非平面载流线圈的磁矩

非平面载流线圈的磁矩 非平面载流线圈的磁矩 康垂令 ()江汉石油学院物理教研室, 湖北荆州 434102( )收稿日期: 1997208220 摘 要 本文定义了非平面载流线圈的磁矩, 计算了它在均匀磁场中所受的磁 力矩, 并举例计算了线圈的磁矩和磁力矩. 关键词 非平面载流线圈; 磁矩; 磁力矩 THE M A GNET IC M OM ENT O F A NO NPL A NA R CURRENT LOO P Kan g Chu il in g ( ), , , 434102, P h y sic s T each ing and R e sea rch G ro up J iangh an P e t ro leum In st itu teJ ingzho u H ube i C h ina A bstra c t In th is a r t ic le th e m agn e t ic m om en t o f a no np lan a r cu r ren t loop in a rb i2 , t ra ry sh ap e is def in ed th e ca lcu la t io n o f th e m om en t o f fo rce o n th e loop in a u n i2 , fo rm m agn e t ic f ie ld is g iven an d an ex am p le o f th e ca lcu la t io n s fo r th e m agn e t ic .m om en t o f a p a r t icu la r loop an d th e m om en t o f fo rce o n it is p ro v ided ; ; Key W ord s no np lan a r cu r ren t loop m agn e t ic m om en tm om en t o f m agn e t ic fo rce 载流线圈的磁矩是根据它与电偶极子的 1 任意载流线圈的磁矩 相似之处而引入的. 一方面它产生的磁场等 效于有两个磁极的磁铁产生的磁场; 另一方 设想有一任意形状的载流线圈 L , 如图 1, 它可以是一个平面线圈, 也可以是一个非面, 它在均匀磁场中受力与受力矩的情况与 电偶极子在均匀电场中受力与受力矩的情况 相似. 然而就笔者所见到的教材, 都只定义了 平面载流线圈的磁矩 P m ()P= IS n 1 m 的法线单位矢其中 为电流 所围面积 n I S 量, 其方向与 I 的走向满足右手螺旋法则, 然 而与电偶极子的这种相似性不仅平面载流线 圈有, 非平面载流线圈也有. 也就是说, 也可 图 1 以定义一非平面载流线圈的磁矩. 笔者在此 定义的载流线圈的磁矩, 它既适用于平面载 可以不 平面线圈. 线圈内的电流为 I , 由于 L 流线圈, 也适用于非平面载流线圈. ( ) 在一个平面内, 就不可能如式 1定义磁矩. () ()矩时式 7蜕化为式 1. 但是如果在 上取一长度无限小的电流元 L , 就可以认为它是一个直线段电流, 它与 I d l任选两点 O 、O ′, 电流元 I d l 相对于 O 、 坐标原点就组成一个平面. 将 的两端点 O d l ( ) ′的矢量分别为 、′如图 2, 根据矢量加 O rr 、与 点相联, 就成一个三角形回路, 并 A C O 设电流的流向沿 与 中电流的流 , OA CO I d l 向一致, 这就成为一平面载流线圈, 就可以按 () 式 1给它定义一个磁矩 dPm ()dP = I dS n 2 m dS 式中 dS 是三角形 OA C 的面积, n dS 是 dS 面 图 2 的法线单位矢量. 显然可以将 写成 ,dS n dS dS 于是这个电流元 与坐标原点组成的三角 I d l 法的性质, 有 形载流回路的磁矩为 ()r = OO ′+ r ′ 8 ()P= d3 I dS m () 将其代入式 7, 得: 将 分成无数个无限小的线段元, 每一小段 L 1 () r ′ × d l P= I OO ′+m 都可以认为是一直线段, 它们都可以与坐标 ? 