn,, 及对任意的x，成立 ,,dxdx . arctanarctan,,,22dxndxnnn11,, ,112、证明:由在任何有限的区间都能确定一个连续函数。 ,(),knnx，1n, ,sinnx3、证明:在内具有连续的导数。 (1,)，,,Sx(),xn1n, n,xlim()Sx4、设，计算。 ()cos(1),,Sxnx,nx,121n, ,,cosnx,5、设Sxdx()，1)、计算;2)计算 Sxx(), (0,2).,,,Sx(),,0nnn1, 6、设对任意的n，SxCab()[,],且{()}Sx在区间[a,b]上一致收敛于，证Sx()nn Sx()Sx()ne.明:在区间[a,b]上一致收敛于 {}e 371 ?3 幂级数 本节研究最为简单的函数项级数——幂级数，由于幂级数结构简单，具有良好的性质，在工程技术领域应用非常广泛，因而，从理论上对幂级数进行研究很有意义，本节，我们利用函数项级数理论，研究幂级数的收敛性及其性质。 一、定义 我们引入最简单的函数项级数――幂级数。 ,n定义3.1 设为给定的数列，称函数项级数为幂级数。 {}aaxx(),,n0n0n, 注、从结构形式看，幂级数是多项式函数的推广，多项式函数是函数中结 构最简单的一类函数，具有特殊的性质，更便于研究。 ,n注、若取，我们得到更简单的幂级数，由于对一般的幂级数x,0ax,0nn0, ,,nn作变换，就可以将其转化为幂级数。 txx,,axx(),at,,00nn,n00n, nax因此，本节我们以幂级数为例引入相关内容。 ,n 二、收敛性质 幂级数是特殊的函数项级数，其结构简单特殊，因而具有特殊的收敛特性。下面研究这些性质。 定理3.1 (Abel定理) ,,nn1、设x,,xxx:||||在点收敛，则对，必绝对收敛。 axax,,00nnn0n0,, ,,nnx,,xxx:||||2、设在点发散，则，必发散。 axax,,00nnn0n0,, nnaxax分析 证明的关键是建立已知级数与要讨论级数之关系，可,,n0n以采用形式统一法。 x01,,r,,xxx:||||r,||证明:1)、对，记，则， 显然， 0x0 372 xnnnnn ， ||||||||axaxaxr,,,,00nnnx0 ,nnnlim0ax,因为收敛，故，， 因而充分大时，，此时 n||1ax,ax0n,0n0n,，,nn0, nn， ||axr,n ,n由比较判别法得，绝对收敛。 ax,nn0, 2)、注意到结论1)，此结论用反证法证明。 ,,nn设存在，使得收敛，则利用结论1)，绝对收xxx:||||,axax,,110n1n0n0n0,,敛，与条件矛盾，故，结论2)成立。 ,n 注、结论1)中，在点不一定绝对收敛。 xax,0nn0, 对定理3.1分析可知:定理3.1反映了幂级数的收敛结构性质――收敛点 R的分布特性，收敛点关于原点对称分布。因而，可以设想:应该存在，使得||xR, ,,nn时，收敛(绝对)，而时，发散。 ||xR,axax,,nnn0n0,, ,nRR事实上，这样的是存在的。为方便，我们称为的收敛半径，相ax,nn0, xR,,应的称为收敛区间。但是要注意，点处的收敛性具不确定性。因(,),RR 此，称{收敛的端点}为收敛域。 (,),,RR ,n通过上述定义可知，确定幂级数的收敛性，只须确定收敛半径及端ax,nn0, ,nRR点的收敛性，因此，关键是确定。那么，如何确定,我们从分析使得ax,nn0, xn收敛的点的结构入手。由于幂级数通项的幂次的结构形式，我们用根式判别 373 法判断级数的敛散性，对,x，由于 nnnlim||||lim||axxa, nn,,,,nn nn1lim||ar,因此，若存在极限，则当，即时，绝对收||x,ax||1xr,,,nnr,,n n1敛。当，即时，发散。因此，必有 ||x,ax||1xr,,,nr 11。 R,,nralim||n,,n 1, , 0