第二章 参数估计

第二章  参数估计 一、填空题 1、总体 的分布函数为 ，其中 为未知参数，则对 常用的点估计方法有              ，                。 2、设总体 的概率密度为 而 是来自总体 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为 3、设 是来自总体 的简单随机样本，且 ，记 ， ，      则哪个是 的有偏估计          ，哪个是 的较有效估计    。 4、随机变量 的分布函数 中未知参数 的有效估计量和极大似然估计量的关系为                                                      。 5、随机变量 的分布函数 中未知参数 的有效估计量和最优无偏估计量的关系为                                                      。 6、称统计量 为可估函数 的（弱）一致估计量是指                                                              。 7、判断对错：设总体 ，且 与 都未知，设 是来自该总体的一个样本，设用矩法求得 的估计量为 、用极大似然法求得 的估计量为 ，则 = 。    _________________ 8、 是总体未知参数 的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解： ． 9、已知 是来自总体 的简单随机样本， 。令 ，则当             时， 为总体均值 的无偏估计。 10、 设总体 ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为 则参数 的矩估计为        。 11、 设 与 都是总体未知参数 的估计，且 比 有效，则 与 的期望与方差满足_______ . 解： ． 12、设 和 均是未知参数 的无偏估计量，且 ，则其中的统计量    更有效。 13、在参数的区间估计 中，当样本容量 固定时，精度 提高时，置信度                     。 14、设 是来自总体 的样本，则 的置信度为0.95的置信区间为                              。 15、设 是来自总体 的样本，其中 未知，则 的置信度为0.95的置信区间为                              。 16、设 是来自总体 的样本，其中 未知，则 的置信度为0.95的置信区间为                              。 17、设 服从参数为 的指数分布， 是来自总体 的样本， 为其样本均值，则 服从        分布。 18、设总体服从正态分布 ，且 未知，设 为来自该总体的一个样本，记 ，则 的置信水平为 的置信区间公式是___________________________________；若已知 ，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量 至少要取多大_______。 18、为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为            。 19、设总体 未知参数为 ， 为样本均值, 若 近似服从 ，则 的一个双侧近似1- 置信区间为            。 20、设总体 为样本，则θ的矩估计量为          ，极大似然估计量为            。 21、设总体 为样本， 、 未知，则 的置信度为1－ 的置信区间为                              。 22、设总体X在区间 上服从均匀分布，则 的矩估计     ；     。 23、设总体 ，若 和 均未知， 为样本容量，总体均值 的置信水平为 的置信区间为 ，则 的值为________； 24、在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈    愈好，而置信区间的长度愈    愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是            。 二、简述题 1、描述矩估计法的原理。 2、描述极大似然估计法的原理。 3、极大似然估计法的一般步骤是什么？ 4、评价估计量好坏的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 有哪几个？ 5、什么是无偏估计？ 6、什么是较有效？ 7、什么叫有效估计量？ 8、判断可估函数 是有效估计量的充要条件是什么？ 9、什么是最优无偏估计量？ 10、什么是一致最小方差无偏估计量？ 11、有效估计量和最优无偏估计量的关系是什么？ 12、什么叫均方误差最小估计量？ 13、叙述一致估计量的概念。 14、试述评价一个置信区间好坏的标准。 15、描述区间估计中样本容量、精度、置信度的关系。 三、单选题 1、设总体未知参数 的估计量 满足 ,则 一定是 的(  ) A 极大似然估计    B  矩估计  C 无偏估计        D 有效估计 2、设总体未知参数 的估计量 满足 ,则 一定是 的(  ) A 极大似然估计    B  矩估计    C 有偏估计        D 有效估计 3、设 为来自均值为 的总体的简单随机样本，则 （    ） A．