线性代数与微积分学问题与解法的渗透

线性代数与微积分学问题与解法的渗透 线性代数与微积分学问题与解法的渗透 第23卷第2期 2007年4月 大学数学 COLLEGEMATHEMATICS Vo1.23,?.2 Apr.2007 线性代数与微积分学问题与解法的渗透 米永生 重庆408003) (长江师范学院数学系, [摘要]通过典型的线性代数问题与微积分学问题,就其问题解法上的相互渗透进行探讨,初步揭示大 学理工科各专业的两门重要的基础课线性代数与微积分学它们之间密切的联系. [关键词]数列;线性空间;正定矩阵;重积分 [中图分类号]O151.21;0172[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2007}02—0185—06 线性代数与微积分学是大学理工科各专业的两门重要的基础课,从某种意义上说,任何高深的数学 方法是在把复杂的数学对象转化为线性代数与微积分学,虽然这两门课解题方法有些差异,但有很密切 的联系,在很多方面有内在的渗透.本文的主要目的是通过典型的线性代数问题与微积分学问题,就其 问题解法上的相互渗透进行探讨,从而希望能提高微积分学与线性代数的教学与研究水平,下面我们举 例来说明. 1用微积分学的方法解决线性代数中的问题 我们通过下面三个典型的例题来说明这一点. 例1求n阶行列式的值. 本例可利用代数知识中的递推法,数学归纳法求解;这里介绍利用微积分中的泰勒 公式计算,起到 一 定的简便作用. 解把行列式D看作X的函数,记 D(z)一 Xbb???b CXb???b CCX???b ?????????????????? CCC…Z 则D一D(口).将D(z)在x=b按泰勒公式展开, 护6)十6)十+..斗, 这里的 [收稿日期]2005—09—20 [基金项目]重庆市教科院基金资助项目(04一GJ一057);长沙师范学院院级重点 课程《高等数学》基金资助项目 (2K2004006) 666 ? ? ? ???????? ???? ? ? ?66口一 ? ? ? 6口f? ? ? 口ff 186大学数学第23卷 D(6)= bbb…b, l Cbb???bI 6…6I兰型!二旦?墅型 ………………I一'一'…' CCC???bl 下面求行列式函数D(z)的各阶导数. D(6)一 1OO…0 C.27b???b CC.27???b CCC…Z + .27bb???b O1O…O CC.27???b CCC…Z +…+ b00…O Cb—C0…O CCb…C?O ?????????????????????????????? OOO…6一C .27bb???b C.27b???b 一6(6一c)一. OOO…1 一nD一1(z). 类似地, (z)一nD"一1(z),…,D(z)一nD~"--1"(z). 由递推关系还可以得到 D:一l(z)一(n--1)D一2(z)…,D2(z)一2Dl(z),Dl(z)一1(因为Dl(z)一z), 则 D(6)=nD一l(6)一nb(b--c)一, D(6)一D:一l(6)一n(n--1)D一2(6):n(n--1)b(b--c)_', D:"(6)一n(n--1)…2Dl(6)一n(n--1)…2b, D:一!. 代人D(z)在z—b的泰勒展开式, D(z)=b(b--c)+(z一6)+二(z一6) +…+二(z一6)+(z一6). 若6:C,则 D(z)一o+o+…+O+nb(x--b)一+(x--b)一(x--b)一f-x+(n-1)6]; 若6?C,则 z):[(H(),r(z-6)+(6_f)叶((z-6)+...+(z-6)1 一 (z一 一br(b--卅()]一(z一. 令当z一口,则 r(n一6)一Ea+(n--1)bq,当b=c时, 一 1]兰,当6?时. 例2设A一()是阶实对称矩阵,证明: (i)若n:南,则IAI>o;(ii)若A正定,则B:=:\a+ij)正定. 这是一个纯代数问题,我们用微积分学方法来解决. 解(i)设:(z,zz,z3),已知口一南,则 厂()x#Ax???一??zIe-(iq-j)tdt=l—l'i=lJ一1J0 第2期米永生:线性代数与微积分学问题与解法的渗透187 一 J(?z?xje-J)dt—J(?ze-)dt.l—IJ—t,一1 对于一切?0,被积函数都大于零,所以,积分值大于零,即对于任意?0,都使厂()一x'Ax>O.因此, 厂()是正定二次型,A为正定矩阵,所以,lAl>O. (ii)设g()一,B一南,A一??az而le-(i+j)tdt=l??aze汁dt.'0Ji:1,一1JuJu=1:j 令y:(ze,,.27e,…,.27e,),则上面的广义积分中被积函数为y'Ay,对于任意不为零的向量X,Y亦 不为零.