2015年天津市高考数学试卷（理科）及解析

2015年天津市高考数学 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 （理科）及解析 2015年天津市高考数学试卷(理科) 一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) U A({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8} 2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( ) A( B( C( D( 3 4 18 40 3((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( ) A(, 10 B( C( D( 6 14 18 24((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件 C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件 5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( ) 第1页(共21页) A( B( C( D( 3 6((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)， 2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( ) A( B( ,=1 ,=1 C( D( ,=1 ,=1 ,|xm|((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，7 记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a 8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)， ?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) 其中b A( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2) 二.填空题(每小题5分，共30分) 9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为 ( 10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为 3m( 第2页(共21页) 211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 ( 6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 ( 13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 ( 14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 ( 三.解答题(本大题共6小题，共80分) 2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期; (?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值( 16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率; (?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD (?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11 第3页(共21页) (?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长( *18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n *(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn 19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心 22，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x率为+y=截得的线段的长为c，|FM|=( (?)求直线FM的斜率; (?)求椭圆的方程; (?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围( n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性; (?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x); (?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221 第4页(共21页) 2015年天津市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) U A({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8} 考点:交、并、补集的混 合运算( 专题:集合( 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :由全集 U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可; 解答:解: ?全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3， 4，6，7}， ??B={2，5，8}， U 则A??B={2，5}( U 故选:A( 点评:此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键( 2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( ) A( B( C( D( 3 4 18 40 考点:简单线性规划( 专题:不等式的解法及应用( 分析:作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最 大值( 解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)( 由z=x+6y得y=,x+z， 平移直线y=,x+z， 由图象可知当直线y=,x+z经过点A时，直线y=,x+z的截距最大， 此时z最大( 由，解得，即A(0，3) 将A(0，3)的坐标代入目标函数z=x+6y， 得z=3×6=18(即z=x+6y的最大值为18( 第5页(共21页) 故选:C( 点评:本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法( 3((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( ) A(, 10 B( C( D( 6 14 18 考点:程序框图( 专题:图表型;算法和程序框图( 分析:模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S的值，当i=8时满足条件i,5，退 出循环，输出S的值为6( 解答:解:模拟执行程 序框图，可得 S=20，i=1 i=2，S=18 不满足条件i,5，i=4，S=14 不满足条件i,5，i=8，S=6 满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6( 故选:B( 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的 第6页(共21页) 关键，属于基础题( 24((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件 C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件 与充要条件的判断( 专题:简易逻辑( 分析:根据不等式的性质，结婚充分条件和必要条件的定义进行判断即可( 解答:解:由 “|x,2|,1”得1,x,3， 2由x+x,2,0得x,1或x,,2， 