【doc】极小值原理的证明与探析

【doc】极小值原理的证明与探析 极小值原理的证明与探析 第21卷第1期武汉冶奎科技太学Vo1.21,No.1 1998年3月JournalofWuhanYejinUniversityofenceandTechnologyMar1998 …的 睇高垫盔 (研) 摘要培出了关于庞特里雅垒极小(极大)值原理的简洁证明.以变分法为主要依据,直接得出确 定型非线性叶变系统某Bolza开{式性能指标条件下谊原理的奎部结论.对某些文献在该原理证日月 中的一些不正确或不确切提法陈进了己见.提出并证明了在附加某些条件后.极小值原理可以作 为邻域最优控制的充分条件. 关键词最优控制;极值原理j充要条件 中图分类号0232 1956~1958年,庞特里雅金(IIOHTPYIFIIH.已)等前苏联数学家提出并严格证明了着名 的"最大原则,为最优控制理论奠定了一块基石.40年来,工程界力图用不太艰深的数学语 言重新表述和证明该原则.][]. 本文旨在对现在泛称"极小值原理"的上述原则提供一个简洁证明,提出并论证该原理在 附加某些条件后,亦是邻域最优控制的充分条件. 1必要性命题及其证明 1.1表述,注释,假设 J,i,i表述 Bolza形式性能指标: . ,)一0[x(0)]+l(),n"),]vEn(1) Jn s.t.(f)一O(f),n(f),,]x(t.)一.?(2) 取极小值的(f)应满足: H(f)垒H,,n',]??,,n,f]VnEnVtE[.,,](3) 1.1.2注释 0为容许控制n0)的一个闭集合;.,t,是固定始端,终端时刻: n垒{n(fj:n(f)?RNE[,is]n分段连续向量Ng(),]?0}(4) 所谓分段连续向量,是指除在有限个间断点半连续()一n(f一)或n(f+)]以外,处处连续 的函数向量 收稿日期;1997—08—3O 高越表,男.1936年生,教授;武汉.武汉冶金科技太学工业自动化系(430081). H()?n?是式(1)在式(2)约束下取最小值的最优控制.H()?n.(f).(,)]?是 相应于容许[最优]控制H(f)(f)]式(2)的唯一解.称作状态[最优状态]向量(轨线)协态变 量(f)?是协态方程(5)的唯一解. A(t)=一 tit"d(5)(,,,… 定义哈密尔顿函数HEx,,H,]垒虻,",f]一,,",f] 1.1.3假设 (1)标量函数向量函数f均为各自宗量,H,f的连续函数,且跚,,/船,/ 存在,是,的连续函数0是x(t)的可徽函数. (2)fix,H,f]在的零点对满足一致(大)李I,希茨(Lipschitz)条件,即M>O.L>O 使- IjfEx,H,]一fl-o,H,]lj?Mljlj V?{RnEIJIr?工]}V"E-nVE-.,,](6) 1.2证明 1-2-1求证II(f)有界 证明:因为H,f均有界,所可设,0,H,z]lI的上界为Mo又因为 ?IIiIJ=11fE??rlfEX,lg,t]一fFo,]II.. II,[0.H,]II?MII}1+^. 所II()IJ?[IIil+Mo(t厂一,.)]expM(t,一)Vf?Eto,"]证毕 1.2.2求证fix,H,f]对满足一致李I希茨条件 证明:定义垒"一".垒一,因IJ()jI有界,故II,,",f]II,IIII, IJ,",]II,II翌 get" I{在[f..f,]上均连续,因而有界,其上界分别依次记为M,,, (>O),按拉格朗日(Lagrange.)中值定理: llfE+,",]一fEx,u,t]II—Ir[]II?II如II V,占VH?nVt?I..1f3(7)证毕 按微分方程解的存在性,唯一性定理,(f),(f)存在,唯一, 一 致连续且分段可微 1.2.3求证引理 引理:若Vr?Et,f+?]妇(r)=0,则II如Ir垒 ,. Ir如(f)II是?的同阶无穷小. 证明:?Irdx一 等II=II,+,+妇,]一,-.*.f]Ir? 慨8,『1+IIfix,H+.f]一fEx,H,f]『1?^如lj+6() .c垒{.MIo:tcs【lf.+], 对式(8)分段定积分,得Ir如(?)li?2Mxp[M.(,一f.)]V?[.f,].