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多元函数微分法及其应用.doc

多元函数微分法及其应用.doc

上传者: Ralap启亚 2017-10-19 评分 5 0 160 22 728 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《多元函数微分法及其应用doc》,可适用于IT/计算机领域,主题内容包含多元函数微分法及其应用高等数学教案多元函数微分法及其应用第八章多元函数微分法及其应用教学目的,、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。、了解二元函符等。

多元函数微分法及其应用高等数学教案多元函数微分法及其应用第八章多元函数微分法及其应用教学目的,、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。、了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上的连续函数的性质。、理解多元函数偏导数和全微分的概念会求全微分了解全微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性。、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。、掌握多元复合函数偏导数的求法。、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念会求它们的方程。、了解二元函数的二阶泰勒公式。、理解多元函数极值和条件极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格郎日乘数法求条件极值会求简多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。教学重点:、二元函数的极限与连续性、函数的偏导数和全微分、方向导数与梯度的概念及其计算、多元复合函数偏导数、隐函数的偏导数、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点:、二元函数的极限与连续性的概念、全微分形式的不变性、复合函数偏导数的求法、二元函数的二阶泰勒公式、隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数、拉格郎日乘数法、多元函数的最大值和最小值。重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,多元函数的基本概念一、平面点集n维空间(平面点集由平面解析几何知道~当在平面上引入了一个直角坐标系后~平面上的点P与有序二元实数组(x~y)之间就建立了一一对应,于是~我们常把有序实数组(x~y)与平面上的点P视作是等同的,这种建立了坐标系的平面称为坐标平面,二元的序实数组(x~y)的全体~即R,RR,{(x~y)|x~y,R}就表示坐标平面,坐标平面上具有某种性质P的点的集合~称为平面点集~记作E,{(x~y)|(x~y)具有性质P},例如~平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C,{(x~y)|xy,r},如果我们以点P表示(x~y)~以|OP|表示点P到原点O的距离~那么集合C可表成C,{P||OP|,r},邻域:设P(x~y)是xOy平面上的一个点~,是某一正数,与点P(x~y)距离小于,的点P(x~y)的全体~称为点P的,邻域~记为U(P~,~即U(P,,),{P||PP|,,}或,U(yo(,)(,,(,x)(,y))其中A、B不依赖于,x、,y而仅与x、y有关~则称函数z,f(x~y)在点(x~y)可微分~而称A,xB,yy)在点(x~y)的全微分~记作dz~即为函数z,f(x~dz,A,xB,y,如果函数在区域D内各点处都可微分~那么称这函数在D内可微分,可微与连续:可微必连续~但偏导数存在不一定连续,这是因为~如果z,f(x~y)在点(x~y)可微~则f(x,x~y,y),f(x~y),A,xB,yo()~,z,,lim,z,于是~,,limf(x,x,y,y),limf(x,y),z,f(x,y)从而,(,x,,y),(,),,因此函数z,f(x~y)在点(x~y)处连续,可微条件:定理(必要条件),z,z如果函数z,f(x~y)在点(x~y)可微分~则函数在该点的偏导数、必定存在~且函数z,f(x~,y,xy)在点(x~y)的全微分为,z,z,dz,,x,y,x,y证设函数z,f(x~y)在点P(x~y)可微分,于是~对于点P的某个邻域内的任意一点P,(x,x~y,y)~有,z,A,xB,yo(,),特别当,y,时有f(x,x~y),f(x~y),A,xo(|,x|),上式两边各除以,x~再令,x,而取极限~就得fx,xy,fxy(,)(,)~,Alim,x,,x,z,z,z,z从而偏导数存在~且,同理可证偏导数存在~且,所以,A,B,y,x,y,x重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,z,z,dz,,x,y,x,y简要证明:设函数z,f(x~y)在点(x~y)可微分,于是有,z,A,xB,yo(,),特别当,y,时有f(x,x~y),f(x~y),A,xo(|,x|),上式两边各除以,x~再令,x,而取极限~就得f(x,x,y),f(x,y)o(|,x|)~lim,limA,A,x,,x,,x,x,z,z,z,z,z,z从而存在~且,同理存在~且,所以,,Bdz,,x,y,A,y,x,y,x,y,x,z,z偏导数、存在是可微分的必要条件~但不是充分条件,,y,x例如~xy,xy,,函数fxy在点(~)处虽然有f(~),及f(~),~但函数在(,),xyxy,,xy,,(~)不可微分~即,z,f(~),xf(~),y不是较,高阶的无穷小,xy这是因为当(,x~,y)沿直线y,x趋于(~)时~,z,f(,),,xf(,),,y,x,,yxy,x,,x,,,,,,(,x)(,y)(,x)(,x)定理(充分条件),z,z如果函数z,f(x~y)的偏导数、在点(x~y)连续~则函数在该点可微分,,y,x定理和定理的结论可推广到三元及三元以上函数,按着习惯~,x、,y分别记作dx、dy~并分别称为自变量的微分~则函数z,f(x~y)的全微分可写作,z,z,dz,dxdy,x,y二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上的函数~例如函数u,f(x~y~z)的全微分为,u,u,u,du