从有限维到无限维空间巴

从有限维到无限维空间巴 2010-8-111信息与系统科学研究所精勤求学敦笃励志果毅力行忠恕任事从有限维空间到无穷维空间Move Towards Infinite Dimensional Spaces Starting from Finite Dimensional Spaces从有限维空间到无穷维空间Move Towards Infinite Dimensional Spaces Starting from Finite Dimensional Spaces 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 人彭济根 Jgpengmail.xjtu.edu.cnHttp://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn报告人彭济根 Jgpengmail.xjtu.edu.cnHttp://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn 内容提要??引言??一维实空间??有限维空间??无穷维空间??距离空间??几个实例2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn关键词一有限维无限维空间---------------------------------------一、引言维数是指用以表征对象的最少参数的个数。称一个对象是n维的如果它可由且仅由n个有序参数“表征”。空间是指赋予一定结构的集合。数学上的结构一般可分为三大类拓扑结构、代数结构、序结构。其中拓扑结构广义几何是通过定义元素之间的“邻近方式”而构建的。相关的基本概念是开集、极限、连续等代数结构是通过定义集合元素间的运算而构建的。例加法运算、数乘运算、乘法运算等序结构是通过定义元素间的某种“传递”关系而构建的。2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn有限维空间如果存在某个常数使得空间中每个点都可以由至多n个有序参数表征则称之为有限维空间。这样的最小n称为空间的维数同时该空间称为n 维空间。无穷维空间若空间中至少存在一个点不能由有限个参数表征则称之为无穷维空间。值得注意的是空间的维数与被用来表征的参数的选择紧密相关。例如一个平面若以复数来表征它是1维而若以实数来表征它是2维的。一般地一个以复数表征的n维空间在实数表征下是2n维的。一、引言2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn熟知当一个空间具有或被赋以线性结构时即定义有加法和数乘运算且满足8条运算定律此时该空间称为线性空间空间的维数可以通过确定最大无关向量集来定义。若最大无关向量集是有限集则空间中每个点都可以唯一地表示为无关向量的线性组合因而每个元素都可以这个线性组合的系数来表征。因此由定义知这个空间的维数就是最大无关向量集中向量的个数。线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间结构形式。为此本讲义将针对线性空间而展开。线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间结构形式。为此本讲义将针对线性空间而展开。一、引言2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1维非线性1维非线性1维非线性1维非线性1维线性1维线性P.P经度纬度P.Pxyz2维非线性2维非线性3维线性3维线性一、引言2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn设。易见中的每个元素都可用n 元有序组 表征。因此是n限空间。设。易见中的每个元素都可以用m 元有序组表征。因此是m限空间。设C01表示所有在区间01上连续的 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 全体。该集合中的元素不可能由有限个参数组来表征。因此它是无穷维的。nn1P:Rkkkkaxa??????????????m1Ssin:RRmkkkbkxbx???????????????一、引言2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn从定义形式看空间结构与空间维数是两个独立的概念。但在实际问题中空间结构往往是通过空间的表征参数组来定义的。自然地空间的维数越高其表征的参数就越多因此随着维数的增大空间结构性质就越复杂。那么问题随着维数的增加特别是“达到”无穷维时空间结构性质将呈现出怎样的变化值得指出的是数学的许多领域处理的往往不是空间本身的性质而是空间中的变换或称算子因此问题2: 随着维数的增加特 别是在无穷维空间中空间变换将呈现出怎样的复杂性周知实数是集三大数学结构于一体的最基本的空间是数学研究的本体。为此我们就从实数这个1维空间开始在分析框架内围绕空间的拓扑性质及其空间变换性质而展开讨论。一、引言2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1.序列的极限函数映射的极限二、一维实空间: 实数基本概念基本概念一一2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn3.映射函数的连续性聚点、闭集、开集等二、一维实空间: 实数极限存在的判别准则单调增上有界序列必有极限序列收敛当且仅当它是Cauchy列或基本列。3.映射的极限定义中代替。定积分定义中的收敛性不能用序列的收敛性来刻画定积分定义中的收敛性不能用序列的收敛性来刻画 -8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1.