引理证毕. 1.2.4构造J(H)并推导?,)的表示式 一 ,1(")垒,(")+{If一.r]dt?,1(H)垒.,1(H)一.,1-)(9) 在式(2)约束下,.,(n)与,(")完全相等.由式(9),式(5)得 (")=(=)(1f)+[+AH(n+o(1lh11)(10) 式中:AH(t)垒H(,),A(t),H(f),f]一H(f) ? ra 孤 il]~-堑一 dx]一cj一一t?J 式(1o)化简为 (")!~sI?'FOHJ7ax+?H(f)+.(缸(11) 1.2.5求证式(3) 证明:因为口(f)是最优控制,所以. 1(")?0Vn?n(12) 同时反设存在()?n,?垒1f:f?-t.,,]NH(,)连续},使 AH0)一H[x(),^(),(i),I]一H'(i)一,#<0(13) 因为已设?(f)在连续,H[x(f).(f),(f).f]在至少半连续,所以必存在一个包含 的区间[f,t+s]m[如,,,],(等于f或f+凸),使 AH(I)<一?Evf?,f+] 选择(r)如下: fnrE[,,,?] 1(r)r?Et,t+?] ?.,1(i)一vIA[oH缸+HI,^,,f]一H(f))df+.(1l缸ll)(14) 因为vf,f+凸式(14)的被积函数为零,且aH/Ox?+(,),所以 .()一I{H[x(r),(r).(r),r]一日(r))di+o(d) 由式(13),得?.,()<一?凸+o)(15) 当?充分小时,式(15)与式(12)矛盾,所以 ?H(f)?0V"?nVf?(16) 在n(f)的连续点上H(f)连续;断言:在n(,)的半连续苣如上H(f)亦连续.反设 H(f一)一H(+)一E1>0(17) 在左邻域必存在f,使n'(f)在[f)连续. H一(,1)垒H(),^(,1),"(d+),,1] H,("一)=H(fd).(),n(f?),f]--H(f?) H,")和?(f1)均是f的连续函数,必存在一充分小的(f—f),使 lH,(r1)一日(r?)l<E1,2lH(f1)一H(ta一)l</2(18) 由式(17),式(18)得H(f)一日,()>0,反设不成立.同理,否定H(,一)<H(f?)所以, H(,一)--H(?)Vf?[,.,].[f.,If],式(16)即式(3). 必要性命题证毕. R6 附:H()=H*(f,)一fd关系式的推导. 在H()连续的区间内,任取t.t两点,令 f=(f一t) H(t1)?H'(tlj,(f1),"(,)]=H(f)+丝+o() 同理H-(f)?H)(,),^(f).Ht?,z]:H(一+o:f血) &一?f)l?[H'(f)_f)?+)I 持极限存存准则. 妞0一;旦一垡:2d一a 因此,H(f)连续且分段可微对上式作分段定积分,推导完成. 2充分性命题及其证明 2.1命题 设H(f)满足式(3),OH/.H'/御存在,对某个J?[1,2,…r]和某个t.?[",t, 洲'(.)/抛,?O则V"(f)?n垒{nn妇(.)?o),"(f)是其邻域最优控制. 2.2证明. f1)求证:与妇.相应的l缸.l是Ill妇.Ildt即.的同阶无穷小.J0 证明:定义以.抛,"?n.困为洲'/存在,所(.H.t)/存在,有界,将其上 界记为慨>0,故 ,,H+,f]一,,",]:? VH.?nV?[,,] d_?II.II+II II8x.IH?M[;Ib'u.}1dt3expE恤(,一t.)](19) 证毕. c2J求证:Ill','-)雌叫的高阶无穷 证明;因为H/缸存在,必存在M>0,使 II?II?il妇.』V.?nVf?[f,] oxIar? 证毕. (3)求证:"是邻域最优控制,即存在>0,使?,()>ov口?(0,口z)vH?n. 证明:令aHtf)/=[矗1,k一,] d?.(.)=?'.,.,f.], H-(.):?,(to)(f.)十.(II抛.(to)If) 因为Vn?n式(3)成立,所以 1(.)d"(.)?0V?(1,2.…) ?H.()=25nl,".)ll"()l_-o()2cLBt0(口) 1?Ik(to)I(to)I>. 因而必存在d1>O.使凸H.(.)?口BV口?(0.口1). 因为?H.()是t的分段连续函数,所以必存在Et,].,.?[f,t~],cEto,f,),使 2,H.")?去B.V,C-[f,"]V.?