2即“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的充分不必要条件， 故选:A( 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础( 5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( ) A( B( C( D( 3 考点:与圆有关的比例线段( 专题:选作题;推理和证明( 分析:由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求NE即可( 解答:解:由相交弦定理可得 CM•MD=AM•MB， ?2×4=AM•2AM， ?AM=2， ?MN=NB=2， 又CN•NE=AN•NB， ?3×NE=4×2， ?NE=( 故选:A( 点评: 本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础( 6((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)， 2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( ) 第7页(共21页) A( B( ,=1 ,=1 C( D( ,=1 ,=1 考点:双曲线的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程( 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程( 分析:由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上 的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双 曲线的标准方程( 解答: 解:由题意，=， 22?抛物线y=4x的准线方程为x=,，双曲线的一个焦点在抛物线y=4x的 准线上， ?c=， 222?a+b=c=7， ?a=2，b=， ?双曲线的方程为( 故选:D( 点评:本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基 础题( ,|xm|7((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a 考点:函数单调性的性质( 专题:函数的性质及应用( |x|分析: 根据f(x)为偶函数便可求出m=0，从而f(x)=2,1，这样便知道f(x)在[0，+?) 上单调递增，根据(fx)为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+?)上:a=f(|log3|)，0.5 b=f(log5)，c=f(0)，然后再比较自变量的值，根据f(x)在[0，+?)上的单调性2 即可比较出a，b，c的大小( 解答:解: ?f(x)为偶函数; ?f(,x)=f(x); ,,,|xm||xm|?2,1=2,1; ?|,x,m|=|x,m|; 22(,x,m)=(x,m); ?mx=0; ?m=0; |x|?f(x)=2,1; 第8页(共21页) ?f(x)在[0，+?)上单调递增，并且a=f(|log3|)=f(log3)，b=f(log5)，c=f0.522 (0); ?0,log3,log5; 22 ?c,a,b( 故选:C( 点评:考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自 变量的值变到区间[0，+?)上，根据单调性去比较函数值大小(对数的换底公式的应 用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用( 8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，其中b?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) A( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2) 考点:根的存在性及根的个数判断( 专题:函数的性质及应用( 分析:求出函数 y=f(x),g(x)的表达式，构造函数h(x)=f(x)+f(2,x)，作出函数 h(x)的图象，利用数形结合进行求解即可( 解答: 解:?g(x)=b,f(2,x)， ?y=f(x),g(x)=f(x),b+f(2,x)， 由f(x),b+f(2,x)=0，得f(x)+f(2,x)=b， 设h(x)=f(x)+f(2,x)， 若x?0，则,x?0，2,x?2， 2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x， 若x?0，则,x?0，2,x?2， 2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x， 若0?x?2，则,2?x?0，0?2,x?2， 则h(x)=f(x)+f(2,x)=2,x+2,|2,x|=2,x+2,2+x=2， 若x,2，,x,0，2,x,0， 22则h(x)=f(x)+f(2,x)=(x,2)+2,|2,x|=x,5x+8( 即h(x)=， 作出函数h(x)的图象如图: 22当x?0时，h(x)=2+x+x=(x+)+?， 22当x,2时，h(x)=x,5x+8=(x,)+?， 故当b=时，h(x)=b，有两个交点， 当b=2时，h(x)=b，有无数个交点， 第9页(共21页) 由图象知要使函数y=f(x),g(x)恰有4个零点， 即h(x)=b恰有4个根， 则满足,b,2， 故选:D( 点评:本题主要考查 函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解 决本题的关键( 二.填空题(每小题5分，共30分) 9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为 ,2 ( 考点: 复数的基本概念( 专题:数系的扩充和复数( 分析:由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0且虚部不等于0求得a的值( 解答:解:由( 1,2i)(a+i)=(a+2)+(1,2a)i为纯虚数， 得，解得:a=,2( 故答案为:,2( 点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题( 10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为 3 m( 第10页(共21页) 考点:由三视图求面积、体积( 专题:计算题;空间位置关系与距离( 分析:根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出 它的体积( 解答:解:根据几何体的三视图，得; 该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体， 且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1; ?该几何体的体积为 22V=2×π•1×1+π•1•2 几何体 =π( 故答案为:π( 点评:本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目( 211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 ( 考点:定积分在求面积中的应用( 专题:计算题;导数的概念及应用( 分析:先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为1，从而利用定 积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可( 解答:解: 先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0 212直线y=x与曲线y=x所围图形的面积S=?(x,x)dx 0 211而?(x,x)dx=()|=,= 00 ?曲边梯形的面积是( 故答案为:( 第11页(共21页) 点评:本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用 定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数( 6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 ( 考点:二项式定理的应用( 专题:计算题;二项式定理( 2分析: 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x的系数( 解答: ,66rrr6解:(x,)的展开式的通项公式为T=•(x)•(,)=(,)••xr+1 ,2r， 2令6,2r=2，解得r=2，?