,dxdydz,x,y,z例计算函数z,xyy的全微分,重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,z,z解因为~~,xy,xy,y,x所以dz,xydx(xy)dy,xy例计算函数z,e在点(~)处的全微分,,z,zxyxy解因为~~,ye,xe,y,x,z,z,e,e~~x,x,,y,xy,y,所以dz,edxedy,yyz例计算函数的全微分,u,xsiney,u,u,uyzyz,cosze解因为~~~,ye,,y,x,zyyzyz所以,du,dx(cosze)dyyedz*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z,f(x~y)在点P(x~y)的两个偏导数f(x~y)~f(x~y)连续~并且|,x|~|,y|都较小时~xy有近似等式,z,dz,f(x~y),xf(x~y),y~xy即f(x,x~y,y),f(x~y)f(x~y),xf(x~y),y,xy我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算,例有一圆柱体~受压后发生形变~它的半径由cm增大到,cm~高度由cu减少到cm,求此圆柱体体积变化的近似值,解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V~则有V,,rh,已知r,~h,~,r,,~,h,,,根据近似公式~有,V,dV,V,rV,h,,rh,r,r,hrh,,,,(,),,,(cm),即此圆柱体在受压后体积约减少了,cm,)例计算(,,的近似值,y解设函数f(x~y),x,显然~要计算的值就是函数在x,,~y,,时的函数值f(,~,),取x,~y,~,x,,~,y,,,由于重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用f(x,x~y,y),f(x~y)f(x~y),xf(x~y),yxyyy,y,xyx,xxlnx,y~所以,),,,ln,,,,(,例利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是,l,g,T现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=cm、T=s问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少,解如果把测量l与T所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|,则利用上述计算公式所产生的误差就是,l二元函数的全增量的绝对值|Δg|由于|Δl|~|ΔT|都很小~因此我们可以用dg来近似地代替g,TΔg,这样就得到g的误差为,g,g|,g|,|dg|,|,l,T|,l,Tgg,,,||,,||,,lTlT,,l~,,(,,)lTTT其中,与,为l与T的绝对误差,把l=~T=,,=,δ=代入上式~得g的绝对误差约为lTlT,,,()g,,,(cms),,g,,,g,从上面的例子可以看到~对于一般的二元函数z=f(x,y),如果自变量x、y的绝对误差分别为,、x,,即y|Δx|,,,|Δy|,,,xy则z的误差,z,z|,z|,|dz|,|,x,y|,x,y,z,z,||,|,x|||,|,y|,x,y重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用zz,,,,||,,||,,xyxy,,从而得到z的绝对误差约为zz,,,,,||,,||,,zxyxy,,z的相对误差约为,z,z,,y,xz,,,,xy|z|zz,多元复合函数的求导法则dz设z,f(u~v)~而u,(t)~v,(t)~如何求,,,dt,z,z设z,f(u~v)~而u,,(x~y)~v,,(x~y)~如何求和,,y,x,复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导~函数z,f(u~v)在对应点(u~v)具有连续偏导数~则复合函数z,f,(t)~,(t)在点t可导~且有dz,zdu,zdv,,,,dt,udt,vdt简要证明:因为z,f(u~v)具有连续的偏导数~所以它是可微的~即有,z,z,dz,dudv,u,v又因为u,,(t)及v,,(t)都可导~因而可微~即有dudv~~du,dtdv,dtdtdt代入上式得,zdu,zdv,zdu,zdv~dz,,dt,dt,(,,)dt,udt,vdt,udt,vdtdz,zdu,zdv从而,,,,dt,udt,vdt简要证明:当t取得增量,t时~u、v及z相应地也取得增量,u、,v及,z,由z,f(u~v)、u,,(t)及v,,(t)的可微性~有,z,z,zdu,zdv,z,,u,vo(,),,to(,t),to(,t)o(,),u,v,udt,vdt重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,zdu,zdv,z,z~,(,,),t()o(,t)o(,),udt,vdt,u,vo(,t)o(),,z,zdu,zdv,z,z,,,()~,t,udt,vdt,u,v,t,t令,t,~上式两边取极限~即得dz,zdu,zdv,,,,dt,udt,vdtuv(,)(,),,oo()()dudv:,注lim,lim,,,()(),,t,t,t,,tdtdt,,推广:设z,f(u~v~w)~u,,(t)~v,,(t)~w,,(t)~则z,f,(t)~,(t)~,(t)对t的导数为:dz,zdu,zdv,zdw,,dt,udt,vdt,wdtdz上述称为全导数,dt,复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理如果函数u,,(x~y)~v,,(x~y)都在点(x~y)具有对x及y的偏导数~函数z,f(u~v)在对应点(u~v)具有连续偏导数~则复合函数z,f,(x~y)~,(x~y)在点(x~y)的两个偏导数存在~且有,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,,,,,~,,y,u,y,v,y,x,u,x,v,x推广:设z,f(u~v~w)~u,,(x~y)~v,,(x~y)~w,,(x~y)~则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,,,,,,,~,,y,u,y,v,y,w,y,x,u,x,v,x,w,x讨论:,z,z()设z,f(u~v)~u,,(x~y)~v,,(y)~则,,,,,y,x,z