(o,n) 由式(11),式(19),式(2O)得: 盘.,(n.)f?H.(f)df+0(口)?f?H.(z)出+o(.)?垡型占n+o(.)JJ 因而必存在q>O,使 ,1()>0V口?(0,2) 充分性命题证毕. 3结论与商榷 3.1结论 仅咀变分法为主要数学手段,是可以完成对极小值原理的简洁而较严格的证明的.本文的 特点是:(1)证明直接针对非线性时变系统;(2)证明了该原理在整个Eto,,]上普遍适用}(3)证 明了极小值原理可以阼为邻域晟优控制的充分条件 3.2商榷 (1)通过威尔斯特拉斯(Weierstrass)E函数证明极小值原理n]是E?0系A,(")? 0的充分条件为依据的.但是将在c上的Eix,.p,)换成E(,i,P,,)却是牵强的.文献 Es]甚至还由此得出了极小值原理就是整体最优控制充分条件的结论.在任意c与c的交点 上利用E?0证明必要条件,理由灾充分因为积分不小于零并不一一定意味着被积函数在每 一 点都不小于零,文献E43令c:c亦同样无济于事.因此,这类证明均是不成功的] (2)文献:3]第347页上写道:"这些条件(即极小值原理诸条件——作者注)实际上是邻 域最优化的必要条件"文献E43第63页中再次强调指出的也是同一观点.但是,本文所强调的 恰恰相反:在n的整体里的任一控制n(f)如果不满足极小值原理,必然不是最优控制. (3)文献ET]认为由函数的连续性知函数,对满足李I-希茨(Lipschitz)条件"(第47 页).这一观点,已谈某些教材袭用但在开区间的连续可微不足以保证满足该条件.令,(z) 等于?1一,?等连续或.,e等无限可微函数,不难看出,前者在z=0右邻域.后者z一 ..均不满足该条件 (4)文献E3],E4],E7]均认为,凡属可使H'(f)不取最小值的f,必是"的不连续点.文 献E2]亦有极值原理在"殆一切E成立的提法.本文按文献[1]第8页中的提示,从. 分段连 88 续"的定义上就规定"(f)至少是半连续的.从而得出极值原理在"一切r"上均成立的 结论.这 本来就已明白地写在文献1]第l6页上最大原则——定理1的表述里 参考文献 1庞特里雅金着.最佳过程的数学理论.陈祖浩译.上海:上海科技出版社,1995.7, 19 2关肇直,韩京清,秦化淑等编着.极值控制与极大值原理北京:科学出版社.1980 3MAthans,PLFalb.Optima[Contro1.McGraw--Hil1.Ine..1966.347--349 4枭寿康,张正方.最优控制.北京:电子工业出版社,l96443,47;62,63 5冯国楠.最优控制理论与应用.北京:北京工业大学出版社.1991.108--128 6刘豹主编.现代控制理论(第二版).北京:机械工业出版社.1999.244,250 7童谓生电气工程最优控制.北京:机械工业出版社.198948--54 8高越农.陈胜渡.用威尔斯特拉斯函烽论证极小值原理质疑.计算技术与自动化 (增刊)1977:48--99 TheProofofMinimumPrincipleandItsDeliberation GaoYuenong Abstract:Thispapergivesastrictproof,mainlybasedonfunctionalvariations,tothecele— bratedPontryaginMinimum(Maximum)Principleandcommentsonsomeanalogousproofs. Ithasputforwardaproposition,MinimumPrincipleisconditionallyasufficientconditionfor localoptimalcontro1.Aprooftothispropositionispresentedaswel1. Keywords:optimalcontrol;extremeextremeprinciple;sufficientandneeeesarycondition GaoYuenong,Professor;DepartmentofAutomation,WuhanYejinUniversityofScienceand Technology,Wuhan430081,China. 89