线性实数空间是线性的。2.完备性前面有关序列收敛的第二个判定准则表明实数是完备的。即每个Cauchy列都有极限。3.可分性第三个判别准则表明实数是可分的事实上它以有理数集这个可数集为稠密子集。4.致密性列紧性任何有界序列必有收敛子列。5.紧性有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖。6.区间套性质单调减的闭区间族an bn的交集非空。二、一维实空间: 实数实数的基本性质实数的基本性质二二周知致密性定理、有限覆盖定理以及闭区间套定理三者是等价的。周知致密性定理、有限覆盖定理以及闭区间套定理三者是等价的。2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1.线性函数的表征映射Fx为线性的当且仅当存在常数a 使Fxax。2.连续函数在有界闭区间闭集上必取到极值。3.连续函数在有界闭区间闭集上是一致连续的。4.闭区间闭集在连续映射下的原像是闭集。5.区间上的凸函数一定连续。6.可微函数是凸的当且仅当它的导函数是单调增的。二、一维实空间: 实数连续映射的性质连续映射的性质三三回想函数f 单调增当且仅当对任意x y?R 皆有fx-fyx-y?0。回想函数f 单调增当且仅当对任意x y?R 皆有fx-fyx-y?0。2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn二、一维实空间: 实数线性系统的可解性线性系统的可解性四四1.线性系统的解为线性系统零解稳定的必要条件是a?0。3. 线性系统零解渐近稳定指数稳定的充分必要条件是alt0。4.函数是指数函数的充分必要条件是在0 ?上连续。0 ?′ttbutaxtx0 00????tdrrbuexetxtrtaat0 ?′ttaxtx0 ?′ttaxtx2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn孰知实数是数学研究的本源绝大多数数学研究的分支领域都可以在实数中找到其源头。但无论是数学研究内在驱动还是应用需求仅限于一维实数的研究是远不够的。许多问题需要多个变量进行描述需要置于多维空间中进行研究。因此有必要发展多维空间理论。二、一维实空间: 实数问题典型的多维空间如平面立体空间等在这些空间中点的表示与坐标的建立密不可分。那么坐标系的建立其本质意义是什么-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn多维空间概念的引入源于18世纪末几何学的发展。由前面的定义知本讲义所指的多维空间具有更为广泛的意义它可以包括诸如由红、黄、蓝三种基色复合而成的“颜色空间也可以包括由压力、浓度、温度为参数的气体状态空间等等。在n 维空间中每个点都可以用n个有序参数组a2 … an表征即每个n维空间都与Rn一一对应因此下面我们就以Rn 为例探讨多维空间拓扑结构的建立与相关性质。三、有限维实空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cnRn 空间的结构多是通过与实数作类比而建立起来的。以下设aa1 a2 … anbb1 b2 … bn?Rn。1.实数的绝对值?向量的“模实数 的乘积?向量的内积基本概念基本概念一一1nkkkabab?1221nkkaa????????????? 距离夹角arccosabab????:dabab??三、有限维实空间易见‖a‖2ltaagt易见‖a‖2ltaagt2010-8-一维情形二项式展开式多维情形的二项式展开平行四边形准则bab???????222n12122 Rnnabaabbaaaabbbb?????LL以上通过类比而引进的概念在很大程度上延续了实数的性质。例如二项式展开可在形式上推广到多维情形以上通过类比而引进的概念在很大程度上延续了实数的性质。例如二项式展开可在形式上推广到多维情形三、有限维实空间内积是实数乘积的一种推广内积是实数乘积的一种推广 -8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1.序列的极限映射的极限映射函数的连续性三、有限维实空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn4.函数F: Rn?Rm的可微性若每个分量函数Fi对每个分量的偏导数存在则称F 可微并称m×n 阶矩阵为F 在x处的导数记为F ’x。5.函数f: Rn?Rn的单调性若对任意x y?Rn则称f 是单调的。nmjixxFxA×????????????????????0?????yxyfxf三、有限维实空间内积是实数乘积的一种推广后面我们将看到内积又是“共轭内积”的一种特殊情形因而单调性可以进一步推广。内积是实数乘积的一种推广后面我们将看到内积又是“共轭内积”的一种特殊情形因而单调性可以进一步推广。2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn6.开球、闭球、7.领域、内点、开集、闭集x 称为集合A的内点若存在rgt0 使得Uxr包含于A。若A的每个点都是其内点则称A为开集。开集的余集称为闭集。开集闭集的公理特征全空间Rn 和空集既是开集也是闭集任意多个开集闭集的并交仍是开集闭集有限多个开集闭集的交并仍是开集闭集。三、有限维实空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn极限收敛准则极限收敛准则二二1.