素数的几何解释
数学概念的几何解释,常常赋予概念另一种透视和视觉上的意义.根据定义,素数是大于1的数,它只有1和自身作为因子.让我们看看,怎样从几何上去满足这个定义.
观察12个方块:
现在重新排列它们,使之形成不同形状的矩形.
正像我们看到的,每个矩形都图示了12的因子——1×12;2×6;3×4——其因子为:1,12,2,6,3,4.
现在我们看看,如果一个数是素数,例如5,会出现什么情况?——它只可能有一个矩形!即如下图所示.这表明5只有因子1和5.
海伦公式的几何意义
初等数学 2009-12-28 11:38:54 阅读27 评论0 字号:大中小
在有一次遇到海伦公式时,不禁想起以前的困惑,这海伦公式的几何意义到底是什么。因为我们知道每一个公式都有对应的几何图形,只不过有些图形表达起来不是很容易了,尤其是高阶的方程。但是,海伦公式是一个面积公式,无论如何都应该可以说得清楚。
于是在网上查了半天,终于知道大数学家欧拉是最早把这个事情表达清楚的。可是,我们的教科
书
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却一直没有交代这件事,即使中文网站上也都是用勾股定理或者余弦定理来推导的,没有什么趣味。于是觉得自己不妨把这个事情写出来,也好给有同样困惑的网友一个参考。特别说明,这些资料综合了几个来源。
欧拉是从三角形内切圆的半径入手的。
如上图所示假定做一个内切圆,那么,每个切点到三角形顶点的距离分别就是x,y,z。设内切圆的半径是r,那么一个三角形就可以分为六个三角形,或者三对三角形,三角形的面积就是r*(x+y+z)。如果三角形三条边上分别是a,b,c。那么很容易得到xyz和abc之间的关系。就是海伦公式里面的s-a,s-b,s-c。所以问
题
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就变成求内切圆半径r。因为内切圆的圆心是在角平分线上,所以,我们一定可以把三个三角形合成一个直角(如上图右所示)而把这些三角形按比例放大,一定可以得到一个矩形PQST。下面,就来推导一下:
怎么样,够漂亮的吧。请注意这里没有用到勾股定理,只是用了相似三角形的性质。所以,国外的学者很明确地说明这两个公式可以相互推导。
为了更明确地表达xyz的几何意义,请看下图:
好了,一切尽在不言中。
海伦公式的几何证明2
初等数学 2009-12-30 13:29:40 阅读10 评论0 字号:大中小
在看到一本美国人写的历史上各位数学天才的书后,才知道原来海伦前辈自己也是用几何方法证明内切圆半径公式的。所以写欧拉的人有些文过饰非的味道,当然欧拉的确伟大的不得了,但海伦前辈的功绩也不能抹杀。
上图左就是据说海伦用来证明他的公式的。不过这个证明过程网上到处都是,所以这里就不再重复推导了。在看到介绍海伦公式的文章时,还有另外一个几何方法,就是右图。但没有给出过程,让读者自己推。我觉得这也是一个很好的思想,所以决定把它写出来。见下图。
怎么样,也够简单的吧!不过我自己还是喜欢最前面的方法。