2011年“携手成长”夏令营讲义——相似三角形(三)
姓名______________
梅涅劳斯定理:
定理1: 若直线 l 不经过△ABC 的顶点,并且与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线分
别交于P 、Q 、R ,则1BP CQ AR PC QA RB
??=.
定理2:设P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线上的三点,并且P 、Q 、R
三点中,位于△ABC 边上的点的个数为0或2,若
1BP CQ AR PC QA RB ??=,则P 、Q 、R 三点共线.
赛瓦定理:在△ABC 内任取一点O ,直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F , 则1BD CE AF DC EA FB
??=.
例1:如图,△ABC 中,F 点分AC 为1:2,G 是BF 的中点,AG 的延长线交BC 于E ,求E 分BC
边所成的比为多少?
G F E C B A
例2:F、D、E分等边△ABC的三边AB、BC、CA均为1:2两部分,求:AD、BE、CF相交成的△PQR的面积与△ABC的面积比?
例3:如图,已知
53
,,
24
AD AC
DB CE
==求
BF
FC
的值.
例4:如图在□ABCD中,对角线AC、BD交于O,在BC上取一点E,使
1
4
EC AD
=,
DE交AC于F,求AO:OF:FC的值.
例5:△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE//BC,设BE与CD交于点G,
AG交BC于F,求BF
FC
的值.
R
Q
P
A
B C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B C
D
E
F
O
A
B C
D E
F
G
例6:如图,△ABC 中,DE//BC ,且DE:BC=2:3,BE 与CD 相交于点O ,AO 与BC 、DE 分别交于
点M 、N ,CN 与BE 交于点F ,连接FM ,求FM:AB 的值.
例7:如图,O 为△ABC 的中线AD 上任意一点,CO 、BO 的延长线交AB 、AC 与F 、E ,
EF 交AD 于点G ,
求证:(1)EF//BC ; (2)EG=GF.
例8:求证:不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点.
O
N M
A B C D E
F
O G F
E D C
B A
例9:如图Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CK 是斜边上的高,CE 是∠ACK 的平分线,
且E 点在AK 上,D 是AC 的中点,F 是DE 与CK 的交点, 求证:BF//CE
例10:如图,已知直线111,,AA BB CC 相交于点O ,直线AB 和11A B 交于点2C ,直线BC 与11B C 交
于点2A ,直线AC 和11AC 交于点2B , 求证:2A 、2B 、2C 三点共线.
K A B
C
D
E F
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