是 的有效估计量        B．是 的一致估计量 C．是 的无偏估计量    D．不是 的估计量 4、估计量的有效性是指(      ) A.估计量的抽样方差比较小    B.估计量的抽样方差比较大 C.估计量的置信区间比较宽    D.估计量的置信区间比较窄 5、若置信水平保持不变，当增大样本容量时，置信区间（  　） A．将变宽  B．将变窄  C．保持不变  D．宽窄无法确定 6、一个95%的置信区间是指（    ） A．总体参数有95%的概率落在这一区间内 B．总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数 D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数 7、置信度 表示区间估计的（    ） A．精确性    B．显著性  C．可靠性    D．准确性 8、抽取一个容量为100的随机样本，其均值为 =81，标准差s =12。总体均值μ的99%的置信区间为（  ）其中： 。 A  81 1.97  B  81 2.35    C  81 3.09  D  81 3.52 四、计算题 1、设 是来自总体X的样本X的密度函数为 试求 的极大似然估计量。 2、设总体X服从参数为 的泊松分布，求未知参数 的矩估计量。 3、 设总体X服从参数为 的泊松分布，求未知参数 的有效估计量。 4、设总体 的概率密度为 是未知参数, 是来自 的样本，求 的矩估计量 5、设 是取自总体X的一个样本，X的密度函数为 其中 未知， ＞0。 试求 的矩估计和极大似然估计。 6、设 是取自总体X的一个样本，X的密度函数为 其中 未知， 试求 的矩估计 。 7、设总体 的概率密度为 是未知参数, 是来自 的样本， （1）求 的矩估计量 ；（2）求 的最大似然估计量 ；（3） 和 是不是 的无偏估计量（说明原因）？ 8、设总体 ，且 与 都未知，设 为来自总体的一个样本，设 ， 。求 与 的极大似然估计量 9、设总体 的概率分布为 0 1 2 2 1-3         其中 是未知参数,利用总体 的如下样本值 0，1，1，0，2，0，2，1，1，2 （1）求 的矩估计值；（2）求 的最大似然估计值。 10、设随机变量 的分布函数为 其中参数 . 设 为来自总体 的简单随机样本, (1) 当 时, 求未知参数 的矩估计量; (2) 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量; (3) 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量. 11、 设 为来自总体N(0, )的简单随机样本， 为样本均值，记 求：（1） 的方差 ； （2） 与 的协方差 （3）若 是 的无偏估计量，求常数c. 12、设总体 的概率密度为 其中 是未知参数 ， 为来自总体 的简单随机样本，记 为样本值 中小于1的个数. （1） 求 的矩估计；（2）求 的最大似然估计 13、设总体 的概率密度为 为来自总体 的简单随机样本， 是样本均值. （1）求参数 的矩估计量 ；（2）判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由. 解：（1） ， 令 ，代入上式得到 的矩估计量为 ． （2） ， 因为 ，所以 ．故 不是 的无偏估计量． 14、设总体 服从 上的均匀分布， 是来自总体 的一个样本，试求参数 的极大似然估计． 解： 的密度函数为 似然函数为 显然 时， 是单调减函数，而 ，所以 是 的极大似然估计． 15、 设总体 的概率密度为 . 是来自 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为_________. 解:似然函数为 解似然方程得 的极大似然估计为 . 16、设总体的概率密度为 试用来自总体的样本 ，求未知参数 的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计 故 的矩估计为 再求极大似然估计 所以 的极大似然估计为 . 17、已知分子运动的速度 具有概率密度 为 的简单随机样本 （1）求未知参数 的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为 的无偏估计。 解：（1）先求矩估计 再求极大似然估计 得 的极大似然估计  ， （2）对矩估计 所以矩估计  是 的无偏估计. 18、假设 、 、 、 是来自总体 的简单随机样本值.已知 服从正态分布 （1） 求 的数学期望值 （记 为 ）； （2） 求 的置信度为 的置信区间； （3） 利用上述结果求 的置信度为 的置信区间. 19、设 是来自正态总体 的样本, 方差 未知，总体均值 的置信度为 的置信区间的长度记为 ，求 。 20、某出租车公司欲了解从财大南校到火车站乘租车的时间，随机地抽查了9辆出租车，记录其从财大南校到火车站的时间，算得 （分钟），修正样本方差 的标准差 。若假设此样本来自正态总体 ，其中 与 均未知，试求 的置信水平为0.95的置信下限。 21、已知两个总体 与 独立， , ， 未知， 和 分别是来自 与 的样本，求 的置信度为 的置信区间.