下载
加入VIP
  • 专属下载特权
  • 现金文档折扣购买
  • VIP免费专区
  • 千万文档免费下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 习题详解-第7章 多元函数微分学

习题详解-第7章 多元函数微分学.doc

习题详解-第7章 多元函数微分学

苏情
2019-01-12 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《习题详解-第7章 多元函数微分学doc》,可适用于综合领域

习题指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限:A(,)B()C(,)D()解:A在V卦限B在y轴上C在xOz平面上D在VIII卦限。已知点M()求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标解:设所求对称点的坐标为(xyz)则()由x=y=z=得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为:()()由x=y=z=得到点M关于x轴的对称点的坐标为:()同理可得:点M关于y轴的对称点的坐标为:()关于z轴的对称点的坐标为:()()由x=y=z=得到点M关于xOy面的对称点的坐标为:()同理M关于yOz面的对称点的坐标为:()M关于zOx面的对称点的坐标为:()在z轴上求与两点A()和B()等距离的点解: 设所求的点为M(z)依题意有|MA|=|MB|即()()(z)()()(z)解之得z=故所求的点为M()证明以M(,,)M(,,)M(,,)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解:由两点距离公式可得所以以M(,,)M(,,)M(,,)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形设平面在坐标轴上的截距分别为a=,b=-,c=,求这个平面的方程解:所求平面方程为。求通过x轴和点(,-,-)的平面方程解:因所求平面经过x轴故可设其方程为AyBz=又点(,-,-)在平面上所以AB=即B=A代入并化简可得yz=求平行于y轴且过M(,,)M(,,)两点的平面方程解:因所求平面平行于y轴故可设其方程为AxCzD=又点M和M都在平面上于是可得关系式:A=C=-D,代入方程得:-Dx-DzD=显然D≠,消去D并整理可得所求的平面方程为xz-=方程xyz-xy=表示怎样的曲面?解:表示以点()为球心半径为的球面方程。指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形?()x-y=  ()xy=()xy=  ()y=x解:()表示直线、平面。()表示圆、圆柱面。()表示椭圆、椭圆柱面。()表示抛物线、抛物柱面。习题下列各函数表达式:()已知f(x,y)=xy,求()已知求f(x,y)解:()()所以求下列函数的定义域并指出其在平面直角坐标系中的图形:()  ()()  ()解:()由可得故所求定义域为D={(x,y)|}表示xOy平面上不包含圆周的区域。()由可得故所求的定义域为D={(x,y)|}表示两条带形闭域。()由可得故所求的定义域为D={(x,y)|}表示xOy平面上直线y=x以下且横坐标的部分。()由可得故所求的定义域为D={(x,y)|}。说明下列极限不存在:()  ()解:()当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(,)时有。显然此时的极限值随k的变化而变化。因此函数f(x,y)在(,)处的极限不存在。()当点P(x,y)沿曲线趋于点(,)时有。显然此时的极限值随k的变化而变化。因此函数f(x,y)在(,)处的极限不存在。计算下列极限:()  ()()  ()解:()因初等函数在(,)处连续故有()()()。究下列函数的连续性:()()解:()所以f(x,y)在(,)处连续()该极限随着k的取值不同而不同因而f(x,y)在(,)处不连续下列函数在何处间断?()  ()解:()z在{(x,y)|}处间断()z在{(x,y)|}处间断习题求下列函数偏导数:()z=xxyy        ()()      ()()        ()解:()()()()()()求下列函数在指定点处的偏导数:()f(x,y)=x-xyy求fx(,)fy(,)()求()求      (),求解:()()因此()因此所以()故.设证明:()()()证明:利用函数关于自变量的对称性可推断得到:()()利用函数关于自变量的对称性可推断得到:()利用函数关于自变量的对称性可推断得到:求下列函数的二阶偏导数,,:()    ()解:()()某水泥厂生产A,B两种标号的水泥其日产量分别记作x,y(单位:吨)总成本(单位:元)为C(x,y)=xxyy,求当x=,y=时两种标号水泥的边际成本并解释其经济含义解:经济含义:当A,B两种标号的水泥日产量分别吨和吨时如果B水泥产量不变而A水泥的产量每增加吨成本将增加元如果A水泥产量不变而B水泥的产量每增加吨成本将增加元。