特征方程法求数列的通项公式
九江市教研室 林健航 求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通
项公式的一种有效途径.
aab,，*ncadbcnN,,,0,,1.已知数列满足......? 其中. a,a,,n，1ncad,，n
axb，定义1:方程为?的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为. ,,,ax,,,ncxd，
aa,,,,ac,,nn，1,,,,a定理1:若且,则. ,,,,,1aaca,,,,,,nn，1
axbadb，,2证明: xcxdaxb()0,,,,,,,，,,,,，,,,cxdcc，
？,,，,,dacbc(),,,,,
aab，n,,()()()()acadaabcadacabd,，，,，,，,,,,,，1nnnnn ？,,,aab，()()()()aaabcadacabd,，,，,，,,,,,n，1nnnn,,cad，n
()[()]()()acacaccacaac,，,,,,,,,,,,,,,,,,nn ,,()[()]()()acacaccacaac,，,,,,,,,,,,,,,,,,nn
a,,ac,,n 证毕 ,,aca,,,,n
121c,,,,a定理2: 若且,则,，. ad，,01,,,，,aadann，1
2dacbc,,,,2,,,证明:
cadcad，，11nn ？,,,aab，,,,,()()()aaabcadacabd,，,，,，,n，1nnnn,,cad，n
caaccaaccaac，,，,，,222,,,nnn,,, 22ad，()(2)()()acacacaca,,，,,,,,,,,,nn()a,,n22242(2)2()()caaccaacdcaad，,，,，,，，,,,nnn,,, ()()()()()()adaadaada，,，,，,,,,nnn
21c 证毕 ,，,，,adan
aaab,,,例1: (09?江西?理?22)各项均为正数的数列,,且对满足amnpq，,，,,12n
aa，aa，pqmnmnpq,,,的正数都有. ,(1)(1)(1)(1)，，，，aaaamnpq
14a(1)当时,求通项;(2)略. ab,,,n25
aa，aaaa，，aa，pq121nn,mn解:由得 ,,(1)(1)(1)(1)，，，，aaaa(1)(1)(1)(1)，，，，aaaa121nn,mnpq
21a，14n,1将代入上式化简得 a,ab,,,na，225n,1
21x，考虑特征方程得特征根 x,x,,1x，2
21a，n,1,1aaa,，,1211nnn,,11所以 ,,,21a，aa，，131n,1nn,1，1a，2n,1
,,a,1a,111n1所以数列是以为首项,公比为的等比数列 ,,,,a，13a，131n,,
na,131,111nn,1na,故,,,,,()() 即 nn，a，133331n
1*aaanN,,,,例2:已知数列满足,求通项. 2,2,a,,nn1na,n1
1解: 考虑特征方程得特征根 x,,2x,1x
a1111n,1,,,,， 111,,,111aaannn,,11,,,(2)11aann,,11
,,11所以数列,1是以为首项,公差为1的等差数列 ,,a,1a,11n,,
1n，1,n故 即 a,na,1nn
acaca,，cc,2.已知数列满足......? 其中为常数,且a,,nnn，，211212n
*cnN,,0,. 2
2xcxc,，,,,定义2:方程为?的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为. a,,1212n
abb,，,,,11122nnabb,，,,,,,bb,定理3:若,则,其中常数,且满足. ,n1122121222abb,，,,21122,
abb,，(),,112nabbn,，(),,,,,,bb,定理4: 若,则,其中常数,且满足. ,121212n2abb,，(2),212,
aaaaa,,,,1,2cos,2cos,,a例3:已知数列满足,求通项. a,,1221nnn，，nn
2xx,,2cos1,,,,,,,,，,,cossin,cossinii解: 考虑特征方程得特征根 12
nnabibibbnibbn,，，,,，，,(cossin)(cossin)()cos()sin,,,,,, 则 121212n
bb，,0,12,,1()cos()sin,，，,bbibb,,sinn,1212 其中 ,,,a1,,nibb(),,2cos()cos2()sin2,，，,bbibbsin,,,,121212,,sin,,
aaaaa,,,,2,8,44a例4:已知数列满足,求通项. a,,1221nnn，，nn
2解: 考虑特征方程得特征根 xx,,44,,2
nabbn,，()2 则 12n
2()20bbb，,,,,121n 其中 ,,,an2,,n4(2)81bbb，,,122,,
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