,z,u,zdv,z,z,u,,,提示:~,,,,y,u,y,vdy,x,u,x,z,z()设z,f(u~x~y)~且u,,(x~y)~则,,,,,y,x,f,f,f,f,z,u,z,u,提示:,~,,y,u,y,y,x,u,x,x,f,f,z,z这里与是不同的~是把复合函数z,f,(x~y)~x~y中的y看作不变而对x的偏导数~,x,x,x,x,f,z是把f(u~x~y)中的u及y看作不变而对x的偏导数,与也朋类似的区别,,y,y重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用(复合函数的中间变量既有一元函数~又有多元函数的情形定理如果函数u,,(x~y)在点(x~y)具有对x及对y的偏导数~函数v,,(y)在点y可导~函数z,f(u~v)在对应点(u~v)具有连续偏导数~则复合函数z,f,(x~y)~,(y)在点(x~y)的两个偏导数存在~且有,z,z,u,zdv,z,z,u~,,,,,,,y,u,y,vdy,x,u,x,z,zu例设z,esinv~u,xy~v,xy~求和,,y,x,z,z,u,z,v解,,,,x,u,x,v,xuu,esinv,yecosv,xy,eysin(xy)cos(xy)~,z,z,u,z,v,,,,y,u,y,v,yuu,esinv,xecosv,xy,exsin(xy)cos(xy),,u,uxyzu,f(x,y,z),ez,xsiny例设~而,求和,,y,x,f,f,u,z解,,,x,x,z,xxyzxyz,xeze,xsinyxyxsiny,x(xsiny)e,,f,f,u,z,,,y,y,z,yxyzxyz,yeze,xcosyxyxsiny,(yxsinycosy)e,dzt例设z,uvsint~而u,e~v,cost,求全导数,dtdz,zdu,zdv,z,,,解dt,udt,vdt,tt,v,eu,(,sint)cost重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用tt,ecost,esintcostt,e(cost,sint)cost,,w,w例设w,f(xyz~xyz)~f具有二阶连续偏导数~求及,,x,z,x解令u,xyz~v,xyz~则w,f(u~v),,f(u,v),f(u,v),,,,,,,引入记号:~,同理有~~等,f,ffff,,u,u,v,f,f,w,u,v,,~,,,,fyzf,x,u,x,v,x,,,f,f,w,,,,,fyzf,yfyz(),x,z,z,z,z,,,,,,,,,,fxyfyfyzfxyzf,,,,,,,,fy(xz)fyfxyzf,,,,,,,,f,f,f,f,f,f,u,v,u,v,,,,,,,,注:~,,,,,fxyf,,,,fxyf,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z例设u,f(x~y)的所有二阶偏导数连续~把下列表达式转换成极坐标系中的形式:,u,u,u,u()()(),(),,x,y,x,y解由直角坐标与极坐标间的关系式得u,f(x~y),f(,cosθ~,sinθ),F(,~θ)~y,arctan其中x,,cosθ~y,,sinθ~~,,,,xyx应用复合函数求导法则~得,,y,ysin,u,u,u,,ux,u,,u,u,,,,~,cos,,,,,x,,x,,x,,,,,,,,,,,,y,,u,u,u,,u,ux,,u,ucos,,,,,sin,,,,y,,y,,y,,,,,,,,,,两式平方后相加~得,u,u,u,u,()()()(),,x,y,,,,,再求二阶偏导数~得重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,,,u,,u,,u,,,,,()(),,x,x,,x,x,x,,,,,u,usin,(cos,,),cos,,,,,,,,,,,,u,usinsin,,(cos,),,,,,,,,,,,,,u,u,usincossin,,,cos,,,,,,,,,,,,,,usincos,usin,,,,,,,同理可得,,,,u,u,u,usincoscos,,sin,,,,,,y,,,,,,,,,usincos,ucos,,,,,,,,两式相加~得,u,u,u,u,,,,x,y,,,,,,,u,u,,,(),,,,,,,,全微分形式不变性:设z,f(u~v)具有连续偏导数~则有全微分,z,z,dz,dudv,u,v如果z,f(u~v)具有连续偏导数~而u,,(x~y)~v,,(x~y)也具有连续偏导数~则,z,zdz,dxdy,x,y,z,u,z,v,z,u,z,v,()dx()dy,u,x,v,x,u,y,v,y重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,z,u,u,z,v,v,(dxdy)(dxdy),u,x,y,v,x,y,z,z,,dudv,u,v由此可见~无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数~它的全微分形式是一样的,这个性质叫做全微分形式不变性,u例设z,esinv~u,xy~v,xy~利用全微分形式不变性求全微分,,z,zuu解,esinvduecosvdvdz,dudv,u,vuu,esinv(ydxxdy)ecosv(dxdy)uuuu,(yesinvecosv)dx(xesinvecosv)dyxyxy,eysin(xy)cos(xy)dxexsin(xy)cos(xy)dy,,隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理设函数F(x~y)在点P(x~y)的某一邻域内具有连续偏导数~F(x~y),~F(x~y),~则方程F(x~yy),在点(x~y)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y,f(x)~它满足条件y,f(x)~并有Fdyx,,,dxFy求导公式证明:将y,f(x)代入F(x~y),~得恒等式F(x~f(x)),~等式两边对x求导得dy,F,F,,~,x,ydx由于F连续~且F(x~y),~所以存在(x~y)的一个邻域~在这个邻域同F,~于是得yyy重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用Fdyx,,,dxFy例验证方程xy,,在点(~)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x,时y,的隐函数y,f(x)~并求这函数的一阶与二阶导数在x,的值,解设F(x~y),xy,~则F,x~F,y