而A为正定矩阵,故二次型A正定,即对于任意y:/:o,,A>O恒成立.综上所述,任意? 0,都有y:/:0,则A>O,以g()一xCBx为正定二次型,B为正定矩阵. 例3设A,c为阶实对称矩阵,且c为正定阵.若矩阵方程Ax+xA一一c有唯一解,且A的特征 值为互不相等的负数,求证若B是上方程的解,则B为正定矩阵. 证首先证明B是实对称矩阵,由AB+BA=一c及B,A+A一一|=,,即A+B,A===,|=,.根 据解的唯一性知,B一B.其次证明B是正定的.因为A实对称,所以,存在正交矩阵,使 rAT—diag(A1,2,…,),其中<O. 令曰r一(6),r:(c),则玎+B玎,A一一T'CT,即 diag(A1,2,…,)(6)×+(6)×diag(a1,2,…,)一(——C)×. 经计算,得--C0一6+jbji,所以b—,于是二次型 厂)一,(6×n一(一焉)z一c哆e(l"出? 令一(zl',.272eXz',…,.27en').当?0时,被积函数Y(c)×>O,所以积分值大于零,从而(6.)× 为正定阵.因此,由(6)一aenT知,B为正定阵. 2用线性代数方法解决微积分学中的问题 下面还是用三个典型的例题来说明. 例4设.271—1,2:2,.273—3,.27一?(z一1+z一2+z一3)(?4),求limx. 解设一{{}l一号(一+一z+一.),(?4)).若{}EV,{叫}EV,{}EV,则有数n, b,C,使得a{}+b{W}+c{}EV,则有a{)+6{W}+c{z)一{au+bw+cz).由线性空间的定义 知,构成了复数域上的线性空间.在同例1的分析知构成了三维的线性空间. 设等比数列1,g,q,g,g.,…,{g一}E,则g应该满足口一一?(q一+矿+q一),?5.于是有 3口.=g+口.+1,解之得 口一1,口z一1(, 1,口.一1(一 1一), 且口,口z,q.线性无关,从而构成了的一组基.因此,.27可以由它们线性表出,即.27一aq?叫 +6口;+c口;_.,于是有 limx一lira(口+bq;+). 而 q一百1(一1+)一(c.s+isin), g.一 1(--1--届)一4 了 5( c.s+isin(c.s:一字), 于是有 188大学数学第23卷 zl一口+6+c=1,zz=aql+bqz+cq3—2,z3=aq}+bq;+cqj一3. 解得a一警}等一,)i)i:I)2一lim..za一百11. 例5设?3口.z是表示变量(z,z,z.)的二次型,其系数矩阵A=(a?)为对称正定阵,证明椭 圆s:?3az一1所包围的体积等于警(de),,其中de表示A的行列式. 证A为对称正定阵,所以存在可逆矩阵B,使BrAB:E,作线性变换 , 则s变换为}+;+;=1且襄一detB.所以,包围的体积 dXl一JI『IdetBid一警ldetBI.2+2+ = 2 — 1 Xl~ldetBIIdeI一1,所以IdetBI:一1.从而IdetBI一(de),,所以包围的体积等于 警(de)一. 例求J:f+..…f+..e—f(xI,x26,…dxl…dx,这里,(z,z,…,z)一丁A是一个实二次型,A例求J:l…le一'…n…,这里,(zl,zz,…,z)一A是一个实二次型,J一.oJ一.. 是该实二次型的矩阵. T—r其中,,.,…,是A的特征值. ,(zl,zz,z3,…,z)一TAx===Y(AT)—lY}+zY+…十n:? 由于T是正交矩阵,从而在坐标变换一下,体积元素dz…dz可以用体积元素d…d代替.于 是,积分变为 J—r…re?)l…d:r…r...-…dl…ddxdxe-/(xJ=l…le吖l'''"汪l…=l…lr"l… 一 r..…f+..e,.2.一…一2d…d一r..e一-jd…f..e—:d. 当A是正定时,,,.,…,都大于零,上式右边各积分都存在且分别为?,?,…,??在注 意 导 到IAI:……,于是得J一.当A是非正定矩阵时,,z,.,…,中会出现零或负数,从而 ?lAl 卜式右边广义积分发散.故J一+oo, J一.……一 {,【+o., 当A为正定阵, 当A为非正定阵. 阳 ? 3 叩 一 .暑一 盯川 0 句 II ,??????,?????I?J 第2期米永生:线性代数与微积分学问题与解法的渗透189 另外,数学中的有些问题很难单一地归结为是微积分学的或者线性代数的,所以在 其解法上自然就 有了微积分学与线性代数两种方法上的相互交叉渗透. 例7设A一()是TI阶实对称矩阵,求 f(x,,z",Xn)一??aijx:-xrAxl一1J一1 在单位球面?