圆锥曲线论文：在几何画板中作圆锥曲线切线的几种方法
圆锥曲线论文:在几何画板中作圆锥曲线切线的几种方法
【摘要】在几何画板中作圆锥曲线的切线对初学几何画板的使用者来说是有一定难度的，为解决这个问题，浙江省黄岩中学的赵国藩老师在其论文《在“几何画板”中作圆锥曲线的切线》一文中介绍了利用圆锥曲线的光学性质作其切线的方法.在文中他指出在“几何画板”中不能直接得到直线与圆锥曲线的交点，而最新的“几何画板”5.01版中是可以直接得到交点的，故不用圆锥曲线的光学性质亦可作圆锥曲线的切线.本文将介绍其他几种作圆锥曲线切线的方法.
【关键词】圆锥曲线;切线;“几何画板”
一、在椭圆上一点作切线的几种常用方法
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(北师大版)选修2-1《椭圆》中有一道例题如下:
求证:点m(acosθ,bsinθ)(0?θ<2π)在椭圆x2a2+y2b2=1上.
此题实际上揭示了椭圆的一种生成方法:作两个半径不等的同心圆，在大圆上任意取一点作p,过p作x轴的垂线l，连接op与小圆交于点a，过a作l的垂线，交点为c,则c的轨迹为椭圆(图1).
由此可知椭圆的一种切线作法如下:
?以椭圆的中心o为圆心，长半轴为半径作圆;
?在椭圆上任意取一点a,并过a点作x轴的垂线交大圆
于点b;
?连接ob，并过b点作ob的垂线，交x轴于点c，连接ab，即为过a点的切线(图2).
2在文,3,中作者给出了椭圆上一点切线的作法如下:
?过p作x轴的垂线交x轴于点n，以o为圆心、长半轴a为半径作圆，与直线op交于点r;
?过点a(a,0)作nr的平行线，交直线op于点s;
?以o为圆心、线段os为半径作圆交x轴于点q，则pq为过点p的切线(图3).
在椭圆上一点作切线的方法还有很多，以上两种是比较简单的作法.
二、利用参数方程作圆锥曲线及切线
1用参数方程作椭圆及切线
作法如下:?新建参数a=2,b=1和函数f(x)=acosx，g(x)=bsinx;
?绘制参数函数f(x)=acosx,g(x)=bsinx(0?x?2π)，即画出方程为x24+y2=1对应的椭圆;
?在椭圆上任意取一点b并分别度量它的横、纵坐标xb和yb，并计算k=-b2a2xbyb;
?绘制函数y=k(x-xb)+yb的图像，即为椭圆在点b处的切线.
注 参数a,b的大小可以自由控制，以下参数a,b都是
如此.
2用参数方程作双曲线及切线
作法如下:?新建参数a=2,b=1和函数f(x)=acosx，g(x)=bsinx;
?绘制参数函数f(x)=asecx，
g(x)=btanx(-200?x?200)，即画出方程为x24-y2=1对应的双曲线;
?在双曲线上任意取一点c并分别度量它的横、纵坐标xc和yc，并计算k=b2a2xcyc;
?绘制函数y=k(x-xc)+yc的图像，即为双曲线在点c处的切线.
注 类似可作焦点在y轴上的双曲线的切线.
3用参数方程作开口向上的抛物线及切线
作法如下:?新建参数p=2和函数f(x)=x22p，并绘制函数f(x);
?在双曲线上任意取一点d，分别度量它的横、纵坐标xd和yd,并计算k=xdp;
?绘制函数y=k(x-xd)+yd的图像，即为抛物线在点d处的切线.
4用参数方程作开口向右的抛物线的切线
作法如下:?新建参数p=2和函数f(x)=t22p，g(x)=t;
?绘制参数函数f(x)=t22p,g(x)=t;
?在抛物线上任意取一点p，分别度量它的横、纵坐标xp，yp，并计算k=2yp;
?绘制函数y=k(x-xp)+yp，即为抛物线在点p处的切线.
注 类似可以作开口向下、向左抛物线的切线方程.
利用参数方程和隐函数求导在几何画板中能比较方便地画出圆锥曲线的切线，易于初学者掌握.
【参考文献】
,1,赵国藩.用“几何画板”作圆锥曲线的切线.数学学习与研究，2009(9).
,2,尉贞肆.关于椭圆及其切线的画法.陕西教育学院学报，1999(2).
,3,刘自敏.椭圆切线的几何作法.科技信息.
,4,席高文.圆锥曲线切线几何作图的充要条件.洛阳师范学院学报，2002(5).
浙公网安备 33021202002483