字母表示数

学科：奥数 年级：初一 版本：不分版本 期数：347 本周教学内容：字母表示数     《经验谈》 字母和数字本身就是密不可分的，它们在数学中的作用可谓“旗鼓相当”。高中的数学中用字母代替来解题是很常见的，一道题从头到尾全部是字母的现象是很多的，可见字母表示数在今后的学习中应用的广泛性，用字母代替数字确实是学习中要过的一个坎，但当你过了这个坎，你会发现前面的路会很阔很平，认真读完这篇教程后，你会受益非浅的。 【内容综述】 在代数中，常用英文字母或希腊字母来代替数，这是数学的一大进步，也是从小学过渡到中学的一个门坎，代数 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了算术中的一般规律，因此方法上具有普遍性，英国伟大的科学家牛顿写的代数教科书，就叫作《普遍算术》，牛顿在这本书里写了一段话：“要解答一个问题，如果里面包含着数量间的抽象关系，只要把题目从日常的语言译成代数的语言就行了。”为此，必须掌握“日常的语言到代数的语言”的翻译技巧。 【要点讲解】 1、 巧列代数式： 所谓巧列代数式，就是要恰当地用字母代替数，准确地将日常语言翻译成字母的运算式 ★例1. （1）一块木板被切成m块边长为x 厘米的正方形与n块边长为y厘米的正方形后，无任何多余的边料，问木板面积是多少？ （2）一幢大楼取暖需m吨煤，现已从中用去n吨，为了使余下的还能用t天，今后必须每天用多少吨煤？ （3）某厂预定在一定期限内生产a套工具，因此计划每天生产b套，由于工人们突破定额，每天比原计划多生产m套，结果该厂比原计划提前几天完成任务？ （4）已知容器盛满浓度为a%的盐水100克，倒出x克后，又用水加满，问后来盐水浓度为百分之几？ （5）某人上班时步行，回家时乘车，路上共用a小时，如果往返都乘车，则共需b小时，那么往返都步行需要多少小时？ 解： （1）     　   （2） （3）         （4） （5） 说明 在列代数式时同学们应注意以下几点： （1）在同一问题中，不同的对象或不同的数量，必须用不同的字母来表示。 （2）字母与字母相乘时，可省去乘号。 （3）代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时，必须把带分数化为假分数。 （4）在所列代数式中，若有相除关系，要写成分数形式。 （5）列代数式时应注意单位。单位名称在代数式后面写出来，如结果为加减关系，必须用括号将式子括起来，再写单位名称。 ★★★例2.一个笼子里放了若干只鸡和兔子，数了一下，它们共有m个头，n只脚，试问鸡和兔子各有多少只？ 解法1. 设想m只都是鸡，就有2m只脚，这比已知的总脚数n少了n-2m, 把一只兔算作鸡要少（4-2）=2只脚，则 兔数= ， 而 ， 因鸡数和兔数是非负数，即 所以m和n必须满足的条件是 ， 解法2. 设想m只都是兔子，就有4m只脚，这比已知的总脚步数n多了4m-n , 把一只鸡算作兔子要多（4-2）=2只脚，则 ， 而 ， 同解法1. 知m和n必须满足条件 。 说明 这道著名的“鸡兔同笼”问题还有一个著名的解法（见波利亚《数学的发现》），设想每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其两条后腿站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即 条腿，在 这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则算了两次。从 这个数减去所有的头数m，就得兔子的头数 。 从而 。 2．求代数式的值 用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程。当代数式较简单时，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值。 。 ★★★例3已知 , 求 的值。 解法1 由 得 ，代入所 求代数式化简 说明 这里用代入消元法消去a来化简求值，当然也可以消去b来化简求值。 