设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为Q=-py求当p=,y=时需求Q对价格p和收入y的偏弹性并解释其经济含义解:经济含义:价格为和收入为时如果价格不变而收入增加个单位商品的需求量将增加如果收入不变而价格增加个单位商品的需求量将减少习题求下列函数的全微分:()z=xyxy       ()()u=ln(x-yz)       ()解:()所以 ()所以 ()所以 ()所以 计算函数z=xy在点()处的全微分解:所以 求函数z=xy在点()处关于Δx=Δy=的全增量与全微分解:所以计算()的近似值设函数f(x,y)=xyx=,y=,Δx=,Δy=f(,)==,fx(x,y)=yxy,fy(x,y)=xylnx,fx(,)=,fy(,)=由二元函数全微分近似计算公式()得()≈××=设有一个无盖圆柱形玻璃容器容器的内高为cm内半径为cm容器的壁与底的厚度均为cm求容器外壳体积的近似值解:解 设圆柱的直径和高分别用xy表示则其体积为于是将所需的混凝土量看作当xΔx=×yΔy=与x=y=时的两个圆柱体的体积之差ΔV(不考虑底部的混凝土)因此可用近似计算公式ΔV≈dV=fx(x,y)Δxfy(x,y)Δy又代入x=y=Δx=Δy=得到(m)因此大约需要m的混凝土习题求下列函数的全导数:()设z=euv而u=t,v=cost,求导数()设z=arctan(u-v),而u=x,v=x,求导数()设z=xysint,而x=et,y=cost,求导数解:()()()求下列函数的偏导数(其中f具有一阶连续偏导数):()设z=uv-uv而u=xsiny,v=xcosy求和()设z=(xy)xy求和()设u=f(x,y,z)=exyz,z=xcosy求和()设w=f(xxyxyz)求,,解:()()令()应用全微分形式的不变性求函数的全微分解:令而故已知sinxy-zez=,求和解:两同时对x求偏导可得故两边同时对y求偏导可得故若f的导数存在验证下列各式:()设u=yf(x-y)则()设则证:(),所以(),所以求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数):()()z=ylnx()z=f(xy,x-y)解:()由第题可知故()故,()故求由下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数:()xyz-z=()z-xyz=解:()两边同时对x求偏导得故两边同时对y求偏导得故()两边同时对x求偏导得故两边同时对y求偏导得故习题求下列函数的极值:()f(x,y)=xy-xyx-y()f(x,y)=xy-x-y解:()先解方程组得驻点为(,),(,)在点()处Δ=ACB=×<,所以f()不是极值在点()处Δ=ACB=×>又A>所以函数在()处有极小值f()=()先解方程组得驻点为(,),(,)在点()处Δ=ACB=<,所以f()不是极值在点()处Δ=ACB=>,又A<所以函数在()处有极大值f()=求函数f(x,y)=x-xyy在矩形区域D={(x,y)|≤x≤,≤y≤}上的最大值和最小值解:()先求函数在D内的驻点解方程组得唯一驻点(,),且f(,)=()再求f(x,y)在D的边界上的最值在边界x=,上,f(x,y)=y因此最大值为f(,)=最小值为f(,)=在边界x=,上,f(x,y)=y因此最大值为f(,)=最小值为f(,)=在边界y=,上,f(x,y)=x因此最大值为f(,)=最小值为f(,)=在边界y=,上,f(x,y)=x-x因此最大值为f(,)=最小值为f(,)=()比较上述得到的函数值从而得到f(,)=为最大值f(,)=为最小值求函数f(x,y)=xy-x在区域D:xy≤上的最小值解:()先求函数在D内的驻点解方程组得驻点(,),(,)且f(,)=f(,)=()再求f(x,y)在D的边界上的最值在边界xy=上f(x,y)=-x,因此最大值为f(,)=最小值为f(,)=()比较上述得到的函数值从而得到f(,)=为最大值f(,)=为最小值求下列函数的条件极值:()z=xyxy=()u=x-yzxyz=解:()作拉格朗日函数L(x,y,λ)=xyλ(xy-)写出方程组得到,因此z=xy在处取得最大值()作拉格朗日函数L(x,y,z,λ)=x-yzλ(xyz-)写出方程组得到,因此u=x-yz在处取得最小值要用铁板做成一个体积为m的有盖长方体水箱如何设计才能使用料最省?解 设长方体的三棱长分别为xyz则问题就是在约束条件xyz=下求函数S=(xyyzxz)的最大值构成辅助函数F(xyz)=(xyyzxz)λ(xyz-)解方程组得,这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最小值一定存在所以最小值就在这个可能的极值点处取得即:体积为m的有盖长方体水箱中,以棱长为的正方体的表面积为最小最小表面积某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件总成本函数为C(x,y)=x-xyy(元),要求每天生产这两种产品的总量为件问甲、乙两种产品的日产量为多少时成本最低?