二面角复习课

第 1 页 共 5 页 二面角复习课 一、教学目标:1.使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念; 2.使学生掌握求二面角平面角的基本方法,不断提高分析问题和解决问题的能力. 二、重点和难点:使学生能够作出二面角的平面角;根据题目的条件,作出二面角的平面角. 三、教学过程 1.复习二面角的平面角的定义. 空间图形的位置关系是立体几何的重要内容.解决立体几何问题的关键在于做好:定性分析,定位作图,定量计算,其中定性是定位、定量的基础,而定量则是定位,定性的深化.在面面关系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量归结为平面上角的度量,一般说来,对其平面角的定位是问题解决的关键一步.可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱,甚至错误地定位,使问题的解决徒劳无益. 看右图. 如图1:α,β是由l 出发的两个半平面,O 是l 上任意一点,OC α,且OC ⊥l ;OD β,且OD ⊥l .这就是二面角的平面角 的环境背景,即∠COD 是二面角α-l-β的平面角.从中我们可以得 到下列特征: (1)过棱上任意一点,其平面角是唯一的; (2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直; 另外,如果在OC 上任取一点A ,作AB ⊥OD ,垂足为B ,那么由特征(2)可知AB ⊥β.突出l ,OC ,OD ,AB ,这便是另一特征. (3)体现出一完整的三垂线定理(或逆定理)的条件背景. 特征(1) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,其平面角的定位可先在棱上取一“点”.耐人寻味的是这一点可以随便取,但又总是不随便取定的,它必须与问题的条件背景互相沟通,给计算提供方便. 例1 已知:如图2,四面体V-ABC 中,VA=VB=VC=a ,AB=BC=CA=b ,VH ⊥面ABC ,垂足为H ,求侧面与底面所成的角的大小. 分析:由已知条件可知,顶点V 在底面ABC 上的射影H 是底面的中心,所以连结CH 交AB 于O ,且OC ⊥AB ,由三垂线定理可知, VO ⊥AB ,则∠VOC 为侧面与底面所成二 面角的平面角.(图2) 正因为此四面体的特性,解决此问题, 可以取AB 的中点O 为其平面角的顶点, 而且 使得题设背影突出在面VOC上,给进一步定量创造了得天独厚的条件. 特征(2)指出,如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ,那么l必垂直γ与α,β的交线,而交线所成的角就是α-l-β的平面角.(如图3) 由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”. 例2 矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线BD把△ABD折起,使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上,求二面角A-BD-C 的大小的余弦值. 这是一道由平面图形折叠成立 体图形的问题,解决问题的关键在于 搞清折叠前后的“变”与“不变”. 如果在平面图形中过A作AE⊥ BD交BD于O、交BC于E,则折叠后 OA,OE与BD的垂直关系不变.但OA 与OE此时变成相交两线并确定一平 面,此平面必与棱垂直. 由特征(2)可知,面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角,即为所求二面角的平面角. 另外,A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上,又题设射影落在BC上,所以E点就是A′,这样的定位给下面的定量提供了可能. 在Rt△AA′O中,∠AA′O=90°, 通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算,特征(2)从另一角度告诉我们:要确定二面角的平面角,我们可以把构成二面角的两个半平面“摆 平”,然后,在棱上选取一适当的垂线段,即可确定其平面角.“平 面图形”与“立体图形”相映生辉,不仅便于定性、定位,更 利于定量. 特征(3)显示,如果二面角α-l-β的两个半平面之一, 存在垂线段AB,那么过垂足B作l的垂线交l于O,连结AO, 由三垂线定理可知OA⊥l;或者由A作l的垂线交l于O,连结OB,由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l.此时,∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.(如图6),由此可见,二面角的平面角的定位可以找“垂线段”. 课堂练习 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E为BC的中点,求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值. 练习1的条件背景表明,面B1D1E 与面BB1C1C构成两个二面角,由特征 (2)可知,这两个二面角的大小必定 互补. 为创造一完整的三垂线定理的环 境背景,线段C1D1会让我们眼睛一亮, 我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交 B1E于O,然后连结OD1(或OC1)即得 面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面 角∠C1OD1, 2.将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合,则吻合后的几何体呈现几个面? 分析:这道题,学生答“7个面”的占99.9%,少数应服从多数吗? 从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色,它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”.事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接踵而来.掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要. 本题如果能融合三个特征对思维的监控,可有效地克服、抑制思维的消极作用,培养思维的广阔性和批判性. 如图9,过两个几何体的高线VP,VQ的垂足P,Q 分别作BC的垂线,则垂足重合于O,且O为BC的中点.OP 延长过A,OQ延长交ED于R,考虑到三垂线定理的环境 背影,∠AOR为二面角A-BC-R的平面角,结合特征(1), (2),可得VAOR为平行四边形,VA∥BE,所以V,A, B,E共面.同理V,A,C,D共面.所以这道题的正确 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 应该是5个面. 例3 如图10,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F在AA1上,且A1F∶FA=1∶2,求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值. 分析:在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中,没有出现二面角的棱,我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点,则这两个公共点的连线即为二面角的棱,最后借助这条棱作出二面角的平面角. 略解:如图10.在面BB1CC1内,作EH⊥B1C1于H,连结HA1,显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1. 延长EF,HA1交于G,过G,B1的直线为所求二面角的棱. 在平面A1B1C1D1内,作HK⊥GB1于K,连EK, 则∠HKE为所求二面角的平面角. 在平面A1B1C1D1内,作B1L⊥GH于L,利用Rt△GLB1∽Rt△GKH,可求得KH. 又在Rt△EKH中,设EH=a,容易得到:所求二面角大小的正切值 注:我们也可以不直接作出二面角的平面角,而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小.我们可以使用平移法.由两平面平行的性质可知,若两平行平面同时与第三个平面相交,那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时,可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置,以便等价地作出该二面角的平面角. 略解:过F作A′B′的平行线交BB′于G,过G作B′C′的平行线交B′E于H,连FH. 显见平面FGH∥平面A′B′C′D′.则二面角B′-FH-G的 平面角度数等于所求二面角的度数.过G作GM⊥HF,垂足 为M,连B′M,由三垂线定理知B′M⊥HF. 所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角,其大小等于所 求二面角平面角的大小. 例4 已知:如图12,P是正方形ABCD所在平面外一点, PA=PB=PC=PD=a,AB=a. 求:平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值. 分析:为了找到二面角及其平面角,必须依据题目的条件, 找出两个平面的交线. 解:因为 AB∥CD,CD 平面CPD,AB 平面CPD. 所以 AB∥平面CPD.又 P∈平面APB,且P∈平面CPD, 因此平面APB∩平面CPD=l,且P∈l. 所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角. 因为 AB∥平面CPD,AB 平面APB,平面CPD∩平面APB=l, 所以 AB∥l.过P作PE⊥AB,PE⊥CD.因为 l∥AB∥CD,因此 PE⊥l,PF⊥l, 所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角. 因为 PE是正三角形APB的一条高线,且AB=a, 因为 E,F分别是AB,CD的中点,所以 EF=BC=a. 在△EFP中, 小结:二面角及其平面角的正确而合理的定位,要在正确理解其定义的基础上,掌握其基本特征,并灵活运用它们考察问题的背景.我们已经看到,定位是为了定量,求角的大小往往要化归到一个三角形中去解,因此寻找“垂线段”,把问题化归是十分重要的. 四、作业: 1.120°二面角α-l-β内有一点P,若P到两个面α,β的距离分别为3和1,求P 到l的距离. 2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,求以BD1为棱,B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数.