~F(~),~F(~),,,因此由定理可知~方程xyyxy,,在点(~)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x,时y,的隐函数y,f(x),Fdydyxx,,,,,~,dxdxFyyx,xy,x(,),dyy,xyyyx,,,,,,,,~dxyyyydy,,,dxx,隐函数存在定理还可以推广到多元函数,一个二元方程F(x~y),可以确定一个一元隐函数~一个三元方程F(x~y~z),可以确定一个二元隐函数,隐函数存在定理设函数F(x~y~z)在点P(x~y~z)的某一邻域内具有连续的偏导数~且F(x~y~z),~F(x~y~zz),~则方程F(x~y~z),在点(x~y~z)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z,f(x~y)~它满足条件z,f(x~y)~并有FFy,z,zx,,,,~,,yF,xFzz公式的证明:将z,f(x~y)代入F(x~y~z),~得F(x~y~f(x~y)),~将上式两端分别对x和y求导~得,z,z~FF,,,FF,,yzxz,y,x因为F连续且F(x~y~z),~所以存在点(x~y~z)的一个邻域~使F,~于是得zzzFFy,z,zx,,,,~,,yF,xFzz,z例设xyz,z,~求,,x重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用解设F(x~y~z),xyz,z~则F,x~F,z,~xyF,zxxx,,,,,~,xFz,,zz,zx(,x)x(,x)x()(,x)x,z,x,z,,,,,x(,z)(,z)(,z)二、方程组的情形在一定条件下~由个方程组F(x~y~u~v),~G(x~y~u~v),可以确定一对二元函数u,u(x~y)~yxu,v,v(x~y)~例如方程xu,yv,和yuxv,可以确定两个二元函数~v,,xyxyyxxu,事实上~xu,yv,,,,~v,uyux,u,yyxyyxxv,,,,yxyxy如何根据原方程组求u~v的偏导数,隐函数存在定理隐函数存在定理设F(x~y~u~v)、G(x~y~u~v)在点P(x~y~u~v)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数~又F(x~y~u~v),~G(x~y~u~v),~且偏导数所组成的函数行列式:,F,F,(F,G),u,vJ,,,G,G,(u,v),u,v在点P(x~y~u~v)不等于零~则方程组F(x~y~u~v),~G(x~y~u~v),在点P(x~y~u~v)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u,u(x~y)~v,v(x~y)~它们满足条件u,u(x~y)~v,v(x~y)~并有FFxvGG,(F,G),uxv,,,,~,xJ,(x,v)FFuvGGuv重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用FFuxGG,(F,G),vux~,,,,,xJ,(u,x)FFuvGGuvFFyvGGyv,(F,G),u~,,,,,yJ,(y,v)FFuvGGuvFFuyGGuy,(F,G),v,,,,,,yJ,(u,y)FFuvGGuv隐函数的偏导数:设方程组F(x~y~u~v),~G(x~y~u~v),确定一对具有连续偏导数的二元函数u,u(x~y)~v,v(x~y)~则,u,v,FFF,,xuv,,u,v,x,x偏导数~由方程组确定,,,u,v,x,xGGG,,xuv,x,x,,u,v,FFF,,yuv,,y,y,u,v偏导数~由方程组确定,,,u,v,y,yGGG,,yuv,y,y,,v,u,u,v例设xu,yv,~yuxv,~求~~和,,y,y,x,x,u,v解两个方程两边分别对x求偏导~得关于和的方程组,x,x,u,v,ux,y,,,x,x~,,u,vyvx,,,x,x,yu,xvxuyv,u,v,,,当xy,时~解之得~,,x,xxyxy重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,u,v两个方程两边分别对x求偏导~得关于和的方程组,y,y,u,v,x,v,y,,,y,y~,,u,vuyx,,,y,y,xuyvxv,yu,v,u,,当xy,时~解之得,~,,y,yxyxy另解将两个方程的两边微分得udxxdu,vdy,ydv,xdu,ydv,vdy,udx,,~即,,,udyyduvdxxdv,yduxdv,,udy,vdx,,,xuyvxvyu,,dudxdy解之得~xyxy,yuxvxuyv,,dvdxdy,xyxyxuyvxv,yu,u,u,,,于是~~,x,yxyxyyu,xvxuyv,v,v,,,~,,x,yxyxy例,设函数x,x(u~v)~y,y(u~v)在点(u~v)的某一领域内连续且有连续偏导数~又,(x,y),,,(u,v)()证明方程组x,x(u,v),,y,y(u,v),在点(x~y~u~v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u,u(x~y)~v,v(x~y),()求反函数u,u(x~y)~v,v(x~y)对x~y的偏导数,解()将方程组改写成下面的形式重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用F(x,y,u,v),x,x(u,v),,~,G(x,y,u,v),y,y(u,v),,,(F,G),(x,y)则按假设J,,,,(u,v),(u,v)由隐函数存在定理~即得所要证的结论,()将方程组()所确定的反函数u,u(x~y)~v,v(x~y)代入()~即得x,xu(x,y),v(x,y),~,y,yu(x,y),v(x,y),将上述恒等式两边分别对x求偏导数~得,x,u,x,v,,,,,,u,x,v,x,,,y,y,u,v,,,,,u,x,v,x,由于J,~故可解得,y,y,v,u,,~,,,xJ,v,xJ,u同理~可得,u,x,v,x,,,~,,yJ,v,yJ,u,多元函数微分学的几何应用一,空间曲线的切线与法平面设空间曲线,的参数方程为x,,(t)~y,,(t)~z,,(t)这里假定,(t)~,(t)~,(t)都在,~,上可导,在曲线,上取对应于t,t的一点M(x~y~z)及对应于t,t,t的邻近一点M(x,x~y,y~z,z),作曲线的割线MM~其方程为x,xy,yz,z,,~,x,y,z当点M沿着,趋于点M时割线MM的极限位置就是曲线在点M处的切线,考虑重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