单调增有界序列必有极限任何Cauchy列或称基本列必有极限映射的极限定义中可用代替中的序列收敛当且仅当每个分量数列收敛即赋予“大小”关系当且仅当ai?bi赋予“大小”关系当且仅当ai?bimmnmnnnininnnxxxxxxxxxxmixxR lim 21lim0020102100?????????LLL其中三、有限维实空间事实上可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 序列xn收敛的充分必要条件是对任意a 数列ltaxngt收敛。事实上可以证明序列xn收敛的充分必要条件是对任意a 数列ltaxngt收敛。 2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1.线性在加法运算以及数乘运算下是线性的。2. 完备性每个Cauchy列都有极限。3. 可分性以分量为有理数的点集为稠密子集。4. 致密性列紧性任何有界序列必有收敛子列。5. 紧性有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖。6. 闭集套性质单调减的闭集族的交集非空。Rn的基本性质Rn的基本性质三三:2naaaaλλλλL :2211nnbabababaL三、有限维实空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1.线性映射的表征映射F: Rn?Rm为线性的当且仅当存在m×n 阶矩阵A使FxAx。2.线性函数的表征映射f: Rn?R为线性的当且仅当存在a?Rn使fxlta xgt。证明连续函数在有界闭集上必取到极值。4.连续映射在有界闭集上是一致连续的。5.闭集在连续映射下的原像是闭集。6.开集上的凸函数一定连续。7.可微函数是凸的当且仅当它的导函数是单调的。连续映射的性质连续映射的性质四四三、有限维实空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1. 线性系统的解为其中2. 线性系统零解稳定的必要条件是矩阵A不能有特征值于右半复平面。3. 线性系统零解渐近稳定指数稳定的充分必要条件是矩阵A的 特征值全部位于左半复平面。4. 单参数n×n阶矩阵族Ttt?0是矩阵指数函数的充分必要条件是对任意的x?Rn映射t?Ttx在0 ?上连续。线性系统的性质线性系统的性质五五0 ?′ttButAxtx0 00????tdrrBuexetxtrtAAt三、有限维实空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn对照一维实空间与多维空间可以看出在适当的拓扑结构下一维实空间的许多拓扑性质在多维空间中得到保持。事实上由定义可以看出中的许多问题可转化为一维实空间中的n个相关问题。如作为立拓扑结构基础的极限问题中序列极限的存在性等同于n个实数列的极限“同步”存在性。在有限范畴内个数的增加不会影响这种“同步”的定性性质。但是当个数“达到”无穷多时要取得“同步”是一件非常困难的事情。由此可以预见无穷维空间将呈现出非常复杂的拓扑性质。三、有限维实空间 2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn总体上无穷维空间理论的形成与发展受到来自两个方面因素的推动数学内在因素。19世纪至20世纪初对变分弦的振动、积分方程、微分方程边值、函数逼近等以函数为基本处理单元的问题的研究使人们逐渐认识到研究以函数为元素的空间理论的重要性。另外公理化思潮也对无穷维空间理论的形成和发展起到了重要的促进作用。2. 外部因素。20世纪的理论物理学特别是量子力学理论、航空航天、核理论与技术等学科领域的理论发展和技术进步对无穷维空间理论的形成与发展提供了强有力的外部动力。事实上即便是在当今的信息化时代其它学科的发展仍然是无穷维空间理论发展的重要推手。四、无穷维空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn例1. 弹性系统的振动问题已知系在A、B两端的均匀弹性细线在某种外力下被拉离平衡位置形成曲线 那么松开外力后细线在t 时刻后的形状如何最终状态如何显然这是一个以连续函数为处理单元的问题因此需要置于以连续函数为元素的空间中进行处理。四、无穷维空间ABxyx2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn例2. 神经动力场系统该系统描述的是神经活性分布随时间变化的演化趋势。易见这是一个以分布函数为处理单元的问题。四、无穷维空间 uxtuxthwxxuxtdxsxtτθΩ′′′?????amp一般选为Mexican hat函数。动力神经场一般被假设为一个各向同性的齐次场此时wxx可以写成wx-x的形式0 01 0uuuθ?????gt??τ为时间常数-h为神经场的静息活性τ为时间常数-h为神经场的静息活性t 时刻神经活性强度分布t 时刻神经活性强度分布2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn例3. 图像匹配问题四、无穷维空间彭济根他是彭济根吗图中有彭济根吗若有请找出来。2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn在数学上所谓图像匹配是指给定两个集合X 和分别代表两幅图像不妨设前者不大于后者确定适当的变换F使得与Y或Y的子集相“吻合”。若设d 是刻画两个大小相当的数据集之间“相似程度”的函数则两个数据集X和Y之间的匹配问题可以描述为下的优化问题其中Cor表示X与Y的子集之间的对应关系。易见这是一个以“变换”为基本处理单元的问题因此需要置于以某种“变换”为元素的空间中进行处理。四、无穷维空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn四、无穷维空间由前面的讨论知有限维空间的拓扑结构是通过引入所谓向量的“模”而建立的而这样的模又是由向量的表征参数组即分量来定义的。