一1的最大值与最小值,其中一(,z,z,…,Xn). 解函数f(x)--~G()=?z一1均在上连续可微,当然厂()在单位球面?z=1上连 续,从而必在此球面(它是有界闭集)某点X.一(z,z,…,z)达到最大(小)值.又单位球面无所谓边界 点,因此,最大(最小)值点X.必是条件稳定点,即有常数,使X.点满足如下拉格朗日方程 ?口z一z0一o(1,2,3,…,),(1)J一1 即单位向量X.一(z,z,…,z0)是齐次线性方程组 (A一)一0(2) 的非零解.因此,是矩阵A的一个特征值.在方程组(2)中令—X.,再与X.作内积,得到 f(x.)一[()+…+(z:)]一. 这表明,-厂()的最大值和最小值都是A的特征值. 另一方面,设是实对称矩阵A的任一特征值(它必是实数),与相应的单位特征向量为 x一(,,…,),则(A一)一O.再与向量作内积,便有-厂()一.这又说明,A的任一特征值等 于-厂()在单位球面某点处的值. 由于上述两方面的事实便得到结论:-厂()在单位球面上的最大,最小值分别是矩阵A的最大,最小 特征值.因此,我们可以通过求对称矩阵A的特征值得到f()的最大,最小值.反之,也可以通过厂() 的最大,最小值而得到矩阵A的最大,最小特征值. 注本题是典型的线性代数与微积分相结合的问题,所以,在解法上必可将微积分方法与线性代数 方法交替使用.但是这个微积分问题,也可以用纯线性代数的方法来解,解法如下: 要解此题,我们先引入一个引理. 引理如果f(x,z,…,z)一是一个实二次型,,,.,…,是A的特征值且??. ?…?,则对任意z?,1XX?1X?XX均成立. ] 证存在一正交矩阵T,使r』'AT—l..1,那么作正交变换—,使【J f(x1,z2,z3,…,z):x~Ax—(TlAT)—1Y+2;+…+:. 因为 (+;+…y)?Y+Y;+…:?(+;+…y:), 所以 1?f(x1,z2,z3,…,z)?YY. 又因为 xTx一()()一T—Y, 从而得 】XX?f(x1,z2,z3,…,z)?XX,即1XX?xrAx?XX. 现在利用引理来证明例7. 由引理知,】XX?tAx?XX,当?0时,有 ?挲?,max厂?,min厂?.XXr—r一1 19O大学数学第23卷 再取对应于的单位特征向量口一(c,C,…,C),则有口口一口口一,从而即得maxf=A.类似可1=1 证明,rainf=a1. x T x=I 总结,从以上的例子表明:微积分中某些典型问题用微积分学的方法去求解,或者,线性代数中某些 典型问题用线性代数的方法求解,可能很难.或者根本无从下手,如果用线性代数方法去考虑微积分学 中的问题,或者用微积分学的方法去考虑线性代数中的问题,便会得到有效解决,会使你有一种"会当凌 绝顶,一览众山小"的感觉.所以在线性代数与微积分学中的教学与研究中应该多将两者的方法相互渗 透. [参考文献] [1]复旦大学.微积分(上,下)(第2版)[M].北京:高等教育出版社,1999. [2]同济大学应用数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,1999. [3]北京大学数学系几何与代数教研室小组.高等代数[M].北京:高等教育出版 社,1988. [4]孟道骥.高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社,1998. [5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1987. [6]樊复生.线性代数题典[M].大连:东北大学出版社,2002. ThePermeateofSolutionandQuestion inLinaer. AlgebraandCalculus MIYong—sheng (ChangjiangTeacherUniversity,Fuling,Chongqing408003,China) Abstract:Theproblemincalculusandmethoddealingwiththereproblemaredifferentfromthoseinlinaeralgebra, butthecontactbetweenthemisquiteclose.Thepaperdiscussthepermeateofsolutionandquestioninlinaeralgebraand calculus. Keywords:sequencenumber;positivlydefinitematrix;doubleintegral;linaerspace