数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式的常用求法 构造法求数列通项公式 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 =A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出 的通项公式，再根据 与 ，从而求出 的通项公式。 例1 在数列 中， = ， （ ），求数列 通项公式. 解析：由 得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以an+1 an得， ， 设bn= ，则bn+1- bn= ，根据等差数列的定义知， 数列｛bn｝是首项b1=2，公差d= 的等差数列， 根据等差数列的通项公式得bn=2＋ （n-1）= n＋ ∴数列通项公式为an= 例2 在数列｛an｝中，Sn是其前n项和，且Sn≠0，a1=1，an= (n≥2)，求Sn与an。 解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1    代入an= 得，Sn-Sn-1= ，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1？两边除以SnSn-1得， - =2，∴｛ ｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴ =1+2（n-1）=2n-1,  ∴ Sn= (n≥2),n=1也适合，∴Sn= (n≥1) 当n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =- ，n=1不满足此式， ∴an={ 二、构造等比数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出 的通项公式，再根据 与 ，从而求出 的通项公式。 例3在数列｛an｝中，a1=2，an=an-12(n≥2)，求数列｛an｝通项公式。 解析：∵ a1=2，an=an-12(n≥2)＞0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1 ∴ =2，  根据等比数列的定义知，数列｛lg an｝是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2= ∴数列通项公式为an= 评析：本例通过两边取对数，变形成 形式，构造等比数列 ，先求出 的通项公式，从而求出 的通项公式。 例4在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛an｝通项公式。 解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得{   ∴{ ∴an+1+（n+1）+ =4（an+n+ ），根据等比数列的定义知， 数列｛an+n+ ｝是首项为 ，公比为q=3的等比数列，∴an+n+ = ×3n-1 ∴数列通项公式为an= ×3n-1-n- 例5  在数列｛an｝中，a1=1 ，an+1an=4n ，求数列｛an｝通项公式。 解析：∵an+1an=4n    ∴anan-1=4 n-1      两式相除得 =4  ， ∴a1，a3，a5……与a 2，a 4 ，a 6 ……是首相分别为a1，a 2 ，公比都是4的等比数列， 又∵a1=1，an+1an=4n ，∴a2=4 ∴an={ 三、等差等比混合构造法 数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出 例6．设数列 满足 求 解：原条件变形为 两边同乘以 得 . ∵ ∴ 四、辅助数列法 有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。 例7.在数列 中， ， ， ，求 。 解析：在 两边减去 ，得 ∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列， ∴ ，由累加法得 = = … = = = 练习 1、在数列｛an｝中，a1=1，an+1=3an+2n（n∈N*），求数列｛an｝通项公式。 解：由an+1=3an+2n（n∈N*）得，an+1+2n+1=3（an+2n）（n∈N*）， 设bn= an+2n 则bn+1=3bn，∴ =3，根据等比数列的定义知， 数列｛bn｝是首相b1=3，公比为q=3的等比数列， 根据等比数列的通项公式得bn=3n，即an+2n=3n， ∴数列通项公式为an=3n-2n 注意：2n+1-2n=2n 2、在数列 中， ， ，求数列 的通项公式。 解：、由 得， ，根据等差数列的定义知，数列 是首项为3，公差为3的等差数列，所以 ，所以 3、已知数列 满足 ， ，求 解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即 又 ， 4. 数列{a }满足a =1，a = a +1（n≥2），求数列{a }的通项公式。 解：由a = a +1（n≥2）得a －2= （a －2），而a －2=1－2=－1， ∴数列{ a －2}是以 为公比，－1为首项的等比数列 ∴a －2=－（ ）       ∴a =2－（ ） 5. 数列 中， ，求数列 的通项公式。 解：由 得 设 比较系数得 ，解得 或 若取 ，则有 ∴ 是以 为公比，以 为首项的等比数列 ∴ 由逐差法可得 = = = 6. 设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，对于任意正整数n，都有等式： 成立，求 的通项an. 解： ， ∴ ，∵ ，∴ . 即 是以2为公差的等差数列，且 . ∴ 7. 设 是首项为1的正项数列，且 ，（n∈N*），求数列的通项公式an. 解：由题设得 . ∵ ， ，∴ . ∴ 8. 数列 中， ，前n项的和 ，求 . 解： ， ∴ ∴ 9.设正项数列 满足 ， （n≥2）.求数列 的通项公式. 解：两边取对数得： ， ，设 ， 则 是以2为公比的等比数列， . ， ， ， ∴ 总结 而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为： ； （1）通过分解常数，可转化为特殊数列{a +k}的形式求解。一般地，形如a =p a +q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a +k=p（a +k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k= ，从而得等比数列{a +k}。 （2）通过分解系数，可转化为特殊数列 的形式求解。这种方法适用于 型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列 ：设 ，比较系数得 ，可解得 。 3、构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式. （1）构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. （2）构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. （3）构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简 （4）构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 补充一般方法： 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列 是递增数列，前n项和为 ，且 成等比数列， ．求数列 的通项公式 解：设数列 公差为 ∵ 成等比数列，∴ ， 即 ，得 ∵ ，∴ ……………………① ∵ ∴ …………② 由①②得： ， ∴ 二、累加法 求形如an-an-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累加求得通项。 例2．已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有 ，求 ． 解：由已知得 ， ， ……， ， ， 以上式子累加，利用 得 - = = ， 三、累乘法 对形如 的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累乘求得通项。 例3．已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 ，求通项公式 ． 解：由 得 两式相减得： ， ， 将上面n—1个等式相乘得： 四、公式法 若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式 求解。 例4．已知数列 的前 项和 满足 ．求数列 的通项公式； 解：由 当 时，有 ……， 经验证 也满足上式，所以 点评：利用公式 求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并． 五、“归纳—猜想—证明”法 直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法． 例5．若数列 满足： 计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论． 解：∵a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°， a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21， a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22； 猜想an=2n－1+（n－1）×3×2n－2=2n－2（3n－1）； 用数学归纳法证明： 1°当n=1时，a1=2－1×=1，结论正确； 2°假设n=k时，ak=2k－2（3k－1）正确， ∴当n=k+1时， = 结论正确； 由1°、2°知对n∈N*有 点评：利用“归纳—猜想—证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽弃；用数学归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设． 继续阅读