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动圆过定点问题

动圆过定点问题动圆过定点问题一个圆过定点问题的探究和推广 22已知圆的方程为,直线过定点且与圆相切. OOA(3,0)lxy，,11 (1)求直线的方程; l1 (2)设圆与轴交与两点,是圆上异于的任意一点,过点且与轴垂直的直线为 OOxxMAPQ,PQ, '''',直线交直线于点,直线交直线于点.求证:以为直径的圆总经过定点,并求CPPMQlllPQQM222 出定点坐标. 解:(1)省略; 22x,,1(2)对于圆方程,令,得,即. PQ(1,0),(1,0),x，y,1y,0 又直线过点且与轴垂直，?直线方程为...

动圆过定点问题一个圆过定点问题的探究和推广 22已知圆的方程为,直线过定点且与圆相切. OOA(3,0)lxy，,11 (1)求直线的方程; l1 (2)设圆与轴交与两点,是圆上异于的任意一点,过点且与轴垂直的直线为 OOxxMAPQ,PQ, '''',直线交直线于点,直线交直线于点.求证:以为直径的圆总经过定点,并求CPPMQlllPQQM222 出定点坐标. 解:(1)省略; 22x,,1(2)对于圆方程,令,得,即. PQ(1,0),(1,0),x，y,1y,0 又直线过点且与轴垂直，?直线方程为. x,3lxlA22 t设，则直线方程为 Mst(,)PMy,(x，1).s，1 x,3,,4t,解方程组,得 P'(3,).t,yx,，(1)s，1,s，1, 2t同理可得, Q'(3,).s,1 4t2t,C,,?以为直径的圆的方程为， (x,3)(x,3)，(y,)(y,),0PQs，1s,1 62s-2222s，t,1又，?整理得， (61)0xyxy+-++=t 2,x,,322xx-+=610Cy=0若圆经过定点,只需令,从而有,解得， ,C?圆总经过定点坐标为. (322,0), 备注:本题是09年江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)第三次调研考试第17题) 笔者对命题者提出的参考解法不是很认同,参考解法中引进的参数不太合理,导致后期定点的出现不自然,同时完全掩盖了该问题的几何背景.对此,笔者给出了如下的改进解法: PMQM,kk,kk,,1解:设直线的斜率分别为,则 1212 x,3PMykx:(1),，Pk'(3,4)直线,令,则, 11 x,3QMykx:(1),,Qk'(3,2)直线,令,则, 22 ,C,,(3)(3)(4)(2)0xxykyk,,，,,,以为直径的圆的方程为, PQ12 1 122即 (3)82(2)0xyky,，,,,,1k1 ,令,则.即以为直径的圆总经过定点坐标为. C,,x,,32(322,0),y,0PQ 从上述的改进解法中,我们注意到,由点在圆上运动而生成的两个动点始终满足一个不变的条,,MPQ,件,即它们纵坐标的乘积始终为定值.记以为直径的圆与轴的交点为,则由圆的相交弦定理可,,HH,xPQ12 22,,,得到结论:C,易知,点即为以为直径的圆经过的定点. ,,AHAHAPAQ,,,HH,PQ1212 由此,我们不难发现,此类圆过定点的问题是根据圆的相交弦定理来命制的.将问题一般化后,即可得到如下的命题: 222l命题1:已知圆与轴交与两点,垂直于轴的直线过定点,Qmma(,0)(),xxPOxya:，,AB, OllN是圆上异于的任意一点,若直线交直线于点,直线交直线于点,则以MN为直径PAMPBAB, 22C的圆总经过定点. (,0)mma,, 证明:设直线的斜率分别为,则 PAPB,kk,kk,,11212 ,令,则, 直线PAykxa:(),，xm,ykma,，()1M1 直线,令,则, PBykxa:(),,xm,ykma,,()2N2 22 yykmakmama,,，,,,,()()()MN12 22即 QMQNma,,, 22MNC设以为直径的圆与x轴的交点为HH,,则由圆的相交弦定理可得QHQHQMQN,,,,所1212 2222HmmaHmma(,0),(,0),,，,MNC以即为以为直径的圆经过的定点. 12 在得到圆的优美结论后,我们自然会产生联想,圆锥曲线也有这样的优美性质吗?笔者经过探究,得到如下的一组命题: 22xylOab:1(0)，,,,xx命题2:已知椭圆与轴交与两点,垂直于轴的直线过定点AB,22ab OllQmma(,0)(),,P是椭圆上异于的任意一点,若直线PA交直线于点M,直线PB交直线于点AB, b22NMNC(,0)mma,,,则以为直径的圆总经过定点. a 2bkk,,PAPB,kk,证明:设直线的斜率分别为,则 12122a 2 直线,令,则, PAykxa:(),，ykma,，()xm,1M1 直线,令,则, PBykxa:(),,ykma,,()xm,2N2 2b22 ()()()yykmakmama,,，,,,,MN122a 22即 QMQNma,,, 22设以MN为直径的圆C与轴的交点为,则由圆的相交弦定理可得,所xHH,QHQHQMQN,,,1212 bb2222以即为以为直径的圆C经过的定点. MNHmmaHmma(,0),(,0),,，,12aa 2a特别地,C当时,以MN为直径的圆经过椭圆的右焦点. m,c 22xyl命题3:已知双曲线Oab:1(,0),,,与轴交与两点,垂直于轴的直线过定点xxAB,22ab Ol,是双曲线上异于的任意一点,若直线交直线于点,直线交直线Qmma(,0)(0),,PPAMPBAB, b22lNMNC于点,则以为直径的圆总经过定点. (,0)mma,,a 2bkk,,证明:设直线PAPB,的斜率分别为,则 kk,12122a直线,令,则, PAykxa:(),，xm,ykma,，()1M1 直线PBykxa:(),,,令xm,,则ykma,,(), 2N2 2b22()()()yykmakmama,,，,,,, MN122a 22即 QMQNma,,, 22MNCxHH,QHQHQMQN,,,设以为直径的圆与轴的交点为,则由圆的相交弦定理可得,所1212 bb2222MNC以HmmaHmma(,0),(,0),,，,即为以为直径的圆经过的定点. 12aa 2aMNCm,特别地,当时,以为直径的圆经过椭圆的右焦点. c 2lOQmm(,0)(0),x命题4:已知抛物线P,垂直于轴的直线过定点,是抛物线Oypxp:2(0),, OlPOlNMNCPM上异于的任意一点,点在直线上的射影为点,直线交直线于点,则以为直径的圆 3 总经过定点. (2,0)mpm,, yy00 证明:设,则直线,令,则 PNyx:,Pxy(,)ym,xm,N00xx00 y0,所以 2QMQNpm,,,2yyympm,,,,MN0x0 设以为直径的圆与轴的交点为,则由圆的 CMNxHH,12 22相交弦定理可得, QHQHQMQN,,,12 所以HmpmHmpm(2,0),(2,0),,，,即为以为直径的圆C经过的定点. MN12 pp特别地,C当时,以MN为直径的圆经过抛物线的焦点. m,,(,0)22 4

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