第五届全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)

第五届全国大学生数学竞赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解答及评分标准(非数学类) 大学生数学竞赛(高等数学) 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (非数学类) 一、 解答下列各题(每小题6分共24分，要求写出重要步骤) n21.求极限. lim1sin14，，,n，，,,n ,22解 因为………(2分); sin14sin142sin，,，,,nnn,,,，，2142，，nn n，，,,,,,,原式 lim1sinexplimln1sinn,，,，,,,,,,22,,,,nn142142nnnn，，，，,,,,,,,,,,，， …………………………………………………………………………………………(2分); 1,,,,,,n4………(2分) explimsinexplim,,,ne,,,,22nn,,,,142142，，，，nnnn,,,,,,,, ，,sinx2.证明广义积分不是绝对收敛的 dx,x0 n，1,，，,sinxa解 记,，只要证明发散即可。…………………………(2分) adx,nn,x,n0n, n，1,，，,112因为axdxxdx,,,。……………(2分) sinsinn,,,,,nnn，，，111，，，，，，n0, ,,2a而发散，故由比较判别法发散。……………………………………(2分) ,n,n，,1，，,n0n0, 323yyx,yx3.设函数由确定，求的极值。 xxyy，,,322，，，， 222,,解 方程两边对求导，得 …………………(1分) 36360xxyxyyy，，,,x xxy，2，，,,y,y,0xy,,2xxyx，,,,200故，令，得或………(2分) ，，222yx, xy,,2xy,,,2,1将代入所给方程得， xy,,,0,1x,0将代入所给方程得，………………………………………(2分) 1 大学生数学竞赛(高等数学) 22,,2222242xxyyyxxxyyyx，，,,，,，，，，，，，，,,又 y,2222yx,，， 002200，,,,，，，，,,,,yy， ,,,,,,10,10,,xyyxyy0,1,02,1,0,,,,,,,220,，， 故y01,,为极大值，y,,21为极小值。………………………………(3分) ，，，， 3yxx,,04.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的x，， 3面积为，求点A的坐标。 4 133解 设切点A的坐标为，曲线过A点的切线方程为 ytxt,,,tt,，，，，323t………………………………………………………………………………………(2分); y,0令，由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。 xt,,2x0从而作图可知，所求平面图形的面积 t133333， Stttxdxttt,,,,,,,,，，21，，，，,2440 1,1故A点的坐标为。…………………………………………………………(4分) ，， ,xxxesinarctan,二、(满分12)计算定积分 Idx,2,1cos，x,, 0,xxxxexxesinarctansinarctan,,解 Idxdx,，,,221cos1cos，，xx,0, ,,,xxxxexxesinarctansinarctan,,…………………………………(4分) ,，dxdx22,,1cos1cos，，xx00 ,,xxxxsinsin,,xx ……………………(2分) ,,，,arctanarctaneedxdx，，22,,，，1cos21cosxx00 2,,sinx,,,dx…………………………………………………………………(4分) ,,2,21cos，x,,0 23,,,,,arctancosx………………………………………………………… (2分) ,,,,,028,, 2 大学生数学竞赛(高等数学) fx，，,,lim0,三、(满分12分)设在处存在二阶导数，且。fxf0x,0，，，，x,0x ,1,,证明 :级数收敛。 f,,,n,,n1, fx，，lim0,解 由于在处可导必连续，由得 fxx,0，，x,0x fx，，，， ………………………………………………(2分) 0limlim0ffxx,,,,，，，，,,xx,,00x，， fxffx,0，，，，，，, ………………………………………… (2分) f0limlim0,,,，，xx,,00xx,0 由洛必塔法则及定义 ,,,fxfxfxf0,，，，，，，，，11,, ……………………… (3分) limlimlim0,,,f，，2xxx,,,000xxx2202, 1,,f,,n1,,,,所以 ………………………………… (2分) f,lim0，，2n,,21,,,,n,, ,,11,,由于级数收敛，从而由比较判别法的极限形式收敛。……(3分) f,,2,,nn,1n,,n1, b2,fxfxaxb,0,,,,,,,四、(满分12分)设，证明 fxdx,sin，，，，，，，，,ma,fxaxb,0fxab,,,,,解 因为，所以在上严格单调增，从而有反函，，，，，，,, 数………………………………………………………………………………………(2分)。 