2 l 原点 组成三角形回路, 都可以以 的电O I d l 1 1 = I OO ′×Ir ′× d l d l + ? 2 ?l 2 l 流流向为准组成一个闭合的三角形平面载流 线圈. 从图 1 可以看出, 回路 与回路 OA CO 1 ()9 = Ir ′× d l 中的 上的电流由于流向相反可以 O CDO O C 2 ?l 相互抵消. 所以, 可以得出相邻的三角形闭合 上式的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 应用了矢量积分d l = 0 的结?l 线圈在与原点 的辅助联线上的电流全部 O () 相互抵消, 剩下起作用的只是回路 上的电 果. 此式说明式 7与点的选取无关. L () 流, 由此可以把由式 3定义的每小段电流元 () 对于平面载流线圈, 由于式 7与点的 与原点 组成的三角形载流线圈的磁矩I d l O 选取无关, 所以为了方便起见, 一般将O 点选 相加, 即矢量积分dP ( ) 4 dPm = I dS?? l 定义为载流线圈 L 的磁矩 Pm. 对于电流元 与坐标原点组成的三角 I d l 形载流线圈, 其面积 应为dS 1 ()5 dS = rd l sin Η图 3 2 式中 Η是矢量 r 与 d l 正方向的夹角, dS 的方 () , 如图 3. 此时, 由式 7得出 在线圈平面上 向与 ×的方向相同, 所以r d l 1 1 P= r × d l = m IIrd l sin Ηn ?? 1 2 l2 l ()6 dS = r × d l2 ()10 于是, 任意形状的载流线圈 的磁矩为 L式中 n 是单位矢量, 其方向是 r ×d l 的方向, 1 ( ) 对 于图 3中的所有电流元, 的方向相同.n ( ) P m = I dS = I r × d l7 ?? l 2 l 1 () 由式 5可知, 与 点组成三为 rd l sin Ηd l O () 下面我们证明式 7具有普遍性, 先证式 2 () . 于是式 10变为 角形的面积 dS() 7对任一点都成立, 再证在求平面线圈的磁 () 于是式 14变为 ()P= I dS11 n = m IS n ?s M = dM() 此式与 1式完全相同. ?l ( ) = ?Pm 1 × B + ?Pm 2 × B这就说明以式 7定义的载流线圈的磁 + + 矩 是普遍适用的.?Pm i × B +Pm (= ?Pm 1 + ?Pm 2 +2 任意载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩 ) () 16 + ?P m i +× B 写成积分的形式, 有 设想载流线圈 在均匀磁场 中, 它受 LB 的安培力 F m()dP× B = P× B17 M = m m ? l ( ) F = d l× B I d l × B =m I 与坐标的选取无 ?l 值得指出的是, 因 Pm ?l ()12 , B 又为均匀磁场, 故 M 与 O 点的位置无 关 关.因d l = 0 而为零. 相对于某一点O , 线圈L 所 ?l () 由此可以看出, 按式 7定义了任意形状 受的磁力矩应是所有电流元 I d l 所受磁力矩 ( ) 可以是非平面载流线圈 的磁矩以后, 它 L 在均匀磁场中受的磁力矩与平面载流线圈在 dM 的矢量和. 为了便于讨论, 将每个电流元标 均匀磁场中受的磁力矩的表达式相同, 等于 , 所受磁力矩标记为 记为 I ? l1、I ? l2、 I ? li、载流线圈的磁矩 与均匀磁场的磁感应强 Pm , 线圈L 所受的总磁力矩 ?M 1、?M 2、 ?M i ,度 的矢量积.B 为 下面举一道例题计算载流线圈的磁矩及 M = ?M + ?M 1 2载流线圈在均匀磁场中所受的磁力矩. ?M + + + = dMi 例 如图 4, 将一半径为 的圆形线圈 R ?l 沿一直径 弯折成直角, 坐标原点在圆心 A C ()13 为 轴, 线圈的电流为 , 均匀磁场 , O A C z I B 设想从 点向每个电流元 的矢径 上 O I ? li r i 有径向电流和逆径向电流流过, 其电流为 , I 等效于 上没有电流流过, 但这些径向与逆 r i , , 平行于 x y 平面 且与 x 轴的夹角为 Α 求此 径向电流相对同一点在磁场中就要受到相反 线圈绕 O 点的磁力矩. 