微分的逆运算-不定积分

微分的逆运算-不定积分 第13讲 微分的逆运算-不定积分 一、计划学时:2节 二、 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 三、要求 四、重点 五、难点 六、教学过程: 第二节 微分的逆运算-不定积分 教学大纲: 一、计划学时:6 二、主要内容: 不定积分的概念与性质，不定积分的求法，主要是换元积分法和分部积分法，几种特殊类型函数 的不定积分。 三、目的要求: 1、掌握原函数与不定积分的概念。 2、熟练掌握换元积分法和分部积分法。 3、会求有理式，简单无理式与三角有理式的不定积分。 四、课时安排: ?1、不定积分的概念与性质 2课时 ?2、换元积分法 与分部积分法 2课时 ?3、几种特殊类型函数的积分 2课时 五、重点、难点、特点的说明: 本节重点、难点是不定积分求法。要突出不定积分，原函数概念的理解;突出换元、分部两大方法的掌握与训练;减弱特殊类型函数积分法的练习。 教学过程: (一) 不定积分概念与性质 一、不定积分的概念 1.预备知识——原函数 f(x)F(x) 定义1( P. 155 定义1 ) 设函数在区间I上有定义，若存在可微函数, 使得 ,F(x),f(x)，x,I F(x)f(x)则称为在区间I上的一个原函数. ,(sinx),cosx 例如，因为 ， 所以sin x是cos x在(-?, +?)上的一个原函数， 11, 因为 ，所以ln,x,是 在(0, +?)上的一个原函数， (lnx), xx 2 33x,x，1 都是3x在(-?, +?)上的原函数。 每提出一个新的数学概念后，自然都要问三个基本的问题:存在性,唯一性,如何求,这里即问: 满足什么条件的函数存在原函数,若存在原函数是否唯一,知道存在如何求出,本章余下的内容就是解决这三个问题. 先给出存在性的一个充分条件: f(x)定理1 若函数在区间I上连续，则在I上存在原函数. 即区间上的连续函数必有原函数。 这个结论实际上就是第三节定理2(P.157)所指出的事实, 其证明用到定积分的概念， 将在下学期的定积分相关内容中解决. 注 因为初等函数在其定义区间内部都是连续的，所以初等函数在其定义区间内都存在原函数. 关于唯一性我们有下述结论: 定理2(P.157定理3) 设函数在区间I上有一个原函数，则 f(x)F(x) (1) 若对于任意常数C，函数+C也是的原函数; F(x)f(x) (2) 在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数. f(x) 证 (1) 因为 ,, , [F(x)，c],F(x),f(x),x,I (2) 设和是在I上任意两个原函数，则有 G(x)F(x)f(x) ,,,, ， [F(x),G(x)],F(x)，G(x),f(x),f(x),0 F(x),G(x)由拉格朗日中值定理的推论知，是常值函数，即存在常数C，使得 F(x),G(x). ,Cx,I f(x)定理2表明: 只要存在原函数，就存在无穷多个;只要知道的一个原函数f(x) ，就知道其所有的原函数，其中C为任意常数, 称为原函数的一般表达式. F(x)F(x)，C 只剩下最后一个问题: 如何求函数的原函数,计算问题是极为重要地，微分的成功也正在于提供了一套完整、简洁可行的计算方法. 为了解决原函数的求法问题，我们先引入一个概念: 2、不定积分的概念 定义2 函数在区间I上的全体原函数叫做在区间I上的不定积分，记为 f(x)f(x) f(x)dx . , f(x)dx,F(x)，C显然，，其中是在区间上的一个原函数，C是常数. F(x)f(x), ,上述记号中的符号 f(x)dx称为积分号，称为被积函数，称为积分表达式，xf(x) 称为积分变量，C称为积分常数 . f(x)注 不定积分与原函数的关系是整体与个体之间的关系， 求的不定积分只要求f(x)得的一个原函数再加上一个任意常数C即可. 例如 F(x) 123. cosxdx,sinx，C，dx,lnx，C，3xdx,x，C,,,x 例1 已知某曲线上任意一点P(x,y)处的切线斜率为该点横坐标的2倍，且该曲线过 点(1,2)， 求此曲线方程。 ,f(x),2xy,f(x)解 设所求曲线的方程为， 由题意可知， 2所以 ， f(x),2xdx,x，C, f(1),2又 ，得 2 = 1+C , C = 1, 2y,x，1所以所求曲线为 . y,(x)从几何的角度说，我们称是函数的一条 y,f(x)F f(x)dx积分曲线，而不定积分则表示积分曲线族，其方程为 , y,F(x)，C, 图4-1 其中C为任意常数.由于 ,[F(x)，C],f(x)， 所以积分曲线族中横坐标相同点处的切线都是平行的(图4-1). 二、不定积分的性质 不定积分有下列基本性质: ,,,f(x)dx,f(x)(1) ， 或 ; ,,df(x)dx,f(x)dx,, ,(2) ， 或 . F(x)dx,F(x)，CdF(x)dx,F(x)，C,, 由此可见, 求不定积分与求导运算在相差一个常数的意义下互为逆运算. 类似于除法的计算是利用其逆运算乘法运算进行的, 基于求不定积分与求导运算逆运算的关系，不定积分的各种计算方法都源于求导的相应方法. 首先我们可以根据已知的求导公式，列出一些基本积分公式;还可以根据求导运算的线性性给出积分的线性性;根据复合函数求导法则导出积分的变量代换;根据乘积求导法则导出分部积分法. 这样就可以对较为广泛的函数类-和差积商函数，求得其不定积分. (二) 函数的不定积分的计算 一、基本函数的不定积分公式 (P.164) 由基本求导公式相应地可得下列基本的积分公式: 1,，1, (1) (k为常数); (2) ; kdx,kx，Cxdx,x，C,,1,， 1xx(3) ; (4) ; dx,lnx，Cedx,e，C,,x xax(5) ; aa,，(,0,,1)adxC,lna (6) ; (7) ; cosxdx,sinx，Csinxdx,,cosx，C,, 22(8) ; (9) ; secxdx,tanx，Ccscxdx,,cotx，C,, (10) ; (11) ; cscxcotxdxcscxsecxtanxdx,secx，C,,，C,, 11dx,arcsinx，C(12) ; (13) ; ,dx,arctanx，C,221，x,x1 xdxx，C(14) ; (15) ; shxdx,chx，Cch,sh,, 由于其他函数的不定积分经运算变形后，可将其归结为上述基本的不定积分. 作为积分运算的基础，上面的基本积分公式必须掌握. 其中有6个基本初等函数的不定积分公式。用基本的积分公式求积分的方法叫做不定积分的基本公式法。 二、和差积商函数的不定积分(法则、公式) 1.和的不定积分(法则)=不定积分线性运算性质 下面由微分的线性性给出不定积分的线性性: [af(x)，bg(x)]dx,af(x)dx，bg(x)dx性质 ， ,,, 其中a、b为不同时为零的常数. af(x)dx，bg(x)dx证 只需证 是 a f(x)+bg (x) 带有任意常数项的的原函数. ,, af(x)dx，bg(x)dx首先，已带有任意常数项; 又因为 ,, ,,,. [af(x)dx，bg(x)dx],a[f(x)dx]，b[g(x)dx],af(x)，bg(x),,,, 所以性质成立. ? 即 线性运算的不定积分等于不定积分的线性运算, 称为不定积分的线性性. 利用积分的线性运算性质，可计算一些比较简单函数的不定积分，例如 2x例1 求 . (,2)dx,xxx13 ,2x,22解 原式 . 224,xdx,dx,,x,，C,,ln2 1x12例2 求 . ,x，，，dx(2sin3),3x2x,x1,2xx1x31,3,dxdxdxx,2sinxdx，2，3，dx,,，2cosx，2lnx，，arcsinx，C解 原,,,,,x2ln32x1,式 . 2x，2例3 求 . dx,x 5131,22222,解 原式. xdx，2xdx,x，4x，C,,5 2例4 求 . tanxdx, 2,(secx,1)dx,tanx,x，C解 原式. , x2例5 求 . sindx,211,(1,cosx)dx,(x,sinx)，C解 原式 . ,22dx 求 . 例6,22sincosxx22，cosxsinx11,dx,dxdx解 原式 . ，,tanx,cotx，C,,,2222sinxcosxcosxsinx 4x例7 求 . dx,2x1，413x,1，112,dx,(x,1，)dx,x,x，arctanx，C解 原式 . ,,22xx31，1， 注 由上可见，利用代数或三角的恒等变形以及不定积分的线性运算性质，可将一些函数转化为基本积分表中的积分形式的线性运算，从而得到它们的不定积分.