2-4隐函数的求导法则

·复习  初等函数的求导法则，基本初等函数的求导 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 . ·引入  前面我们所遇到的函数都是 的形式，这种函数的求导问题已经解决，下面我们来学习几种特殊的求导法. ·讲解新课 第四节  隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数 一  隐函数的求导法 把一个变量明显是另一个变量的函数，并可以表示为 的形式的函数叫做显函数．把一个函数的自变量 和变量 之间的对应关系由一个二元方程 所确定的函数叫做隐函数． 如 ， ， 都是隐函数． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化. 如将方程 化成 ． 隐函数的显化有时是有因难的．甚至是不可能的． 如隐函数 就无法化成显函数．但在实际问题中，常常需要计算隐函数的导数． 求隐函数的导数的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是将方程两边同时对自变量 求导，把 看成是关于 的函数，把关于 的函数应看成是关于 的复合函数． 例1  求由方程 所确定的隐函数的导数 ． 解：将方程两边同时对 求导，得 ，解得 . 一般地，由方程 所确定的隐函数 ，它的导数 中允许含有 ． 例2  求方程 所确定的隐函数 在 的导数 ． 解：将方程的两边同时对 求导，得 ， 所以    ． 当 时，由方程 得 ，所以 ． 二  对数求导法 形为 （其中 、 都是 的函数）的函数叫做幂指函数． 在求导运算中，常会遇到这样两类函数求导问题：一类是幂指函数，另一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数。可以用对数求导法来求着两类函数的导数。所谓对数求导法，就是两边先取对数，然后利用隐函数的求导法求的结果。 例3  求函数 的导数． 解：两边先取自然对数，得 ， 将方程两边同时对 求导，得 ， 于是 . 例4  求函数 的导数． 解：先两边取对数，得 ， 方程两边对 求导，得 ， 所以 . 三  由参数方程所确定的函数的导数 定理  （参数方程求导法则）设函数由参数方程 所确定，如果 在某区间内关于 都可导，并且 ，那么由参数方程确定的函数的导数为 。 此公式就是由参数方程所确定的函数 对 的导数公式． 一般情况下，参数方程 ，确定了 是 的函数．假设参数方程所确定的函数是 ，那么函数 可以看成是由函数 和 复合而成的函数，即 ，假定 和 都可导，且 ，于是根据复合函数的求导法则，就有 ，即 。 例5  已知圆的参数方程   （ ， 为参数），求 ． 解：∵ ， ， ∴ ． 例6  已知椭圆的参数方程为 （ ， , 为参数）求椭圆在 的切线方程. 解：∵ ， ，∴ ． 当 时，椭圆上的相应点 的坐标是 ， ，因为曲线在点 处的切线斜率为 ， 所以椭圆在点 处的切线方程为 ，整理得 ,如图所示． 练习  1  求由下列方程所确定的隐函数的导数 . （1） ，（2） ，（3） . 2利用对数求导法求下列函数的导数. （1） ，（2） ，（3） . 3. 求下列参数方程所确定的函数的导数 . （1） ，（2） ，（3） （ 为常数）. 四  相关变化率 在一些问题中，变量 的变化依赖于另外的变量 ，但变量 之间存在着某种关系，从而变化率 与 直接也存在一定的关系。这样，两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题是研究两个变化率之间的关系，通过其中一个来计算另一个变化率。 例7  设气体以100cm3/s的常速注入球状的气球，假定气体的压力不变，那么当半径为10cm时，气球半径增加的速率是多少？ 解  设在时刻t时，气球的体积与半径分别为V和r，显然 ， 所以V通过中间变量r与时间发生联系，是一个复合函数 。 根据题意，已知 =100cm3/s,要求党r=10cm时 的值。 根据复合函数求导法则，得 ， 将已知数代入上式，得 ， 所以 cm/s， 即当半径为10cm时，气球半径增加的速率是 cm/s。 例8  若水以2m3/min的速度灌入高为10m，底面半径为5m的圆椎形水槽中（如图），问当水深为6m时，水位的上升速度为多少？ 解  设在时间为t时，水槽中水的体积为V,水面的半径为x，水槽中水的深度为y。 由题意有， ， ， 且 ，即 。因此  ， 将上式求导得    ，即 。 将 及 代入上式得 （m/min）。 所以，当水深6m时，水位上升的速度为0.071m/min。 例9  一气球从离开观察员500m处离地面垂直上升，其速率为140m/min，当气球高度为500m时，观察员视线的仰角的增加率是多少/ 解  设气球上升t秒后，其高度为h米，观察员视线的仰角为 ，则 ， 其中 及h都是时间t的函数。上式两端对t求导，得 。 已知 m/min，又当h=500米时，tan=1，sec2=2,代入上式得 。 所以      （ard/min）. 即观察员视线的仰角增加率是0.14ard/min. 练习  1  一盏5m高处的路灯，照在一个距灯3m远，从5m高处落下的小球上，球的影子沿地面移动，求当球离地面3m高时，影子移动的速率？( m/s) 2  飞机在高h米处飞行的速度为a米/秒，位于航线正下方的地面上有一个探照灯跟踪飞机，问探照灯应以怎样的角速度转动才能找到飞机？（ ard/s） 3  落在平静水面上的石头，产生的同心波纹。若最外一圈的半径的增大率总是6m/s，问2s末扰动水面面积的增大率是多少？（144 m2/s） 五  基本初等函数的求导公式与法则 1  基本初等函数的求导公式 （1）  , （2 ） , （3） （4） ,        （5）  （6） （ 是任意实数）（7） . （8）              （9）  .  （10)         (11) (12)      (13)  . (14)   (15) . (16)     (17) . (18)       2  函数的和、差、积、商的求导法则 （1） 。 （2） 。 特别地  （ 为常数）。 （3） 。 特别地  （ 为常数）。 3  复合函数的求导法则 设函数 在点 处可导，函数 在对应点 处也可导，则复合函数 在点 处也可导， 且有                。 上式也可写成 或 的形式. 4  参数方程确定的函数的导数 若参数方程 ，确定了 是 的函数，则  5  反函数的求导法则 如果单调连续函数x= (y)在点y处可导，而且 ，那么它的反函数y=f(x)在对应的点x处可导，且有 或 。 至此，基本初等函数的导数公式全部介绍完毕，而且还给出了函数的和、差、积、商与复合函数的求导法则．由于任意初等函数都是由基本初等函数与常数经过有限次四则运算和复合而成的，所以现在可以求任意初等函数的导数． 练习  求下列函数的导数. （1） ，（2） ，（3） ，（4） ， （5） ，（6） ，（7） ， （8） ，（9） ，（10） 。 小结  1  在隐函数及对数求导法中，要以复合函数求导法为依据展开要注意对中间变量求导后不要丢掉 因子。2  复合函数的导数在实际问题中的应用比较难，在教学中应详细的进行分析，通过多练，使学生掌握解题方法。3  根据导数的定义和求导法则，推出了所有基本初等函数的求导公式，即建立了和差积商求导法则，复合函数求导法则，反函数求导法则，这样就解决了初等函数的求导问题。 作业  P44:1,2,5 板书设计 一 隐函数求导法 例1 例2 二 对数求导法 例3 例4 三 由参数方程所确定的函数的导数 例5 例6 四 相关变化率 例7 五 基本初等函数的求导公式与法则 练习小结 作业