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偏微分方程数值解法 课程论文.doc

偏微分方程数值解法 课程论文

爱美丽鲍4h
2017-09-05 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《偏微分方程数值解法 课程论文doc》,可适用于职业岗位领域

学院:理学院专业:信息与计算科学班级:级二班姓名:学号:年月日偏微分方程的一般理论偏微分方程的一般概念给定一个形如,||uu,,()Fxxu(,,,,,,,),n,xx,,,|,|,,,,x,,x,(,,,,)的等式其中为重指标每个为非负整数为jnnn,,,||n,u,uux,,x,u以及u为未知数的简写F是的自变量一般取实值是n,,,n,x,x,xnx或uu偏导数的已知函数。有时F可以不显含但必须含的偏导数这样的等式()i称为偏微分方程。如果有一组这样的方程且它们所涉及的未知数一般也不止一个则这一组方程就构成偏微分方程组。出现在偏微分方程(组)中未知函数的偏导数的最高阶数称为该微分方程(组)的阶。如果方程(组)对未知函数及所有偏导数都是线性的则称其为线性偏微分方程(组)否则称为非线性偏微分方程(组)。在非线性偏微分方程(组)中如果方程(组)只对未知函数的最高阶偏导数是线性的称为拟线性偏微分方程(组)。u若函数(在方程组的情形下是一组函数)在指定的区域中连续且具有偏微分方程(组)中所出现的一切导数且将它代入这个(这些)方程时使方程化为恒等式则称u是该偏微分方程(组)的解或古典解(也称为经典解)。由于实际应用的需要除研究古典解外人们还常常需要研究各种广义意义下的解。它们将按较弱的意义满足方程称为广义解。偏微分方程的分类记,,D,,x,P,p(x,D),a(x)D,并记p(x,D),a(x)D为偏微分算子p(x,D),,jj||,mm||,m,,,,i的主部。定义若p(x,D)为定义在区域中的偏微分算子若对于某点及任意的,x,,n,,R{},p(x,,),则称算子p(x,D)在x点为椭圆型算子。若p(x,D)对任意的x,,m都是椭圆型的则称p(x,D)在中为椭圆型算子。,n,,R{}定义设p(x,D)为在上给定的m阶偏微分算子若存在某个方向,,的方向,以及任一不平行于方程使得对一切x,,p(x,,,,),m,,有m关于个两两互异的实根则称p(x,D)为关于方向的严格双曲型算子有时就简称为严格双曲型算子。定义设P=p(x,D)为在上给定的m阶偏微分算子若在特征集Char(P)上,,,p(x,,),则称p(x,D)为主型算子。m唯一性与稳定性唯一性引理设线性齐次的一阶偏微分方程组Cauchy问题NnN,u,ujki()(Lu),,a,bu,,i,,,N,,,,iijijj,t,x,,,jkjku|,,it,ik中系数都是所考察区域中的解析函数。又初始值的幂级数展开式对变a,b以及初值,ijiji,元的一切值收敛则解的幂级数展开式收敛半径与初值的特定形式无关。i定理设在原点的邻域中给定一个具有解析系数的一阶线性方程组n,U,U,ABUf(),,,t,x,,,考察它满足初始条件CU|,,(x,,x)()t,n的Cauchy问题则存在原点的某邻域在其中此Cauchy问题的解是唯一的。C这里表示函数本身及其一阶偏导数均为连续的函数类又CA,B为NN矩阵u,f为N向量。,定理设一阶偏微分方程组n,uA(x)B(x)uf(x),(),,,x,,,A(x),B(x)为NN的系数矩阵其元素是在的邻域解析的函数。S为过点的解析xx,曲面在x点非特征。在S上给出了C初始条件u,,(x)()那么在x点的某一邻域中Cauchy问题()()的C解是唯一的。稳定性如果一个偏微分方程(组)它的某个定解问题存在唯一的解而且在定解条件中原始资料变化微小时解也仅作微小的变化这时我们称该定解问题为稳定的。假设出现在定解条件中的原始资料为函数它可能为一个函数也可能为几个函数。,我们将它看成某个函数空间中的元素定解问题的解u也可看成另一个函数空间U中的,元素则从求得u就是空间到空间U的一个映射。今如果我们在空间与空间U中分,,,别规定了某种拓扑结构如果按这样的拓扑结构映射T是连续的就称原定解问题是稳定,,使,,,,T(,),u,T(,),u,则必有u,u的。此时若有序列。nnnnn由此可见稳定性的概念依赖于原始资料空间和解空间U中拓扑的选择怎样的选,择是恰当的要视具体情况而定不能一概而论。在许多问题的讨论中常取U为连,kkC,Sobolev空间H续函数空间函数本身及其直至k阶导数都是连续的函数空间等。