展开式中x的系数为×=， 故答案为:( 点评:本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数， 属于中档题( 13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 8 ( 考点: 余弦定理( 专题:解三角形( 分析: 由cosA=,，A?(0，π)，可得sinA=(利用S==，?ABC 222化为bc=24，又b,c=2，解得b，c(由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA即可得出( 解答: 解:?A?(0，π)，?sinA==( ?S==bc=，化为bc=24， ?ABC 又b,c=2，解得b=6，c=4( 第12页(共21页) 222由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA=36+16,48×=64( 解得a=8( 故答案为:8( 点评:本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题( 14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 ( 考平面向量数量积的运算( 点: 专平面向量及应用( 题: 分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的析:形式求最值( 解解:由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=()•()=()答: •() ==2×1×cos60?+λ1×1×cos60?+×2×1+×1× 1×cos120? =1++,?+=(当且仅当时等号成立); 故答案为:( 点本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是评: 正确表示所求，利用基本不等式求最小值( 三.解答题(本大题共6小题，共80分) 2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期; (?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值( 考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值( 专题:三角函数的求值( 分析: (?)由三角函数公式化简可得f(x)=,sin(2x,)，由周期公式可得; (?)由x?[,，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值( 第13页(共21页) 解答: 22解:(?)化简可得f(x)=sinx,sin(x,) =(1,cos2x),[1,cos(2x,)] =(1,cos2x,1+cos2x+sin2x) =(,cos2x+sin2x) =sin(2x,) ?f(x)的最小正周期T==π; (?)?x?[,，]，?2x,?[,，]， ?sin(2x,)?[,1，]，?sin(2x,)?[,，]， ?f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值分别为，, 点评:本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题( 16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率; (?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列( 专题:概率与统计( 分析:( ?)利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率 计算公式得答案; (?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概 率，列出分布列，代入期望公式求期望( 解答: 解:(?)由已知，有P(A)=， ?事件A发生的概率为; (?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4( P(X=k)=(k=1，2，3，4)( ?随机变量X的分布列为: P 1 2 3 4 第14页(共21页) X 随机变量X的数学期望E(X)=( 点评:本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数 学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD (?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11 (?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长( 考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角( 专题:空间位置关系与距离;空间角( 分析: (?)以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平1 面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论; (?)通过计算平面ACD的法向量与平面ACB的法向量的夹角的余弦值及平方关11 系即得结论; (?)通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为， 计算即可( 解答: (?)证明:如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z1 轴建系， 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，,2，0)， A(0，0，2)，B(0，1，2)，C(2，0，2)，D(1，,2，2)， 1111 又?M、N分别为BC、DD的中点，?M(1，，1)，N(1，,2，1)( 11 由题可知:=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，=(0，,，0)， ?•=0，MN?平面ABCD，?MN?平面ABCD; 第15页(共21页) (?)解:由(I)可知:=(1，,2，2)，=(2，0，0)，=(0，1，2)， 设=(x，y，z)是平面ACD的法向量， 1 由，得， 取z=1，得=(0，1，1)， 设=(x，y，z)是平面ACB的法向量， 1 由，得， 取z=1，得=(0，,2，1)， ?cos,，,==,，?sin,，,==， ?二面角D,AC,B的正弦值为; 11 (?)解:由题意可设=λ，其中λ?[0，1]， ?E=(0，λ，2)，=(,1，λ+2，1)， 又?=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量， ?cos,，,===， 2整理，得λ+4λ,3=0，解得λ=,2或,2,(舍)， ?线段AE的长为,2( 1 第16页(共21页) 点评:本题考查直线与平面平行和垂直 、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用 空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意 解题方法的积累，属于中档题( *18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n *(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn 考点:数列的求和( 专题:等差数列与等比数列( 分析: (1)通过a=qa、a、a，可得a、a、a，利用a+a，a+a，a+a成等差数列，n+2n12354233445 计算即可; *(2)通过(1)知b=，n?N，写出数列{b}的前n项和T、2T的表达式，nnnn 利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可( *解答: 解:(1)?a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，a=2， n+2n122?a=q，a=q，a=2q， 354 又?a+a，a+a，a+a成等差数列， 2334452?2×3q=2+3q+q， 2即q,3q+2=0， 解得q=2或q=1(舍)， ?a=; n *(2)由(1)知b===，n?N， n 记数列{b}的前n项和为T， nn 则T=1+2•+3•+4•+…+(n,1)•+n•， n ?2T=2+2+3•+4•+5•+…+(n,1)•+n•， n 两式相减，得T=3++++…+,n• n =3+,n• =3+1,,n• =4,( 第17页(共21页) 点评:本题考查求数列的通项与前 n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本 题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题( 19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心 22率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=( (?)