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数列求和的方法.doc

数列求和的方法

Aidan怡怿
2017-09-20 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数列求和的方法doc》,可适用于综合领域

数列求和的方法数列求和的方法一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法()()naann,n、等差数列求和公式:Snad,,n(,)naq,,n,(,)aaqaq、等比数列求和公式:,S,nn,(,)q,,,qq,nnS,k,n(n)S,k,n(n)(n)、、,,nn,,kknS,k,n(n),n,k例(高考山东文)设是公比大于的等比数列为数列的前项和(已{}aS{}annnn知且构成等差数列(S,aaa()求数列的等差数列({}an()令T求数列的前项和(ban,,ln{}bnnnnaaa,,,解:()由已知得解得(a,:,()()aa,a,,aaq,,设数列的公比为由可得(a,{}aqnq,q又可知即S,qq,,qqq,?,解得(由题意得(qq,,n,(故数列的通项为(?,a{}aa,nnn()由于由()得ban,,lna,nnnn?,,bnlnln又bb,,lnnnnn是等差数列(?{}bn?,Tbbbnnnbb()n,n(lnln),()nn,ln()nn故(T,lnn(一)主要知识:(等差数列与等比数列的求和公式的应用(倒序相加、错位相减分组求和、拆项求和等求和方法(二)主要方法:(求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式(求和过程中注意分类讨论思想的运用(转化思想的运用二(教学目标:(熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式(能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算(熟记一些常用的数列的和的公式(三(教学重点:特殊数列求和的方法(四(教学过程:(一)主要知识:(等差数列与等比数列的求和公式的应用(倒序相加、错位相减分组求和、拆项求和等求和方法(二)主要方法:(求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式(求和过程中注意分类讨论思想的运用(转化思想的运用(三)例题分析:例(求下列数列的前项和:Snnn,()……(),,,,,()()nnna,()()aaana,,,,,nnn()(),,,,(),nn(sinsinsinsinn个n个S,解:(),()nn,,,,,()()()()nn,,,,,nn(()(),,()nnnn()(S,,,,,()()()(),,,()nnnnnnn,()ann,,,,nnnnnnn,()()S,nnn(,,,,()()()nn,,nn()Saaana,nnn()当时…S,a,,nnn当时…a,Saaa,nann…aSaaa,nannaa(),nnn两式相减得…(),,aSaaa,,,ananan,annnanaa,()(S,n(),a()nnnn(),nnn()()原式……(,(n)(n),()设S,sinsinsinsin又S,sinsinsinsin(S,S,()nn,为奇数,例(已知数列{}a的通项求其前项和S(nnnna,n,()n为偶数,a,解:奇数项组成以为首项公差为的等差数列偶数项组成以a,为首项公比为的等比数列nn,当为奇数时奇数项有项偶数项有项nnn,(),nn,()()()(),,,nnS,,nn,当为偶数时奇数项和偶数项分别有项nnn(),nn()()(),,,nnS,,n,n,,()()()nn,,为奇数()n,,所以(S,,nnnn()(),,,为偶数()nn,例((《高考A计划》智能训练题)数列的前项和数列满{}a{}bnSppR,,(),nnn足若是等比数列ba,log{}annnn,*()求的值及通项()求和…(paTbbb,,()()(),,()()()bnNnnn(解答见教师用书页)n,(四)巩固练习:设数列的前项和为则等于()SS,(),,(),nnnnnn()A()B,n()C,nn()D,,nA五(课后作业:《高考计划》考点智能训练(数列求和的常用方法(三课时)数列求和是数列的重要内容之一也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是抓通项找规律套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法:一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法()()naann,n、等差数列求和公式:Snad,,n(,)naq,,n,(,)aaqaq,S、等比数列求和公式:,nn,(q,),,,qq,nnS,k,n(n)S,k,n(n)(n)、、,,nn,,kknS,k,n(n)、,n,k例(高考山东)设是公比大于的等比数列为数列的前项和(已{}aS{}annnn知且构成等差数列(S,aaa()求数列的等差数列({}anT()令求数列的前项和(ban,,ln{}bnnnnaaa,,,解:()由已知得解得(a,:,()()aa,a,,aaq,,设数列的公比为由可得(a,{}aqnq,q又可知即S,qq,,qqq,?,解得(由题意得(qq,,n,(故数列的通项为(?,a{}aa,nnn()由于由()得ban,,lna,nnnn又?,,bnlnlnbb,,lnnnnn是等差数列(?{}bn?,Tbbbnnnbb()n,n(lnln),()nn,ln()nn故(T,lnnS*nf(n),练习:设S,…nnN,求的最大值n(n)Sn解:由等差数列求和公式得(利S,n(n)S,(n)(n)nn用常用公式)Snnf(n),,(n)Snnn,,,n(n,)nnn,当即n,时()fn,max二、错位相减法设数列的等比数列数列是等差数列则数列的前项和求解,,,,,,babSannnnnn均可用错位相减法。