[训练]初三数学圆知识点
总结
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初三数学 圆知识点总结
一、本章知识框架
二、本章重点
1(圆的定义:
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆(
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合( 2(判定一个点P是否在?O上(
设?O的半径为R，OP,d，则有
d>r点P在?O 外;
d,r点P在?O 上;
d
表
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示(在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I
(2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示(
(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示(
(4)垂心:是三角形三边高线的交点(
6(切线的判定、性质:
(1)切线的判定:
?经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线( ?到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线( (2)切线的性质:
?圆的切线垂直于过切点的半径(
?经过圆心作圆的切线的垂线经过切点(
?经过切点作切线的垂线经过圆心(
(3)切线长:从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长(
(4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角(
7(圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角(
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等(
8(直线和圆的位置关系:
设?O 半径为R，点O到直线l的距离为d( (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R( (2)直线和?O有唯一公共点直线l和?O相切d,R( (3)直线l和?O 有两个公共点直线l和?O 相交dr)，圆心距( (1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部
外离d>R，r(
(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d
分析
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:要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上
再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然
后从中观察规律(
解:
连结OP，
P点为中点(
小结:此题运用垂径定理进行推断(
例2 下列命题正确的是( )
A(相等的圆周角对的弧相等
B(等弧所对的弦相等
C(三点确定一个圆
D(平分弦的直径垂直于弦(
解:
A(在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确(
B(等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确( C(三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆( D(平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦( 故选B(
例3 四边形ABCD内接于?O，?A:?B:?C,1:2:3，求?D(
分析:圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等(
解:
设?A,x，?B,2x，?C,3x，则?D,?A，?C,?B,2x(
x，2x，3x，2x,360?，
x,45?(
??D,90?(
小结:此题可变形为:四边形ABCD外切于?O，周长为20，且AB:BC:CD,1:2:3，求AD的长(
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法:将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30?的三角板和一个刻度
尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以
求得铁环半径(若测得PA,5cm，则铁环的半径是
__________cm(
分析:测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切
线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进
点作直线OP?PA，再用三角板行合作解决，即过P
画一个顶点为A、一边为AP、大小为60?的角，这
个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解(
解:
( 小结:应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型(
例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB,16，求两圆的圆心距( 解:分两种情况讨论:
位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，(1)若
连结，则垂直平分AB，?(
又?AB,16
?AC,8(
在中，(
在中，( 故(
(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线
与AB交于C，连结(
?垂直平分AB，
?(
又?AB,16，
?AC,8(
在中，(
在中，( 故(
注意:在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题(
三、相关定理:
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等)
说明
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:几何语言: 若弦AB、CD交于点P，则PA?PB=PC?PD(相交弦定理)
例1( 已知P为?O内一点，，?O半径为，过
P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式
为 。
解:由相交弦定理得，即，其中
2.切割线定理
推论:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明:几何语言:若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA?PB
例2( 已知PT切?O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解:设TD=，BP=，由相交弦定理得:
即 ，(舍)
由切割线定理， 由勾股定
理，
? ? ?
四、辅助线总结
1.圆中常见的辅助线
1)(作半径，利用同圆或等圆的半径相等( 2)(作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明(
3)(作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算(
4)(作弦构造同弧或等弧所对的圆周角(
5)(作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角( )(遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角( 6
7)(遇到切线，作过切点的半径，构造直角( 8)(欲证直线为圆的切线时，分两种情况:(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径( 9)(遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点( 10)(遇到三角形的内心，常作:(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点(
11)(遇相交两圆，常作:(1)公共弦;(2)连心线( 12)(遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线( 13)(求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边(
2、圆中较特殊的辅助线
1)(过圆外一点或圆上一点作圆的切线(
2)(将割线、相交弦补充完整(
3)(作辅助圆(
例1如图23-10，AB是?O的直径，弦CD?AB，垂足为E，
如果AB,10，CD,8，那么AE的长为( )
A(2 B(3
C(4 D(5
分析:连结OC，由AB是?O的直径，弦CD?AB知CD,DE(设AE,x，则在Rt?CEO中，，即，则，(舍去)(
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
:A(
例2如图23-11，CA为?O的切线，切点为A，点B在?O
上，如果?CAB,55?，那么?AOB等于( )
A(35? B(90?
C(110? D(120?
分析:由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道?AOB,2?BAC,2×55?,110?(答案:C(
例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( )
A( B( C( D(
分析:圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长;另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即(答案:B(
例4 如图23-12，在半径为4的?O中，AB、CD是两条
直径，M为OB的中点，延长CM交?O于E，且EM>MC，连
结OE、DE，(
求:EM的长(
简析:(1)由DC是?O的直径，知DE?EC，于是
(设EM,x，则AM?MB,x(7,x)，
(所以(而EM>MC，即EM,4(即
例5如图23-13，AB是?O的直径，PB切?O于点B，PA交?O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交?O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程
(其中m为实数)的两根( (1)求证:BE,BD;
(2)若，求?A的度数(
简析:(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得
，则m,,2(所以，原方程为
(得(故BE,BD(
(2)由相交弦定理，得，即(而PB切?O于点B，AB为?O的直径，得?ABP,?ACB,90?(又易证?BPD,?APE，所以?PBD??PAE，?PDC??PEB，则，，所以，所以(在Rt?ACB中，，故?A,60?(
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