用x,xy,yz,z,,~,x,y,z,t,t,t当M,M~即,t,时~得曲线在点M处的切线方程为x,xy,yz,z,,,,,,,(t),(t),(t)曲线的切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量,向量,(t)~,(t)~,(t))T,(,,,就是曲线,在点M处的一个切向量,法平面:通过点M而与切线垂直的平面称为曲线,在点M处的法平面~其法平面方程为,,(t)(x,x),,(t)(y,y),,(t)(z,z),,例求曲线x,t~y,t~z,t在点(~~)处的切线及法平面方程,解因为x,,~y,,t~z,,t~而点(~~)所对应的参数t,~所以tttT,(~~),于是~切线方程为y,x,z,~,,法平面方程为(x,)(y,)(z,),~即xyz,,讨论:,若曲线,的方程为y,,(x)~z,,(x),问其切线和法平面方程是什么形式,提示:曲线方程可看作参数方程:x,x~y,,(x)~z,,(x)~切向量为T,(~,,(x)~,,(x)),,若曲线,的方程为F(x~y~z),~G(x~y~z),,问其切线和法平面方程又是什么形式,提示:两方程确定了两个隐函数:y,(x)~z,(x)~曲线的参数方程为,,x,x~y,,(x)~z,,(x)~重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用dy,dzFFF,xyz,dydzdxdx由方程组可解得和,,dydzdxdx,GGG,xyzdxdx,dydz,切向量为T,(,,)dxdx例求曲线xyz,~xyz,在点(~,~)处的切线及法平面方程,解为求切向量~将所给方程的两边对x求导数~得dy,dzxyz,,dxdx~,dydz,,dxdx,dyx,yz,xdz,,解方程组得~,dxy,zdxy,zdydz在点(~,~)处~~,,,,dxdx,(~~,),从而T所求切线方程为yx,z,~,,,法平面方程为(x,),(y),(z,),~即x,z,,解为求切向量~将所给方程的两边对x求导数~得dy,dzxyz,,dxdx,,dydz,,dxdx,方程组在点(~,~)处化为dy,dz,,,dxdx~,dydz,,,dxdx,dydz解方程组得~,,,,dxdx从而T,(~~,),所求切线方程为重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用yx,z,~,,,法平面方程为(x,),(y),(z,),~即x,z,,,曲面的切平面与法线二设曲面,的方程为F(x~y~z),~M(x~y~z)是曲面,上的一点~并设函数F(x~y~z)的偏导数在该点连续且不同时为零,在曲面,上~通过点M任意引一条曲线,~假定曲线,的参数方程式为x,(t)~y,(t)~z,(t)~,,,t,t对应于点M(x~y~z)~且,,(t)~,,(t)~,,(t)不全为零,曲线在点的切向量为T,(,,(t)~,,(t)~,,(t)),考虑曲面方程F(x~y~z),两端在t,t的全导数:F(x~y~z),(t)F(x~y~z),(t)F(x~y~z),(t),,,,,xyz引入向量n,(F(x~y~z)~F(x~y~z)~F(x~y~z))~xyz易见T与n是垂直的,因为曲线,是曲面,上通过点M的任意一条曲线~它们在点M的切线都与同一向量n垂直~所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上,这个平面称为曲面,在点M的切平面,这切平面的方程式是F(x~y~z)(x,x)F(x~y~z)(y,y)F(x~y~z)(z,z),,xyz曲面的法线:通过点M(x~y~z)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线,法线方程为xxyyzz,,,,,,F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)xyz曲面的法向量:垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,向量n,(F(x~y~z)~F(x~y~z)~F(x~y~z))xyz就是曲面,在点M处的一个法向量,例求球面xyz,在点(~~)处的切平面及法线方程式,解F(x~y~z),xyz,~F,x~F,y~F,z~xyzF(~~),~F(~~),~F(~~),,xyz重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用法向量为n,(~~)~或n,(~~),所求切平面方程为(x,)(y,)(z,),~即xyz,,,y,x,z,法线方程为,,,讨论:若曲面方程为z,f(x~y)~问曲面的切平面及法线方程式是什么形式,提示:此时F(x~y~z),f(x~y),z,n,(f(x~y)~f(x~y)~,)xy例求旋转抛物面z,xy,在点(~~)处的切平面及法线方程,解f(x~y),xy,~n,(f~f~,),(x~y~,)~xyn|,(~~,),(~~)所以在点(~~)处的切平面方程为(x,)(y,),(z,),~即xy,z,,,法线方程为y,x,z,,,,,,方向导数与梯度一、方向导数现在我们来讨论函数z,f(x~y)在一点P沿某一方向的变化率问题,设l是xOy平面上以P(x~y)为始点的一条射线~e,(cos,~cos,)是与l同方向的单位向量,l射线l的参数方程为x,xtcos,~y,ytcos,(t,),设函数z,f(x~y)在点P(x~y)的某一邻域U(P)内有定义~P(xtcos,~ytcos,)为l上另一点~且P,U(P),如果函数增量f(xtcos,~ytcos,),f(x~y)与P到P的距离|PP|,t的比值f(xtcos,ytcos)f(x,y),,,t当P沿着l趋于P(即t,t)时的极限存在~则称此极限为函数f(x~y)在点P沿方向l的方向导,f数~记作~即,l(x,y)重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用fxtytfxy(cos,,cos,),(,),f,,lim,ltt,(x,y),f从方向导数的定义可知~方向导数就是函数f(x~y)在点P(x~y)处沿方向l的变化,l(x,y)率,方向导数的计算:如果函数z,f(x~y)在点P(x~y)可微分~那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都定理存在~且有,f,f(x,y)cos,f(x,y)cos,~xy,l(x,y)其中cos,~cos,是方向l的方向余弦,简要证明:设,x,tcos,~,y,tcos,~则f(xtcos,~ytcos,),f(x~y),f(x~y)tcos,f(x~y)tcos,o(t),xy所以fxtytfxy(cos,,cos,),(,),f(x,y)cos,f(x,y)sin,,limxytt,这就证明了方向导数的存在~且其值为,f,f(x,y)cos,f(x,y)cos,,xy,l(x,y)f(x,x,y,y),f(x,y),f(x,y),xf(x,y),yo((,x)(,y))提示:,xy,x,tcos,~,y,tcos,~,(,x)(,y),t讨论:函数z,f(x~y)在点P沿x轴正向和负向~沿y轴正向和负向的方向导数如何提示:,f,f沿x轴正向时~cos,,,~cos,,~,,,l,x,f,f,,沿x轴负向时~cos,,,~cos,,~,,l,xy例求函数z,xe在点P(~)沿从点P(~)到点Q(~,)的方向的方向导数,,PQ,(,,)解这里方向l即向量的方向~与l同向的单位向量为重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,e,(,,)l,z,zyy因为函数可微分~且,e,~,xe,~(,)(,)(,)(,),x,y所以所求方向导数为,z,,,(,),,,(,),l对于三元函数f(x~y~z)来说~它在空间一点P(x~y~z)沿e,(cos,~cos,~cos,)的方向导数l为fxtytztfxyz(cos,,cos,,cos,),(,,),f,,lim,ltt,(x,y,z)如果函数f(x~y~z)在点(x~y~z)可微分~则函数在该点沿着方向e,(cos~cos~cos的方,,,l向导数为,f,f(x~y~z)cos,f(x~y~z)cos,f(x~y~z)cos,,xyz,l(x,y,z)例求f(x~y~z),xyyzzx在点(~~)沿方向l的方向导数~其中l的方向角分别为:~:~:,解与l同向的单位向量为e,(cos:~cos:~cos:,,(,,)l因为函数可微分~且f(~~),(yz)|,~x(~~)f(~~),(xz)|,~y(~~)f(~~),(yx)|,~z(~~)所以,f,,,,,,(),l(,,)二,梯度设函数z,f(x~y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数~则对于每一点P(x~y),D~都可确定一个向量重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用f(x~y)if(x~y)j~xy这向量称为函数f(x~y)在点P(x~y)的梯度~记作gradf(x~y)~即gradf(x~y),f(x~y)if(x~y)j,xy梯度与方向导数:如果函数f(x~y)在点P(x~y)可微分~e,(cos,~cos,)是与方向l同方向的单位向量~则l,f,f(x,y)cos,f(x,y)cos,~xy,l(x,y),gradf(x~y),el^,|gradf(x~y)|,cos(gradf(x~y)~e),l这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系,特别~当向量e与l,fgradf(x~y)的夹角,,~即沿梯度方向时~方向导数取得最大值~这个最大值就是梯度,l(x,y)的模|gradf(x~y)|,这就是说:函数在一点的梯度是个向量~它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向~它的模就等于方向导数的最大值,,f讨论:的最大值,,l结论:函数在某点的梯度是这样一个向量~它的方向与取得最大方向导数的方向一致~而它的模为方向导数的最大值,我们知道~一般说来二元函数z,f(x~y)在几何上表示一个曲面~这曲面被平面z,c(c是常数)所截得的曲线L的方程为z,f(x,y),,,z,c,这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L*~它在xOy平面上的方程为f(x~y),c,对于曲线L*上的一切点~已给函数的函数值都是c~所以我们称平面曲线L*为函数z,f(x~y)的等值线,若f~f不同时为零~则等值线f(x~y),c上任一点P(x~y)处的一个单位法向量为xyn,(f(x,y),f(x,y)),xyf(x,y)f(x,y)xy这表明梯度gradf(x~y)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同~而沿这个方向的方向导数重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,f就等于|gradf(x~y)|~于是,n,f,gradf(x,y),n,n这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系,这说是说:函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同~它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线~梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数,梯度概念可以推广到三元函数的情形,设函数f(x~y~z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数~则对于每一点P(x~y~z),G~都可定出一个向量f(x~y~z)if(x~y~z)jf(x~y~z)k~yzx这向量称为函数f(x~y~z)在点P(x~y~z)的梯度~记为gradf(x~y~z)~即gradf(x~y~z),f(x~y~z)if(x~y~z)jf(x~y~z)k,xyz结论:三元函数的梯度也是这样一个向量~它的方向与取得最大方向导数的方向一致~而它的模为方向导数的最大值,如果引进曲面f(x~y~z),c为函数的等量面的概念~则可得函数f(x~y~z)在点P(x~y~z)的梯度的方向与过点P的等量面f(x~y~z),c在这点的法线的一个方向相同~且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面~而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数,例求,gradxy解这里f(x,y),,xy,f,fyx,,,,因为~~,x,y(xy)(xy)yx,,,ij所以grad,(xy)(xy)xy例设f(x~y~z),xyz~求gradf(~,~),解gradf,(f~f~f),(x~y~z)~xyz于是gradf(~,~),(~,~),数量场与向量场:如果对于空间区域G内的