解法2 因 ，所以 原式 说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的。 解法 3 因为 ，所以 原式 = 说明 这种解法巧妙地利用了 ，并将3ab化为 ，从而凑成了 解法 4. 因为 ，所以 ， 即 所以 即 说明 这种解法是由 ，演绎推理出所求代数式的值。 解法 5 明 这种解法是添项，凑出 ，然后化简求值。 ★★★例4. 某商店有幸福金笔和英雄金笔共143支，幸福金笔每支6元，英雄金笔每支3.78元。某学校购了该商店的全部英雄金笔和部分幸福金笔，经过核算后，发现应付款的总数与幸福金笔的总数无关，问购买的幸福金笔是该商店幸福金笔总数的百分之几？应付款的总数是多少元？ 解设购买幸福金笔占幸福金笔总数的百分比为x ,幸福金笔总数为m支，付款总数为T元，则由题意得 ∵ T与m 无关， ∴ ， ， 这时 T=540.54（元）。 说明 解此题的关键应抓住“付款的总数与幸福金笔的总数无关”这句话。 §3. 用字母表示常数解题 在某些数字问题中，如果把其中的特殊常数用字母表示，是一种非常有效的解题技巧。 ★★★例5. 若 ， ，试比较A、B的大小。 解： 设 ， ，则 ， ， ∴ ∵ 即 ，而 ， ∴ ， 故 ，即 。 ★★★★例6 证明 是两个连续自然数的积。 思路可先试算12，1122，111222，…，寻找规律。 证明 含 ，则 ∴ N是两个连续自然数的乘积。 说明 从特例分析找出规律，作出猜想，再给出证明，是解探索型问题的常用思维模式。   本周强化练习：       A 级 ★1. a , b两数的乘积与b的平均数等于 ，则用b表示a的式子是（ ）。 （A）     　 　        （B） （C）     　 　        （D） l ★2. 浓度为a%的盐水m千克与浓度为b%的盐水n千克混合后的溶液浓度是（  ） （A）     　 　            （B） （C）     　             （D） ★★3. 图中表示阴影部分面积的代数式是（ ）。 (A) ad+bc      　        (B) c(b-d)+d(a-c) (C) ad+c(b-d)    　            (D) ab-cd ★★★4. 一件工程甲队单独干需m天完成，乙队单独干需n天完成，甲、乙两队合干一天可完成工程的____________。 ★★★5. 两个圆柱形的水桶，甲桶的高等于乙桶高的2倍，而乙桶的直径等于甲桶直径的2倍。已知甲桶的容积为A，乙桶的容积为B，试比较A与B的大小。 B　级 ★★6. 甲、乙两人骑自行车自相距k千米的两地同时出发，若同方向而行，r小时后快者可追上慢者；若相向而行，t小时后两者相遇，则快者与慢才速度之比为（ ）。 （A）     　（B）   　   （C）       （D） ★★★7. 若规定运算 ，则 __________。 ★★★8. 若a , b , c , d 都是整数，其中 , 并且满足 ， ， ， ，试求代数式 的最大值。 ★★★★★9. 甲、乙两人在圆形跑道上从同一点A并且同时出发按相反方向跑步，他们的速度分别是每秒5米和7米，到他们第一次在A点再相遇时跑步结束，问他们从开始开结束之间相遇多少次？ 【参考答案】 A 1．（B） 2．（D） 提示 混合后的纯盐为 千克，混合后的溶液盐水为 千克。 3．（C） 提示把所给图形分为两个矩形，还可以从选择题的特点来考虑：当 时，结论应为 或 ，从而排除（A），（B），（D）。这里用了特殊化的技巧。 4． 。 5．设甲桶的高为 ，甲桶的直径为 ，从而乙桶的高为 ，乙桶的直径为 ，则 ， ，因此 。 B 级 6．（D） 提示：设快者速度为 ，慢者速度为 ，则 ，由此得 。 7． 提示： 。 8．由 知 也是整数，将4个等式相加，得 ，即 。 ∵ ， ∴ ， ∴ 。 当 ， 时，代数式 的值为 。 9．两人从A点出发后，到第一次相遇（不在A点）时，两人合计跑了一圈，这时甲跑了 圈，乙跑了 圈。所以，当他们第 次相遇时，甲跑了 圈，乙跑了 圈，而他们在A点相遇时，两人跑过的圈数都是整数，使 和 都为整数的 的最小值为12。故从开始到结束之间他们共相遇了11次。