11,f0,,,,yAfaBfb,,,,,设是的反函数，则……… (3分) ，，，，，，,fxm，， bBxy,,，， ,fx,,又，则,,,,,,AB，所以…(3分) sinsinfxdxyydy,,，，，，，，,,aA ,,,112,,,,,,, …………………… (2分) yydyydyysinsincos，，,,mmm000 ,五、(满分14分)设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型 3 大学生数学竞赛(高等数学) 333的曲面积分。试确定曲面，,Ixxdydzyydzdxzzdxdy,,，,，,23，，，，，，,,, 使积分I的值最小，并求该最小值。 解 记围成的立体为V，由高斯公式 , 222222 ………………(3分) Ixyzdvxyzdxdydz,，，,,，，,36933231，，，，,,,,,,VV 222为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域，即 xyz，，,,2310 222222取 ，曲面 ……… (3分) ,，，,:231xyzVxyzxyz,，，,,,231，，,, , ,xu,100 ,,xyz,,，，1,v1为求最小值，作变换，则， y,,,00,22,uvw,,，，6, w,1z,00,33, 3222Iuvwdudvdw,，，,1从而 …………………………………………(4分) ，，,,,6V ,,21322使用球坐标计算，得 ,,,,,Iddrrdr1sin，，,,,6000 ,31136246,,, ………………………… (4分) ,,,,,,,,,,,,,2cos4，，,,053615156,, ydxxdy,Ir,六、(满分14分)设，其中为常数，曲线C为椭圆a，，aa,22xy，C，， 222，取正向。求极限 xxyyr，，,limIr，，a,，,r ,2xuv,,，，,,2解 作变换(观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法)，曲线C,2,yuv,，，，,,2 31222变为平面上的椭圆(实现了简化积分曲线)，也是取正向 …(2分) uov,，,:uvr22 2222而且(被积 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式没变，同样简单～)， xyuvydxxdyvduudv，,，,,,, vduudv,Ir, ……………………………………………………………… (2分) ，，aa,22uv，,，， 4 大学生数学竞赛(高等数学) 222,,,,,,,urvrcos,2sin,:02,,,,曲线参数化，则有vduudvrd， 33 22,rd,,,222d,,a213，，Irr,,, … (3分) ，，aaa,,322,,,,00222222rrcos2sincos2sin，，,,,,,,,,33,,,, 2,d,2222,J令，则由于，从而 ,，,,,cos2sin2aa,332,,022cos2sin，,,,,3,, 。因此当时或时………(2分) a,1a,10,,，,Jlim0Ir,limIr,,,，，，，aaa,，,,，,rr2/2,,,,dd 而aJ,,,1,4 1,,22222200cos2sincos2sin，，,,,,33 ，,,/2，,ddtttan1,,,,…(3分) ,,,,,,,222arctan2303,,,,,112221/31/3,,000，，tant,33 0,1a,,2,,,,,,,,Ir32。故所求极限为 ………………… (2分) Ira,,,,,1，，，，,1a3,,,,2,1a, 11，，，1,n2七(满分14分)判断级数的敛散性，若收敛，求其和。 ,nn，，12，，，，n1, a11naun,，，，,,1,,1,2,3,解 (1)记 nn212nnn，，，，，， n1ln，n1lim0,,n因为充分大时 ………………(3分) ,,，,，,adxnn011lnn,n,,xn1 11，，，1,,1n1n2所以，而收敛，故收敛…(2分) 0,,,u,,n33nn，，12nn，，12，，，，，，，，n,1n1,22nn 11(2)记 ，则 ak,，，，,1,1,2,3,，，kk2 5 大学生数学竞赛(高等数学) 11，，，1nnnaaa,,kkkk2 S,,,,,,,n,,kkkkkk，，，，，，121212，，，，，，，，,,,111,,kkk aaaaaaaa,,,,,,,,nnnn,,111122,，,，，,，,= ……………………( 2分) ,,,,,,,,2334112nnnn，，，,,,,,,,, aa111n1= ……………………(2分) ，,，,，，,,aaaaaa，，，，，，,21321nn，，23412nn aa11111111nn= …………………………(2分) ，,，,，，,,,,,123243122nnnnn，，， na1ln，n1ln，n1n因为，所以，从而， lim0,0,,,,，,，adxn011lnn,n,,n，2nn，，22x1 an故。 lim0,,,n，2n SS,,,,,lim1001因此。(也可由此用定义推知级数的收敛性)……………(3分) n,,n 6