力矩的作用. 对于第 i 个矢径 r i 径向电流产 生的磁力矩为M i , 逆径向电流产生的磁力矩 为 - , 合 起 来 受 的 磁 力 矩 为 零. 于 是 式M i () 13可以写成 M = dM ?l ) (= M + ?M + M 1 1 M 2 +2- 图 4 ) (M ++ M + ?M + -3 i 2 () ()+ ?M + -M +14 i 解i+ 1 如图 4, 当 I d l 在 x z 平面内时, 有 ) (其中+ + - 是第 个电流 r = R co sΗi + R sin ΗkM i ?M i M i+ 1 i d l = - R sin ΗdΗi + R co sΗdΗk组成的平面三角形载流闭合 元 I ? li 与点 O 当 I d l 在 y z 平面内时, 有 线圈对同一点受的磁力矩, 它应为 r = R co sΥj + R sin Υk) (M + ?M + - i i M i+ 1 = ?P m i × B d l = - R sin Υd Υj + R co sΥd()15 Υk ( )所以, 此非平面线圈的磁矩为 d l r r B ) ((co sΗdΗk R B co sΑco sR 1 = - R sin Ηd Ηi P= r × d l m I2 2 ? )2 lΗ ( += - B R co sΑsin Ηco sΗdΗi - co sΗd 1 ) Ηk r × d l + r × d l = I ?l?l 2 12( )B r d l r 2 2 j i k () = B co sΑi + B sin Αj r() - Πƒ2 R sin Ηco sΗdΗ+ R sin Ηco sΗd Η= 1 I= R co sΗ0 R sin Η 0 所以? 2 - Πƒ2Πƒ2 - R sin Ηd0 R co sΗd2 -B R co sΑ rM 1 = IΗ i k Η? - Π2 ƒ- 2 Πƒ2 j + 0 R sin Υ( sin Ηco sΗdΗi - co s Ηd Η?Π2 ƒ)k R co sΥR co sΥd 0 1 2 = ΠR IB co sΑΠ2 ƒ Υ 2 - R sin Υd1 2 2 2 2 () () k = - j R co sΗ+ R sin Ηd I?- Πƒ2 2 对 平面内半圆载流线圈受的磁力矩y z Υ Η- Πƒ2 2 2 2 2 与M 1 相同的计算法, 并根据图 4 所示的 d l、 () + i R co s Υ+ R sin Υd?2 Πƒ、, 、的关系rB ΥΑΥ 1 2 有 ( )ΠR I + i = - j ( ) ( ) M 2 =I d lr B - B r d l ] rr 2 ? l2 它所受的磁力矩为 - Π2 ƒ ) (= I [ - R sin ΥdΥj + R co sΥdΥk = P× B M m Πƒ2 ? k i j rR B sin Αco s1 2 1 1 0 = - ΠR IB- 2 ΠƒΥ 2 () - I B co sΑi + B sin Αj r co sΑsin Α0 Πƒ2 ? 1 2 2 2 () = ΠR IB co sΑ- sin Αk() - R co sΥsin Υ+ R co sΥsin Υ2 Π2 - ƒ dΥ2 如果换用求每个电流元所受磁力矩的矢 = I- B R sin Αr? Πƒ2 量和, 应如下进行: 2 ( sin Υco sΥdΥj - co s Υd在 平面内半圆载流线圈受的磁力矩 x z )Υk 1 2 为 I ΠB R sin Α= - 2 M =dM = r × dF 1 mk ?l1 ?l1 故此非平面载流线圈所受磁力矩为 1 2 ( ) =r × I d l × B() M = M + M = I ΠB R co sΑ-sin Α k 1 2 ?l1 2 ( ) 其 结 果 与 用 式 7 算 出 的 磁 矩 及 用 式 ( ) ( ) Pm =I dl r r B - B r r d l] ?l1 ( ) 17算出的磁矩在均匀磁场中受磁力矩 M根据图 4 所示的 d l、r、B 与 Η、Α的关系, 注 的结果完全相同.意 到 = + , 有 B B co sΑiB sin Αj