任一点M~都有一个确定的数量f(M)~则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等),一个数量场可用一个数量函数f(M)来重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用确定~如果与点M相对应的是一个向量F(M)~则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力,场、速度场等),一个向量场可用一个向量函数(M)来确定~而FF(M),P(M)iQ(M)jR(M)k~其中P(M)~Q(M)~R(M)是点M的数量函数,利用场的概念~我们可以说向量函数gradf(M)确定了一个向量场梯度场~它是由数量场f(M)产生的,通常称函数f(M)为这个向量场的势~而这个向量场又称为势场,必须注意~任意一个向量场不一定是势场~因为它不一定是某个数量函数的梯度场,m例试求数量场所产生的梯度场~其中常数m>~r为原点O与点M(x~y~z)间的距离,r,xyz,mm,rmx解~(),,,,,xr,xrrmy,m,mmz同理~,(),,(),,,yr,zrrrymmxz从而,grad,,(ijk)rrrrr,yxz~它是与OM同方向的单位向量~则记e,ijkrrrrmm,egrad,,rrr上式右端在力学上可解释为~位于原点O而质量为m质点对位于点M而质量为l的质点的引力,这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比~这引力的方向由mmm点M指向原点,因此数量场的势场即梯度场grad称为引力场~而函数称为引力势,rrr,多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z,f(x~y)在点(x~y)的某个邻域内有定义~如果对于该邻域内任何异于(x~y)的点(x~y)~都有f(x~y)<f(x~y)(或f(x~y)>f(x~y))~重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用则称函数在点(x~y)有极大值(或极小值)f(x~y),极大值、极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点,例函数z,xy在点(~)处有极小值,当(x~y),(~)时~z,~而当(x~y),(~)时~z,,因此z,是函数的极小值,例函数在点(~)处有极大值,z,,xy当(x~y),(~)时~z,~而当(x~y),(~)时~z,,因此z,是函数的极大值,例函数z,xy在点(~)处既不取得极大值也不取得极小值,因为在点(~)处的函数值为零~而在点(~)的任一邻域内~总有使函数值为正的点~也有使函数值为负的点,以上关于二元函数的极值概念~可推广到n元函数,设n元函数u,f(P)在点P的某一邻域内有定义~如果对于该邻域内任何异于P的点P~都有f(P)<f(P)(或f(P)>f(P))~则称函数f(P)在点P有极大值(或极小值)f(P),y)在点(x~y)具有偏导数~且在点(x~y)处有极值~则有定理(必要条件)设函数z,f(x~f(x~y),~f(x~y),,xy证明不妨设z,f(x~y)在点(x~y)处有极大值,依极大值的定义~对于点(x~y)的某邻域内异于(x~y)的点(x~y)~都有不等式),f(x~y)<f(x~y特殊地~在该邻域内取y,y而x,x的点~也应有不等式f(x~y)<f(x~y),这表明一元函数f(x~y)在x,x处取得极大值~因而必有f(x~y),,x类似地可证f(x~y),,y从几何上看~这时如果曲面z,f(x~y)在点(x~y~z)处有切平面~则切平面z,z,f(x~y)(x,x)f(x~y)(y,y)xy成为平行于xOy坐标面的平面z,z,类似地可推得~如果三元函数u,f(x~y~z)在点(x~y~z)具有偏导数~则它在点(x~y~z)具有极值的必要条件为f(x~y~z),~f(x~y~z),~f(x~y~z),,xyz仿照一元函数~凡是能使f(x~y),~f(x~y),同时成立的点(x~y)称为函数z,f(x~y)的驻点,xy从定理可知~具有偏导数的函数的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点,重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用例如~函数z,xy在点(~)处的两个偏导数都是零~函数在(~)既不取得极大值也不取得极小值,定理(充分条件)设函数z,f(x~y)在点(x~y)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数~又f(x~y),~f(x~y),~令xyf(x~y),A~f(x~y),B~f(x~y),C~xxxyyy则f(x~y)在(x~y)处是否取得极值的条件如下:()AC,B>时具有极值~且当A<时有极大值~当A>时有极小值,()AC,B<时没有极值,()AC,B,时可能有极值~也可能没有极值,在函数f(x~y)的驻点处如果f,f,f>~则函数具有极值~且当f<时有极大值~当f>xxyyxyxxxx时有极小值,极值的求法:第一步解方程组f(x~y),~f(x~y),~xy求得一切实数解~即可得一切驻点,第二步对于每一个驻点(x~y)~求出二阶偏导数的值A、B和C,第三步定出AC,B的符号~按定理的结论判定f(x~y)是否是极值、是极大值还是极小值,例求函数f(x~y),x,yxy,x的极值,,(,),,,fxyxxx解解方程组~,(,),,,fxyyyy,求得x,~,,y,~,于是得驻点为(~)、(~)、(,~)、(,~),再求出二阶偏导数f(x~y),x~f(x~y),~f(x~y),,y,xxxyyy在点(~)处~AC,B,,>~又A>~所以函数在(~)处有极小值f(~),,,在点(~)处~AC,B,,(,)<~所以f(~)不是极值,在点(,~)处~AC,B,,,<~所以f(,~)不是极值,在点(,~)处~AC,B,,,(,)>~又A<~所以函数的(,~)处有极大值f(,~),,应注意的问题:不是驻点也可能是极值点~重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用例如~函数在点(~)处有极大值~但(~)不是函数的驻点,因此~在考虑函数的极z,,xy值问题时~除了考虑函数的驻点外~如果有偏导数不存在的点~那么对这些点也应当考虑,最大值和最小值问题:如果f(x~y)在有界闭区域D上连续~则f(x~y)在D上必定能取得最大这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