nn,a例(高考天津理)在数列中aaan,,,,()(),,,N,,nnn其中(,,a()求数列的通项公式,,na()求数列的前项和Sn,,nnnn,()解:由,,aan,,,,,,()()Nnnnnaa,,,,nn可得,,,,,,,nn,,,,,,,,nn,,aa,,,,,,nna所以为等差数列其公差为首项为故所以数列,,,,n,,,,n,,,,n,,,,,,,,,,n,,nn的通项公式为(an,,(),nnn,()解:设Tnn,,,,,,,,()()nnn,,,,,,Tnn,,,()()n,,当时式减去式n,,,nnn()()()Tnn,,,,,,,得,,,,,,n,,nnnn,,,,,,,,,,()()nnnT,,,(n()(),,,,,,nn()nn,,,,,nS,,a这时数列的前项和(n,,nn(),,nn(),nn(),na,,当时(这时数列的前项和(nT,S,,,,nnn例(高考全国文)设是等差数列是各项都为正数的等比数列且{}b{}annab,,ab,ab,()求的通项公式{}b{}ann,,an()求数列的前n项和(S,,nbn,,,,dq,abq,解:()设的公差为的公比为则依题意有且dq,,,,,nn,dq,,q,解得(d,所以andn,,,,()nnn,,(bq,,nan,n()(,,nbnnn,,S,n,,nnnn,,S,n,,nnn,,得S,,n,,nnn,,,,,,,nn,,,,,n,n,,,n,,n(,,n,三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)xfx(),例(豫南五市二联理)设函数的图象上有两点P(x,y)、P(x,y)x若,且点P的横坐标为OP,(OPOP)(I)求证:P点的纵坐标为定值并求出这个定值n*(II)若S,f()f()f()?f(),n,N,求Snnnnnn(III)略(I),且点P的横坐标为OP,(OPOP),P是的中点且xxPPxxxxxx,,yyxxxxx,,xx?,ypfff,,,,且,由(I)知xxxxnn,,,,,,,,,又,ffff,,,,,,,,Snnnnn,,,,,,,,()()得:nn,,,,,,,,,,ffff,,,,,,,,Snnnnn,,,,,,,,,,nnn,,,,,,,,,,,,,ffffffff,,,,,,,,,,,,S,,,,,,nnnnnnn,,,,,,,,,,,,,,,fnn,?,Sn四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解(裂项)如:a,,,()nn(n)nnn()()a,,,()nn,nn,n()()a,,,()等。nn(n,)(n)n(n)(n)(n),,,,,,,,,,例求数列的前n项和nna,,n,n解:设(裂项)nnnS,,,,则(裂项求和)nnn,(,)(,),,,(n,n),n,yfx,()例(高考湖北卷理)已知二次函数的图像经过坐标原点其导函数为',yfx,()数列的前n项和为点均在函数的图像fxx(),,{}aS(,)()nSnN,nnn上。的通项公式()求数列{}anm,nN,()设是数列的前n项和求使得对所有都成立的b,{}bTT,nnnnaann最小正整数m解:()设这二次函数f(x),axbx(a),则f`(x)=axb,由于f`(x)=x,,得a=,b=,,所以f(x),x,x,yfx,()又因为点均在函数的图像上所以,n,n(,)()nSnN,Snn当n时a,S,S,(n,n),,,,n,(n,),(n,)nnn,,nN,当n,时a,S,×,,×,所以a,n,()nb()由()得知,,,(,)n,,(n,)(n,),aan,nnnnb(,)(,)(,)故T,,,(,)n,i,,n,nni,mm,nN,因此要使(,)<()成立的m,必须且仅须满足即mn所以满足要求的最小正整数m为n评析:一般地若数列,,为等差数列且公差不为首项也不为则求和:a,naai,iinnnn,(,)首先考虑则=。下列求和:(,),,,,aadaaaadaaaaii,,i,iiiiiinnn也可用裂项求和法。,aa,iii五、分组求和法所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列也不是等比数列的数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差、等比或常见的数列然后分别求和再将其合并。,例数列{a}的前n项和数列{b}满S,a,b,,b,ab(n,N)nnnnnnn()证明数列{a}为等比数列()求数列{b}的前n项和Tnnn。,解析:()由S,a,,n,N,?S,a,nnnn,两式相减得:a,a,a,?a,a,n,N同a,知a,nnnnnnan同定义知是首项为公比为的等比数列{a}?,,nann,n,n,()a,,b,bb,b,,nnnnnb,b,,b,b,,b,b,,?n,等式左、右两边分别相加得:b,b,,nn,n,,n,n,b,b?,,,n,n,n,?T,()()()?(),(?)nnn,n=n,n,,n,nN,例求()Sn,,,,()解:当为偶数时nnn()Snnn,,,,,,,,,()()()()当为奇数时nnn(),Snnnnnnnn,,,,,,,,,,,,()()()()()()n综上所述(Snn,,()()点评:分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析找出数列的通项及其特征然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和是一个重要的方法例求,,,,,,之和,,,n个k,,,,,,,,(,)解:由于(找通,,,,,,,,个k个k项及特征),,,,,,,,,n个n,(,)(,)(,),,,(,)(分组求和)n(,,,),(,,,),,,,,,,,n个n()n,,,,,n,(,,n),a,,求(n)(a,a)例已知数列{a}:的值n,nnn(n)(n)n,na,a,n,()()()解:(找通nnnnnn()()()()项及特征),,(设制分组)(n)(n)(n)(n),,(,)(,)(裂项)nnnn,,,na,a,,,()()()()(分组、裂项求和),,,nnnnnnnnn,,,,(),,,

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