C在一般情形下我们总认为偏微分方程(组)的合理的定解问题应当满足解的存在性、唯一性、稳定性三个要求并将存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性。基本解基本解方法是偏微分方程理论中常用的一种方法其主要思想为:对于给定的偏微分方程先寻找它的一类具特定形式的且一般是带有奇性的解然后再将这种解加以叠加以得到所需要的定解问题的解。由于广义理论的建立我们就可以利用广义函数理论给出基本nR解的严格定义。以常微分方程为例设已知中的一个m阶常系数微分方程,P(,)u,a,u,,,|,|,mn,E,D(R)如果能够找到一个广义函数使P(,)E,,成立则称E为微分方程的基本解。考虑的问题考虑一维热传导方程:,u,u,af(x)(),t,T,t,xaf(x)其中为常数。是给定的连续函数。()的定解问题分两类:ux,t第一初值问题(Cauchy问题):求具有所需次数偏微商的函数满(,,,x,,)足方程()和初始条件:,,,x,,ux,,,x,()第二初边值问题(也称混合问题):求具有所需次数偏微商的函数ux,t满足方程()和初始条件:,l,x,lux,,,x,,l,x,l及边值条件u,t,ul,t,,t,T假定,x在相应的区域光滑并且于,l,两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。现在考虑边值问题()()的差分逼近lT取空间步长h,时间步长其中是自然数用两族平行,,MNNM直线x,x,jht,t,k,j,,,?,Nk,,,?,M,和,jkx,tG,,,,x,l,t,T将矩形域分割成矩形网格。网格节点为以表GjkhG示网格内点(位于开矩形中的网格节点)的集合表示位于闭矩形中的GGhkGG,网格节点的集合表示网格边界点的集合。其次用表示定义在网点uhhhjx,t,j,N的函数。,k,Mjk(差分格式的求解k,,uu,,x,t注意到在节点处的微商和差商之间的下列关系((,)):,xtikjk,,,,tt,,jkux,t,ux,t,u,,jkjk,O,,,,t,,,jk,,uxt,uxt,u,,,jkjk,O,,,,t,,,jkuxt,uxt,,,u,,jkjk,Oh,,h,x,,jkuxt,uxt,,,u,,,jkjk,Oh,,h,x,,jkux,tux,t,u,,,,jkjkOh,,,hx,,,jkux,t,ux,tux,t,,,u,jkjkjk,,,Oh,,,hx,,j可得到以下最简差分格式向前差分格式kkkkku,uu,uujj,jjj,aff,fxjjj,hkkuu==u,,,,xNjjj,a其中。取为网比则进一步有j,,,?,N,k,,,?,M,,rh,kkkkf,,r=uruurujj,jjj取得到k,,f,r=uruurujjjjj,kkuuj,,,?,N,于是利用初值和边值==可算出第一层的。u,,,,xuNjjjj,kkuu再由取可利用和==算出j,,,?,N,。如此下去即可uuk,Njjkj,,,?,N,k,,,?,M,逐层算出所有()。ujkkk由于第层值可以通过第层值直接得到如此的格式称为显格式。并视为ujux,t的近似值。jk若记TTkkkkTu,u,u,?,u,,,x,,x,?,,xf,,fx,,fx,?,,fx,N,,NN,则显格式可写成向量形式:kk,,,,uAuf,k,,?,M,,,u,其中,rr?,,,,r,rr??,,,,A,???,,??r,rr,,,,?r,r,,若记,u,uLu,,a,t,xkkkkku,uu,uujjjjj,k,,Luahj,h那么截断误差,,,u,,k~k~,,O,h==。()Lux,t,,,Lu,,,(x,t)O,Ru,,,jkjhjkj,,r,t,,,,t,t,t(,)xtx,x,x其中是矩形中某一点。j,jkjjkkk,,,,ˆ,,uh,uk,,,,O,,a,事实上Ru,j,,,,,x,x,,,,jjkk,,,,ˆ,,uh,u,,,,O,,a,,,O,=,,,,,xa,t,,,,jjk~,,,uh,,,O,=,,,,,,,,ta,,,jk~,,,u,,,,,O,O,h==。,,,,r,t,,j这里,,,,u,,u,uuu,,,,,,,,,,a,,,aa,,,,,,,,xa,t,x,t,x,txxx,,,,,,,,,,,,,u,u,uu,,,,,,,,a,,,,,,t,t,t,x,t,tx,,,,,,,,u,u,u,u,u,,,,故从而,a,a,a,,,t,xa,t,x,x,,数值例子用向前差分格式计算如下热传导方程的初边值问题,,,uu,,,,,,,xt,,,tx,,x(,),uxex,,,,,tt(,),(,),uteutet,,,,,,,xtuxte(,),已知其精确解为建立差分格式区域剖分lTh,NM,取空间步长和时间步长,,其中都是正整数。