求直线FM的斜率; (?)求椭圆的方程; (?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围( 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程( 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程( 分析: 2222(?)通过离心率为，计算可得a=3c、b=2c，设直线FM的方程为y=k(x+c)， 利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论; (?)通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M(c，c)，利用|FM|=计算即 可; (?)设动点P的坐标为(x，y)，分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x?(, ，,1)与x?(,1，0)两种情况讨论即可结论( 解答: 解:(?)?离心率为，?==， 222222?2a=3b，?a=3c，b=2c， 设直线FM的斜率为k(k,0)，则直线FM的方程为y=k(x+c)， 22?直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c， ?圆心(0，0)到直线FM的距离d=， 22?d+=，即()+=， 解得k=，即直线FM的斜率为; (?)由(I)得椭圆方程为:+=1，直线FM的方程为y=(x+c)， 第18页(共21页) 22联立两个方程，消去y，整理得3x+2cx,5c=0，解得x=,c，或x=c， ?点M在第一象限，?M(c，c)， ?|FM|=，?=， 2222解得c=1，?a=3c=3，b=2c=2， 即椭圆的方程为+=1; (?)设动点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t， ?F(,1，0)，?t=，即y=t(x+1)(x?,1)， 222联立方程组，消去y并整理，得2x+3t(x+1)=6， 又?直线FP的斜率大于， ?,，解得,,x,,1，或,1,x,0， 设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx(x?0)， 2联立方程组，消去y并整理，得m=,( ?当x?(,，,1)时，有y=t(x+1),0，因此m,0， ?m=，?m?(，); ?当x?(,1，0)时，有y=t(x+1),0，因此m,0， ?m=,，?m?(,?，,); 综上所述，直线OP的斜率的取值范围是:(,?，,)?(，)( 点评:本题考查 椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题( n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性; 第19页(共21页) (?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x); (?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程( 专题:压轴题;导数的概念及应用;导数的综合应用( n分析: (?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)，分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性( 2(?)设点P的坐标为(x，0)，则可求x=n，f′(x)=n,n，可求g(x)000 ,n1=f′(x)(x,x)，F′(x)=f′(x),f′(x)(由f′(x)=,nx+n在(0，000 +?)上单调递减，可求F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减，00即可得证( (?)设x?x，设方程g(x)=a的根为，由(?)可得x?(设曲线y=f(x)122 在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，设方程h(x)=a的根为，可 ,n1n得,x，从而可得:x,x,,=，由n?2，即2=(1+1)121 ,1?1+=1+n,1=n，推得:2=x，即可得证( 0 解答: (本题满分为14分) ,,nn1n1•解:(?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)=n,nx=n(1,x)，其中n?N，且n?2( 下面分两种情况讨论: (1)当n为奇数时，令f′(x)=0，解得x=1，或x=,1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表: (,?，,1) (,1，1) (1，+?) x f′(x) , , + f(x) 所以，f(x)在 (,?，,1)，(1，+?)上单调递减，在(,1，1)单调递增( (2)当n为偶数时， 当 f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递增; 当 f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递减; 所以，f(x)在(,?，1)单调递增，在(1，+?)上单调递减; 2(?)证明:设点P的坐标为(x，0)，则x=n，f′(x)=n,n， 000曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x)(x,x)，即g(x)=f′(x)(x000,x)， 0 令F(x)=f(x),g(x)，即F(x)=f(x),f′(x)(x,x)，则F′(x)=f′00(x),f′(x)( 0 第20页(共21页) ,n1由于f′(x)=,nx+n在(0，+?)上单调递减，故F′(x)在(0，+?)上单调递减， 又因为F′(x)=0，所以当x?(0，x)时，F′(x),0，当x?(x，+?)时，000F′(x),0， 所以F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减， 00 所以对应任意的正实数x，都有F(x)?F(x)=0， 0 即对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x)( (?)证明:不妨设x?x， 12 2由(?)知(gx)=(n,n)(x,x)，设方程(gx)=a的根为，可得=，0 由(?)知g(x)?f(x)=a=g()，可得x?( 222 类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，当x? n(0，+?)，f(x),h(x)=,x,0，即对于任意的x?(0，+?)，f(x),h(x)， 设方程h(x)=a的根为，可得=，因为h(x)=nx在(,?，+?)上单调递增， 且h()=a=f(x),h(x)，因此,x， 111 由此可得:x,x,,=， 21 ,,n1n1因为n?2，所以2=(1+1)?1+=1+n,1=n， 故:2=x( 0 所以:|x,x|,+2( 21 点评:本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等 式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力( 第21页(共21页)