高中数学论文：计数原理在四色问题中简单应用的探讨
计数原理在四色问题中简单应用的探讨
计数原理和染色问题均是高考中常考内容，且与染色问题有关的试题内容新颖有趣，数学思想丰富，解题技巧灵活多变，故这类问题有利于培养学生的创新思维能力，有利于培养分析和解决问题的能力。常见的解题原则有(1)(根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本
方法
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;(2)(特殊位置或特殊元素优先考虑原则;(3)(分步处理过程中出现矛盾或问题则分类讨论原则;
以下针对染色问题的特征分几类情形进行探讨和归纳。
(一)平面直线型染色问题
【例1】如图，用4种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法,
A B C D
ABCD,,,解:根据分步计数原理，按的顺序染色，故N=4X3X3X3=108(种) 说明:本题也可以对C与A同色与否，B与D同色与否进行讨论解决，但计算过程复杂，解题不简洁，利用分别计数原理简洁。
(二)平面环形染色问题
【例2】将例1中四个区域的位置做出如下调整,如下图，相邻区域不同
色，问共有多少种不同的染色方法,
ABCD,,,解:根据分步计数原理，按的顺序进行染色，由于C区域
是特殊位置，应进行讨论:(1)当C与A同色时，则=4x3x1x3=36; N1
(2)当C与A不同色时，则=4x3x2x2=48; N2
所以N==36+48=84(种). NN，12
【变式1】如下图，将一个圆分成4个扇形，每个扇形用4中不同颜色染
色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法,
解:本变式题本质与例2完全相同，故N=84(种)。
n,2【变式2】如下图，将一个圆形分成n个扇形()，每个扇形用
4种不同颜色之一染色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的
染色方法,
解:圆被分成n个扇形时:
2AA,a,12;(1)当n=2时，有A,12种，即 1224
n,3AAAA？(2)当A时，如图知，与不同色，与 不同色，， 1223n,1
n,143，AA与不同色，先将n个区域看作直线型染色问题，则共有种染色方法， 但由于与nn
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邻，所以应排除与同色的情形;而与同色时，可把、 合并看成一个扇形，AAAAAAA1n1n1n1
n,2n,1与前个扇形加在一起为个扇形，此时有种染色法，故有如下递推关系: an,1
n,1 aa,，,43nn,1
nnn,,,121 ？,,，，,,,，，，，aaa43(43)43nnn,,12
nnnnn,,,,,21321,,，，，,,，，,，，，aa4343434343nn,,23
nnn,,12,,，,，，,，？？4[33(1)3] nn,,，，(1)33
说明:有了以上通项公式，可以解决所有扇形染色问题。 (三)棱锥型顶点染色问题
【例3】如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果
只有4种颜色可供使用，求不同的染色方法总数。
P
D
C
ABCD,,,解法一:根据分步计数原理，按的顺序染色，先对S、A、B染色，有4x3x2A 种，由于C点的颜色可能与A相同或不同，这影响到D点的染色方法，故分两类情况讨论: B
(1) C与A同色，则C方法唯一，D有2种染色法，所以N=4x3x2x1x2=48种; 1(2) C与A不同色，则C只有一种颜色可选，D有一种选法，所以N=4x3x2x1x1=24种; 2
综上:aNN,，,，,482472 种。 412
解法二:按颜色的种数分类讨论解题
33(1) 若用三种颜色，则A与C同色，B与D同色，所以种; NCA,,24143
121(2) 若用四种颜色，则先染P，有种，再染A,B有种，再染C有种，再染D有1种， CAC342
1211所以NCACC,=48种; 24321
aNN,，,，,482472所以(种) 412
解法三:将立体问题转化为平面相邻区域染色问题
如下图，原问题可以转化为将图中五个区域用4种不同颜色染色，要求相邻区域不同色，求不同的染色方法,
其中区域P对应棱锥顶点P。
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PABCD,,,,根据分步计数原理，按顺序染色，由于C位置
特殊，故分C与A同色和C与A不同色两类讨论:
(1)C与A同色时，则=4x3x2x1x2=48种; N1
(2)C与A不同色时，则=4x3x2x1x1=24种; N2
所以 种。 aNN,，,，,482472412
PABCD,【变式3】如图四棱锥，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法, P 解:将立体图形问题转化为平面区域染色问题，如左图，
1 2
5 D
3 C 4
A B 图中5号区域相当于四棱锥中底面ABCD，其他 4个区域相当于四棱锥四个侧面，问题又回到例3的解法三，所以N,72;
总结
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:变式题的解题方法体现了数学思想中的化归思想，对培养学生能力有很好的意义。 【推广探究】
1. 将例3中的四棱锥改为五棱锥，其染色方法共有多少,
PABCDE,,,,,方法1:将五棱锥转化为平面相邻区域染色问题，如图，按
的 顺序问题，讨论C与A同色或C与A不同色，再讨论D与B或D与B不同
a,120;色，可得5
方法2.由题意，平面共有6个区域，用4种颜色，则必有两对区
域分别同色，故用枚举法讨论解题即可。例如A与C同色，B与
4A,24;4D同色，此时有共有5种情形;
4所以aA,,512054。
2. 推广到n棱锥
对n棱锥的顶点用4种不同颜色进行染色，要求相邻顶点不同色，求不同的染色方法数。
n,1432，，PAAAA,,,,, ,如图，先根据分布计数原理，由121nn,共有N=种，
A与AA与Ann,1nn,1但其中包含了“同色”和“不同色”两大类。
A与AaA与A当nn,1n,1nn,1同色时，染色总数就是，当不同色时，染色总
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a数就是。 n
n,1aa，,，，432故有: nn,1
nnnn，23a,，，,，,，,，4[2(1)2]2(1)2可解得:(种)。 n
(四)线段染色问题
【例4】:如图，用4种不同颜色给五边形ABCDE每条边染色，要求一条边只染一色，且
相邻边不同色，问共有多少种不同染色方法,
解:本题的本质就是环形染色问题，
nn由通项公式 a,,，，(1)33n
55知:N ,,，，,(1)33240
【变式4】如图，用四种不同的颜色给正四面体A-BCD的每条棱染色，要求每条棱只染一
色，且相邻边不同色，问共有多少种不同染色方法,
解:四面体A-BCD中共有三组对棱，AB与CD，AD与BC，BD与AC，
共四种颜色，故必有两组对棱组内同色，但组与组之间不同色，
24所以NCA,,7234
小结:计数原理是排列组合的基础，也是染色问题研究的基础，通过对四色染色问题的简单探讨，我们发现染色问题中分类讨论思想，转化与化归思想等数学思想得到充分应用，所以染色问题是培养学生逻辑思维能力，创新思维能力，空间想象能力和转化能力的很好的平台。
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