用两族平行直线NMxxjhjN,,,(,,,)LttkkM,,,,(,,,)L和将矩形域jk分割成矩形网格网格节点为。以表示网格内点集合(,)xtGGxltT,,,,,,,hjkG即位于开矩形的网点集合表示所有位于闭矩形的网点集合是网格G,,G,Ghhhh界点集合。k,j,N,,k,M其次用u表示定义在网点的函数(,)xtjjk微分方程的离散建立相应差分格式将方程在节点离散化(,)xtjkkk,,uu,afx()jN,,,,,LkM,,,,,L…………()j,,,,,,txjj对充分光滑的解由Taylor展式:u,,uxtuxt(,)(,),jkjkuxtuxtO(,)(,)(),…………(),,jkjk,,tt,,,,uxtuxtuxtuxt(,)(,)(,)(,)hhhjkjkjkjkuxtuxthOh(,)(,)(),jkjk,,,,xxxx!!…………(),,,,uxtuxtuxtuxt(,)(,)(,)(,)hhhjkjkjkjkuxtuxthOh(,)(,)(),,,,jkjk,,,,xxxx!!…………()()移项得:,,,uxtuxtuxtuxt(,)(,)(,)(,),jkjkjkjk,,O()…………(),,,tt,()()相加得:,,,uxtxtuxtuxtuxt(,)(,)(,)(,)(,)hjkjkjkjkjk,,,Oh()…………(),,xhx将()()代入()得:uxtuxtxtuxtuxt(,)(,)(,)(,)(,),,jkjkjkjkjk,k…………,afxRu()()jj,h()其中,,uxtuxt(,)(,),hjkjkkRuOOh()()(),,,j,,txk舍去得到逼近()的向前格式差分方程:Ru()jkkkkkuuuuu,,jjjjj,,afjN,,,,,LkM,,,,,L……()j,hk其中uuxt,(,)ffx,()jjjjk记,,uuLua,,,,ttkkkkkuuuuu,,jjjjj,kLua,,hj,hk则由()Lufx,(),,jjk由()LuxtfxRu(,)()(),hjkjj显然截断误差kkRuLuxtLu()(,),,,,jhjkj()边界条件,ux,,,,(),jjj,kkutut,,(),(),,,kNk,xtt,()xe,,()te,,()te,在本题中fx(),a,稳定性分析用傅里叶方法对差分格式进行稳定性分析rah,,以表示网比将()改写成便于计算的形式:kkkk(本题中)fx(),urururu,,()jjjj,kk以代入得uvijh,exp(),jkkvijhrijhrijhrijhvexp()exp()()exp()exp(),,,,,,,expi,jh消去则知增长因子Gx,,,,rrexpi,hexp,i,hp,,r,cos,h,h,,sinr,hGx,,,,rsin,M,由得p,h,,M,,,rsin,M,h,,sinrM,,恒成立,,,即,h,,sinMr,,,,,,,,hsinMr,只需,r,r,解得r,所以向前差分格式的稳定性条件是(结论讨论抛物型方程的有限差分法的步骤大致可以归纳如下:对区域进行网格剖分在离散结点建立相应的差分格式处理初边值条件进行稳定性分析由本题可以总结出抛物型方程的有限差分法所得的数值解能够较好地逼近方程的精确解且区域剖分得越细即步长越小数值解与精确解的误差就越小数值解越逼近精确解。参考文献【】李荣华《偏微分方程数值解法》高等教育出版社【】陈恕行《偏微分方程导论》科学出版社【】田兵用MATLAB解偏微分方程J阴山学刊,():【】王飞裴永祥有限差分方法的MATLAB编程J新疆师范大学学报(自然科学版),():【】张文生《科学计算中的偏微分方程有限差分法》高等教育出版社附录:程序源代码(加注解)a=l=T=N=M=h=lNto=TMr=(a*to)h^求解精确解forj=:Nx(j)=(j)*hfork=:Mt(k)=(k)*tou(j,k)=exp(x(j)*t(k))endendu求解数值解forj=:Nx(j)=(j)*hus(j,)=exp(x(j))endfork=:Mt(k)=(k)*tous(,k)=exp(*t(k))us(N,k)=exp(*t(k))endfork=:Mforj=:Nus(j,k)=r*us(j,k)(*r)*u(j,k)r*us(j,k)endendus计算误差fork=:Mforj=:NR(j,k)=abs(u(j,k)us(j,k))endendRclear程序运行结果:精确解:u=数值解:us=e*误差:R=e*

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