部~也可能在D的边界上,我值和最小值,们假定~函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点~这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值)~那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值),因此~求最大值和最小值的一般方法是:将函数f(x~y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互其中最大的就是最大值~最小的就是最小值,在通常遇到的实际问题中~如果根据问题的比较~性质~知道函数f(x~y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得~而函数在D内只有一个驻点~那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x~y)在D上的最大值(最小值),例某厂要用铁板做成一个体积为m的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取多少时~才能使用料最省,解设水箱的长为xm~宽为ym~则其高应为m,此水箱所用材料的面积为xyA,(xyy,x,),(xy)(x,,y,),xyxyxyA,(x,),令~~得x,~y,,A,(y,),yxyx根据题意可知~水箱所用材料面积的最小值一定存在~并在开区域D,{(x~y)|x>~y>}内取得,因为函数A在D内只有一个驻点~所以此驻点一定是A的最小值点~即当水箱的长为m、宽为m、高为m时~水箱所用的材料最省,,,因此A在D内的唯一驻点(~)处取得最小值~即长为m、宽为m、高为m时~所用材料最省,,,从这个例子还可看出~在体积一定的长方体中~以立方体的表面积为最小,例有一宽为cm的长方形铁板~把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面的面积最大,解设折起来的边长为xcm~倾角为,~那末梯形断面的下底长为,x~上底长为,x,cos,~高为x,sin,~所以断面面积重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用~A,(,xxcos,,x),xsin,即A,x,sin,,xsin,xsin,cos,(<x<~,,,:),可见断面面积A是x和,的二元函数~这就是目标函数~面求使这函数取得最大值的点(x~,),令A,sin,,xsin,xsin,cos,,~x,xcos,xcosx(cos,sin),~A,,,,,由于sin,,~x,~上述方程组可化为,,xxcos,,,,cos,,xcos,x(cos,,sin,),,解这方程组~得,,:~x,cm,根据题意可知断面面积的最大值一定存在~并且在D,{(x~y)|<x<~,,,:}内取得~通过计算得知,,:时的函数值比,,:~x,(cm)时的函数值为小,又函数在D内只有一个驻点~因此可以断定~当x,cm~,:时~就能使断面的面积最大,,二、条件极值拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值,例如~求表面积为a而体积为最大的长方体的体积问题,设长方体的三棱的长为x~y~z~则体积V,xyz,又因假定表面积为a~所以自变量x~y~z还必须满足附加条件(xyyzxz),a,这个问题就是求函数V,xyz在条件(xyyzxz),a下的最大值问题~这是一个条件极值问题,对于有些实际问题~可以把条件极值问题化为无条件极值问题,例如上述问题~a,xy(xyyzxz),a由条件~解得z,~于是得(xy)xya,xy,V,()xy()只需求V的无条件极值问题,在很多情形下~将条件极值化为无条件极值并不容易,需要另一种求条件极值的专用方法~这就是拉格朗日乘数法,现在我们来寻求函数z,f(x~y)在条件,(x~y),下取得极值的必要条件,如果函数z,f(x~y)在(x~y)取得所求的极值~那么有,(x~y),,假定在(x~y)的某一邻域内f(x~y)与,(x~y)均有连续的一阶偏导数~而,(x~y),,由隐函数存在y定理~由方程,(x~y),确定一个连续且具有连续导数的函数y,,(x)~将其代入目标函数z,f(x~y)~重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用得一元函数z,fx~,(x),于是x,x是一元函数z,fx~,(x)的极值点~由取得极值的必要条件~有dydz~fxyfxy,(,)(,),x,xxyx,xdxdx,(x,y)xf(x,y),f(x,y),,即xy,(x,y)y从而函数z,f(x~y)在条件,(x~y),下在(x~y)取得极值的必要条件是,(x,y)xf(x,y),f(x,y),与,(x~y),同时成立,xy,(x,y)yfxy(,)y设~上述必要条件变为,,,xy(,),y,,,fxyxy(,)(,),xx,,,,f(x,y)(x,y),,yy,,(x,y),,拉格朗日乘数法:要找函数z,f(x~y)在条件,(x~y),下的可能极值点~可以先构成辅助函数F(x~y),f(x~y),,(x~y)~其中,为某一常数,然后解方程组,,,F(x,y),f(x,y)(x,y),xxx,,,F(x,y),f(x,y)(x,y),,,yyy,,(x,y),,由这方程组解出x~y及~则其中(x~y)就是所要求的可能的极值点,,这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形,至于如何确定所求的点是否是极值点~在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定,例求表面积为a而体积为最大的长方体的体积,解设长方体的三棱的长为x~y~z~则问题就是在条件(xyyzxz),a下求函数V,xyz的最大值,构成辅助函数F(x~y~z),xyz,(xyyzxz,a)~解方程组重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案多元函数微分法及其应用,F(x,y,z),yz(yz),,x,,F(x,y,z),xz(xz),,y~,,F(x,y,z),xy(yx),z,,xyyzxz,a,得~x,y,z,a这是唯一可能的极值点,因为由问题本身可知最大值一定存在~所以最大值就在这个可能的值点处取得,此时,V,a重庆三峡学院高等数学课程建设
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