由于无穷维空间中的向量不能由有限个参数组表征因而那种由实数类比而建立拓扑结构的方法不能直接适用于无穷维空间。什么是向量的“模对比实数的“模绝对值与Rn中向量“模”的定义。易见它们实际上是一个定义在各自空间上的非负实函数若以统一 的符号???记之则易验证它们具有如下共性拓扑结构的建立拓扑结构的建立一一2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn四、无穷维空间易见以上性质不依赖于“模”的具体定义方式。定义设X是数域K上的线性空间若定义在X上的非负函数???满足以上三个性质则称???为X上的范数。此时称X为赋范线性空间normed linear space。距离-y?……1.?x?0当且仅当x02.对任意的实数a 和向量x?ax? a?x?3.对任意向量x y ?xy???x? ?y?.2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn无穷维赋范线性空间的例子四、无穷维空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn四、无穷维空间注1.在同一个线性空间中可以定义不同的范数不同的范数所诱导的拓扑结构几何结构是不尽相同的。例如在定义1下我们可以在有限维空间中引入不同的范数。下面以R2为例展现这一点-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn四、无穷维空间2.3. 2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn四、无穷维空间注2.前面我们看到同一个线性空间中可以定义不同的范数而且不同的范数所诱导的拓扑结构几何结构是不尽相同的。但有些范数所诱导的拓扑性质是等价的。1.强等价设???1和???2为线性空间上的两个范数若存在非负常数m n使得2.拓扑等价设???1和???2为线性空间上的两个范数若有限维空间中任何范数都是强等价的。有限维空间中任何范数都是强等价的。2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1.序列的极限映射的极限映射函数的连续性四、无穷维空间 2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn4.开球、闭球5.内点、开集、闭集x 称为集合A的内点若存在rgt0 使得Uxr包含于A。若A的每个点都是其内点则称A为开集。开集的余集称为闭集。开集闭集的公理特征全空间和空集既是开集也是闭集任意多个开集闭集的并交仍是开集闭集有限多个开集闭集的交并仍是开集闭集。四、无穷维空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn关于极限的收敛性关于极限的收敛性二二在探讨赋范线性空间的极限收敛性之前让我们首先回顾一下Rn空中的收敛性准则单调增有界序列必有极限任何Cauchy列或称基本列必有极限映射的极限定义中可用代替序列收敛当且仅当每个分量数列收敛。等价地序列xn收敛的充分必要条件是对任意a 数列ltaxngt收敛。等价地序列xn收敛的充分必要条件是对任意a 数列ltaxngt收敛。四、无穷维空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn以上准则在赋范线性空间中是否成立性质1 2.性质23.性质34.性质4 问题1. 在无穷维空间如何定义单调性问题2. 什么情况下列有极限问题3. 什么情况下拓扑性质可以用序列来刻画问题4. 什么是分量四、无穷维空间涉及序结构涉及序结构完备性问题完备性问题可分性问题可分性问题线性泛函的作用线性泛函的作用 2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn以上问题1导致如下概念定义偏序若集合X上元素之间的关系“?”满足则称“?”为X上的偏序此时X称为偏序集。若X中的任意两个元素xy皆有x?y或y?x则称X为全序集。定义上界设A是偏序集X的子集?X称为A的上界如果对任意x?A皆有x?b。定义极大元、上确界 设x?X。若隐含则称x为X的极大元极小元。上界中的极小元称为上确界。四、无穷维空间z则xzyy若x 3.y则xxyy若x????????? .2 .1xxXx2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn关于偏序集的几个公理全序公理每个集合都可以赋予一个全序。2.Zermelo选择性公理设??为 一族非空集合则存在映射f : ???Aα使得f Aα ?Aα。3.Zorn引理设为偏序集若X的每个全序子都有上界则X必有极大元。4.Zermelo不动点定理设 为偏序集的每个序子集都有上界。若映射f : X?X满足对任意x ? 则f必有不动点。四、无穷维空间回到问题在偏序的单调意义下单调有界序列是否一定有极限回到问题在偏序的单调意义下单调有界序列是否一定有极限-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn针对问题我们引入如下概念定义空间若赋范线性空间X的每个Cauchy列都在X中有极限则称X为完备的此时称X为Banach空间。注下列空间皆为Banach空间四、无穷维空间2010-8-11Http://jgpeng.gr.xjtu.edu.cn四、无穷维空间值得注意的是同一线性空间在不同范数下的完备性不一定相同。例如若在连续函数空间Cab定义如下范数则Cab不是完备的但是在该范数下是可完备化的而且其完备化空间就是。以上我们针对问题1和问题2发展了相应的概念。对于问题3和问题因其涉及到更多的概念每个问题都是更深层.