解:问题是在约束条件xy=(x>y>)下函数C(x,y)=x-xyy(元)的条件极值问题令由得x=,y=根据问题本身的意义及驻点的唯一性知当投入两种产品的产量分别为件和件时可使成本最低某公司通过电视和报纸两种媒体做广告已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为R(x,y)=xy-xy-x-y()若广告费用不设限求最佳广告策略()若广告费用总预算是万元分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策略解:()得唯一驻点(,)由此可知当电视广告费为万元报纸广告费为万元时广告策略最佳。()问题是在约束条件xy=(x>y>)下函数R(x,y)=xy-xy-x-y的条件极值问题令由解得x=,y=由此可知当电视广告费为万元报纸广告费为万元时广告策略最佳。由xy=可得y=x,代入R得R(x,y)=xx令因此y=复习题(A)设且已知y=时z=x则,解:由y=时z=x得令设则   ,   解:设,,则     解:令而故设,其中f,g具有二阶连续偏导数,则     解:所以若函数z=f(x,y)在点(x,y)处的偏导数存在则在该点处函数( D )A 有极限             B连续C 可微             D以上三项都不成立解:因为偏导数存在不能推出极限存在所以ABC三项不一定正确 偏导数fx(x,y)fy(x,y)存在是函数z=f(x,y)在点(x,y)连续的( D )A 充分条件           B 必要条件C 充要条件           D 即非充分也非必要条件解:同 设函数f(x,y)=-xy,则下列结论正确的是( D )A 点(,)是f(x,y)的极小值点   B 点(,)是f(x,y)的极大值点C 点(,)不是f(x,y)的驻点   D f(,)不是f(x,y)的极值 求下列极限:()  ()解:()因为所以()= 设u=ex-y而xy=t,x-y=t,求解:由xy=t,x-y=t,可得所以因此令故设z=f(x,y)由方程xyyzxz=所确定,求解:两边同时对x求偏导得设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足又,试证证:则所以求函数f(x,y)=x(y)ylny的极值解:先解方程组得驻点为(,)在点()处,Δ=ACB=×>,又A>,所以函数在()处有极小值f()=(B)设z=e-xf(x-y)且已知y=时z=x,则     解:令所以设f(x,y,z)=exyz其中z=z(x,y)是由xyzxyz=确定的隐函数则   解:故因此设,则     解:所以设,,其中f,g具有二阶连续偏导数,则     解:函数在点(,)处的偏导数存在的情况是( C )A fx(,)fy(,)都存在   B fx(,)存在fy(,)不存在C fx(,)不存在fy(,)存在   D fx(,)fy(,)都不存在解: 设f(x,y),g(x,y)均为可微函数且gy(x,y)≠已知(x,y)是f(x,y)在约束条件g(x,y)=下的一个极值点下列结论正确的是( D )A 若fx(x,y)=,则fy(x,y)=B 若fx(x,y)=,则fy(x,y)≠C 若fx(x,y)≠,则fy(x,y)=D 若fx(x,y)≠,则fy(x,y)≠解:作拉格朗日函数则有由于gy(x,y)≠所以当fx(x,y)≠因此从而fy(x,y)≠设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数且z=z(x,y)是由xex-yey=zez所确定的隐函数求du解:由xex-yey=zez可得因此设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数且y=y(x),z=z(x)分别由下列两式确定:求解:由由故设z=z(x,y)由方程xy-z=g(xyz)所确定其中g具有二阶连续偏导数且g′≠-()求dz(),求解:(),两边分别同时对x、y求偏导得因此(),求函数u=xyz在约束条件z=xy和xyz=下的最大值和最小值解:由因此问题转化为求下的极值问题令,解得:因此,又所以最大值为最小值为

用户评价(0)

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

文档小程序码

使用微信“扫一扫”扫码寻找文档

1

打开微信

2

扫描小程序码

3

发布寻找信息

4

等待寻找结果

我知道了
评分:

/44

习题详解-第7章 多元函数微分学

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利