探索空间平面法向量的求法与方向的判定
探索空间平面法向量的求法与方向的判定 角的大小时的大小时，算体系,可以把几何判断法向量的方向,是运图形的性指向二面角内质的性质转化为还向二面算,变，变抽象的逻辑二面角外。本文介为具体的向量运算，实绍面”间平面法向量的求法与与“形”的结结合。因此用量知现了“数方向的判定。解决某些立体几何问决,有时有时会显得特别和具有规具有规律性。量无论无论是“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的法向量,可以说向量，法向量是用向量来解决立几问几问题的瓶颈，法向量的正确向量的正键。而用向量来求二面向量具有一套完整的
杨玉春
(铜仁市第二中学～贵州铜仁 554300)
向量具有一套完整的运算体系～可以把几何图形的性质转化为向量运算～变抽象的逻辑推理为具体的向量运算～实现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几何问题～有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论是解决“成角”问题～还是“距离”问题～都离不开平面的法向量～可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶颈～平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的大小时～往往还需判断法向量的方向～是指向二面角内还是指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判定。
一、平面法向量的求法
,,1、几何法:如图(1)～若?α～在上任取两点A、B～则AB或BA即为平面α的一个法向量。
2、待定系数法(两种设法):
,1,设n=(1,λ,μ)或n=(λ～1～μ)或n=(λ, μ～1)是平面α的一个法向量。a～b是平面α内任一两个不共线向量～由 n?a=0
n?b=0求出λ～μ即可。
(2)或设n=(x，y，z)是平面α的法向量～由 n?a=0
n?b=0 得出关于x、y、z的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。
3、利用空间平面方程:Ax+By+Cz+D=0(其中:A、B、C不同时为零)～则n=,A～B～C,为平面的一个法向量。
xyz,,4利用向量的向量积:如图(1)～设a=(),b=111
xyz,,,, 223
则a×b= =( ,| |,|)
yzyzxzxzxyxy,,,,,=() 122121121221
取n=(a×b)(λ?R且λ?0)是平面α的法向量。
二、空间平面法向量方向的判定
1、由几何法求出的法向量～此时方向看图即可。
2、由向量的向量积求出的法向量～用“右手定则”可确定a×b的方向～取n=λ(a×b),当,0时～则n方向与向
量a×b方向相同,当λ,0时～n方向与向量a×b方向相反。
3、用待定系数法或空间平面方程求出的法向量可用如下方法判定:
二面角法量方向的判定应该选定一个向量作为参照向量n。(这个参照向量不能和平面垂直或平行且指向二面角内
nn,部)。如图(2)～设平面α的法向量分别为～在二面角α12
nnnn,—λ—β内的一个参照向量为,当,0时～显然与0110
nn的夹角为锐角～我们称法向量的方向指向二面角的内01
nnnn,部,当,0时～显然与的夹角为钝角～我们称法2020
n向量的方向指向二面角外部。再依据当二面角的两个半平2
面的法向量同时指向二面内部或同时指向二面角外部时～二面角与其法向量所成角为互补关系,当法向量的方向一个指向二面角内部一个指向二面角的外部时～二面角与其法向量所成角为相等关系,概括为:“同内同外互补～一内一外相等”。
三、举例示范空间平面法向量求法与方向的判定
例:如图～ABCD是直角梯形～?ABC=?BAD=90º,SA?平
1
面ABCD～SA=AB=BC=1～AD=。 2
?:求SC与平面ABCD所成的角。
?:求点A到平面SCD的距离。
?:求平面SAB与平面SCD所成角的大小。
?:求二面角A—SC—D的大小。
解析:如图～以A为原点～以向量AB、AD、AS的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向～建立空间直角坐标系。则
1A(0～0～0)～B(1～0～0)～C(1～1～0)～D,0～～0,～S(0～20～1)
?:由题意:SA?平面ABCD～?平面ABCD的一个法向量为n=AS=(0～0～1),又CS=(-1,-1,1)。
?SC与平面ABCD所成的角为:
?:(1)设平面SCD的一个法向量为n=(1,λ,μ)
即n=,1～-2～-1,
,2,或设平面SCD的法向量为n=,x,y,z,
不妨令y=-2～则平面SCD的一个法向量为 n =(1,-2,-1)
(3)或设平面SCD的方程为Ax+By+Cz+D=0(其中A、B、
nC不同时为零)～则=(A、B、C)是平面SCD的一个法向量。
1
把S(0,0,1),C(1,1,0),D(0,,0)分别代入平面方2
程～得
n不妨令B=-2,则A=1～C=-1～从而=(1,-2,-1)为平面SCD的一个法向量。
1(4)或由SC=,1～1～-1,～SD=(0,,-1)～则SC×SD= 2
11
n?平面SCD的一个法向量可取=-2,-,1, ,=22,1,-2,-1,
以上四种方法都可以轻松求出平面SCD的一个法向量n=,1,-2,-1,
?点A到平面SCD的距离为
?:平面SAB与平面SCD所成的角就是法向量 AD = ,0～～0,与法向量n=,1,-2,-1,所成角或其补角。
6?平面SAB与平面SCD所成角为arccos或3
6-arccos 3
n?:由(?)知平面SCD的一个法向量为=(1,-2,-1)在
1n二面角A-SC-D内选择一个参照向量=DA=(0,,0),由02
nDA?=-1,0～?n方向是指向二面角外部。
同进可求得平面SAC的一个法向量m=,1,-1,1,～又
1
AD=(0,,0)～AD?m=,0。 2
?m的方向指向二面角内部～由“一内一外相等”知二面角A-SC-D的大小为,n, m,～又COS,n, m,=，
2
?二面角A-SC-D的大小为arccos。 3
值得一提的是当求两平面所成角大小时～并不须要判断法向量方向～因此当时二面角有两个其大小互补,求二面角大小时～应判断法向量方向～因为二面角的大小唯一的。
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