[复习]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上任意一点,求证BD CD =2AD
1、
如图,?ABC中,AB=AC,?BAC=90?,D是BC边上任意一点,求证BD?+CD?=2AD?
6、 在三角形ABC中,AB=AC=m,P为BC上任意一点,则PA?+PB*PC的值为多少,
解:过点A作AN?BC于N。(不妨设P在NC上)
AP^2+PB*PC=AB^2-BN^2+(NC-PC)^2,PB*PC=m^2-BN^2+BN^2+PC^2-2BN*PC+PB*PC=m^2+PC(PC-2BN+PB)=m^2{三角形是等腰三角形}
7、 在三角形ABC中,BC=6,AD是BC边上的中线,交BC于点D,AD=3,AB+AC=8,
则三角形ABC的面积是_____
解:
?AD是中线,BC=6,AD=3
??BAC=90?
?BA?+AC?=BC?=36
?AB+AC=8
?AB?+2AB*AC+AC?=64
?2AB*AC=64-36=28
AB*AC=14
1/2AB*AC=7
??ABC 的面积=7
8、 在三角形ABC中,AB=5,AC=13,高AD=12,则三角形ABC的周长是__42或32___
9、 在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE垂直于AC于E,PF垂直于BD于F,则PE+PF
等于多少,
解:假设AC、BD的交点是O,连接PO
S?APO,(1/2)AO*PE
S?DPO,(1/2)DO*PF
所以 PE+PF,2S?APO/AO + 2S?DPO/DO 根据勾股定理,AO,DO,5/2
所以 PE+PF,(4/5)*(S?APO+S?DPO),(4/5)*S?AOD,(4/5)*(3×4?4),
12/5
10、E为正方形ABCD的边AB上一点,AE=3 BE=1 P为AC上的动点,则PB+PE的最小值等于多少,
解:两点之间直线最短
在AD上做AF=AP=3
连接FB
这时P点是PB+PE的最小值的点,应该是 根号下(3^2+4^2)=5
11、 如图:已知DE=m,BC=n, ?EBC与?DCB互余,求BD?+CE?
解:沿BE和CD做一延长线交点为A.因为?EBC+?DCB=90?.所以,?BAC=90?
所以BD2=AB2+AD2 CE2=AE2+AC2 所以CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2
又有?EAD=?BAC=90?所以AB2+AC2=BC2=n2 AE2+AD2=ED2=m2
所以有BD2+CE2=m2+n2 12、 已知:?ABC中,?ACB=90?,AC=BC,P是?ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,
求?BPC的度数。
解:将?CPB绕点C逆时针旋转90度得到?CP'B,连接PP' 所以?CPB全等于?CP'A
所以CP=CP' BP=P'A ?PCB=?P'CA
所以?PCB+?ACP=?P'CA+?ACP
因为角ACB等于90?所以角P'CP等于90?
在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45?
因为CP=CP'=2
所以PP'等于2倍根号2
因为AP'=BP=1 AP=3
所以PP'等于根号下AP的平方减AP'的平方
PP'等于2倍根号2
所以角AP'P=90?
所以角CPB=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90?+45?=135? 13、 如图,CD是?ABC的中线,CN=MN,求证AM=CB。
14、 (1)如图1,把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线
上(CG>BC),取线段AE的中点M,探究线段MD,MF的关系,并加以证明。
(2)将正方形:,,,绕点:旋转任意角度后,如图3,,其他条件不变,
探究:线段,E与,,的关系,并加以说明,
解:(1)线段MD、MF的关系是MD=MF,DM?MF。
延长DM交CE于N,连结FD、FN。由正方形ABCD,得AD//BE,AD=DC,所以?DAM=?MEN。 因为AM=EM,?AMD=?E(……隐藏……)8。因为?7+?DCF=?8+?FEN=90?, 所以?DCF=?FEN,易得?DCF??NEF,所以FD=FN,?DFC=?NFE。由?CFE=90?,得?DFN=90?, 所以MD=MF,DM?MF。
15、 矩形ABCD中,AB=20,BC=10。若在AC,AB上各取一点M,N,使BM+MN
的值最小,求这最小值。
解:遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B点关于AC的对称点E,连接AE交CD于F,连接CE,过E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,连接MB,所以BM,MN,NM,EM,显然EN垂直AB时值最小(
由于CEF为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜边高EG=6,所以EN=BC+EG=16.
12、已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数),正?PAE的顶点P在正方形内,顶点E在边AB上,且AE=1. 将?PAE在正方形内按图1中所示的方式,沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次,使顶点P第一次回到原来的起始位置.
(1)如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上,那么这DC一翻转过程可以看作是?PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是
k=1时,?PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探
索:若k=1,则?PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时,P顶点P第一次回到原来的起始位置.
AEBDC图1 P
ABC(E)ADBCDABCDADBCAB
图2
(2)若k=2,则n= 时,顶点P第一次回到原来的起始位置;若k=3,则
n= 时,顶点P第一次回到原来的起始位置.
3)请你猜测:使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系(请用含(
k的代数式
表
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示n).
分析:这是一道面动滚动型问题,正?PAE在滚动的过程中,第1次以点E为圆心,第2次以点P为圆心,第3次以点A为圆心第4次又以点E为圆心……,每3次成循环,而半径始终为1。而把四边形展开顶点A、B、C、D、A……,每4个成循环。故问题1转化为求3与4的最小公倍数即12;问题2中,三角形每转2次,顶点才会重合一次,故需24次;问题3中,三角形每转3,顶点A便会与四边形的下一个顶点重合,故仅需12次;
总结
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一、二两题的规律,可归纳得出第3题的结论。
解:(1)12次(2)24次;12次(3)当k是3的倍数时,n=4k;当k不是3的倍数时,n=12k.
16、 设x、y为正实数,且X+Y=4 。 求根号下X的平方加1
加上根号下Y平方加4的最小值, 解:解:令T=?(x^2+1)+?(y^2+4)
则T>0
T^2=x^2+1+y^2+4+2?(x^2+1)(y^2+4)
=x^2+y^2+5+2?(x^2y^2+4x^2+y^2+4)
因为x+y=4 所以(x+y)^2=16 即x^2+y^2=16-2xy
因为x,y都是正实数 所以 4x^2+y^2?4xy(当且仅当2x=y时取等号) 所以T^2?21-2xy+2?(x^2y^2+4xy+4)
=21-2xy+2?(xy+2)^2
= 25
因为T>0,所以T?5(当且仅当2x=y时取等号)
即最小值是5。(此时x=4/3,y=8/3)
13、正?ABC的边长为3厘米边长为1厘米的正
?RPQ的顶点R与点A重合点PQ分别在ACAB上将?RPQ沿着边ABBCCA顺时针连续翻转直至点P第一次回到原来的位置则点P运动路径的长为 CM
解:在AB上翻转时,是两段半径为1,圆心角是120度的弧。 在BC上,CA上也一样。
一共6段,长为3.14*2*1*2=12.56厘米 17、 在菱形ABCD中,AD=BD=6,点E是AD上的一点,AE=2,点P是对角线BD上的一个动点,
则PA+PE的最小值。