湖大出版社大学物理(一)练习册答案

湖大出版社大学物理(一)练习册答案 大学物理(一)练习册 参考解答 第1章 质点运动学 一、选择题 2(D)，3(B)，4(D)，5(B)，6(D)，7(D)，8(E)，9(B)，10(B)， 1(D)， 二、填空题 12(1). (n = 0,1,… ), ，，2n，1,,,A,sin,t 2 (2). 8 m，10 m. (3). 23 m/s. 2 (4). 16Rt 3222(5). 4t-3t (rad/s)，12t-6t (m/s). 1324(6). ，2ct，ct/R. ct3 2o (7). 2.24 m/s，104 ,,50(,sin5ti，cos5tj)(8). m/s，0，圆. x,mv/K(9). max0 21kt1(10). ,，v2v0 三、计算题 231. 有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t – 2 t (SI) (试求: (1) 第2秒内的平均速度; (2) 第2秒末的瞬时速度; (3) 第2秒内的路程( 解:(1) m/s v,,x/,t,,0.5 2 (2) v = d x/d t = 9t - 6t, v(2) =-6 m/s. (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m. 122. 一质点沿半径为R的圆周运动(质点所经过的弧长与时间的关系为S,bt，ct 其中2b、c是大于零的常量，求从开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间( t,0 解: v,dS/dt,b，ct a,dv/dt,c t 2 ，，a,b，ct/Rn 根据题意: a= a t n 1 2即 ，，c,b，ct/R Rbt,,解得 cc 3. 一质点沿x轴运动，其加速度为a , 4t (SI)，已知t , 0时，质点位于x,10 m处，初速 ,度v, 0(试求其位置和时间的关系式( , ,4,4解: dv /dtt ， dv t dt a, vt2 v = 2t dv,4tdt,,00 xt22,2 vx /d tt dx,2tdt ,d,,0x03,2 x t /3+x (SI) 0 4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为ky，式中k为常量，y是以平衡位置a,, 为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y处的速度为v，试求速度v与坐标y的函00 数关系式( dvdvdydva,,,v解: dtdydtdy a,,y,又 ky ? -kv dv / dy 1122dvdv , v ,kyy,,ky,，C,,22 1122y,v,C,,v,ky已知 y，v则 0 0 0022 2222 v,v，k(y,y)00 5. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，如果飞机的航速(在静止空气中的速率)为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向,飞机相对于地面的速率为多少,试用矢量图 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ( 解:设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知: v=60 km/h 正西方向 FE v=180 km/h 方向未知 AF v大小未知， 正北方向 AE 北,,,v,v，v由相对速度关系有: AEAFFE,,,,vFEvvv、、构成直角三角形，可得 ,AEAFEE西vAE,,,22,，，，，v,v,v,170 km/h ,AEAFFEvFEv,AF,1,,v，，,,tgv/v,19.4 FEFEAE, (飞机应取向北偏东19.4:的航向)( vFE 2 四 研讨题 ,, a,0v 1. 在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运动是不M M ,可能的, v ,(2) (1) ,a a ,参考解答: v M ,(1)、(3)、(4)是不可能的( a ,M v(1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零; (4) (3) (3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心; (4) 曲线运动法向加速度不可能为零. 2. 设质点的运动方程为，在计算质点的速度和加速度时: x,x(t)y,y(t) 2drdr22a,v,第一种方法是，先求出，然后根据及而求得结果; r,x，y 2dtdt第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 22dxdydxdy2222a,()，() 和 . v,()，()22dtdtdtdt 你认为两种方法中哪种方法正确, 参考解答: 第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义， ,,,,,,drddxdyv,,(xi，yj),i，j dtdtdtdt,22,,,,dvdddddxyxy,,,(，),， aijij22ddddddtttttt 22xydddxdy2222a,，所以 ， . v,()，()()()22dtdtttdd 第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性 ,0ˆdrddrdr,000ˆˆˆv,,(r,r) (为r方向的单位矢量)， rrr,，dtdtdtdt,2002ˆˆddrdrdrdrv,0ˆar2r. ,,，,，22dtdtdtdtdt 0ˆdr问题的关键: ,?dt,0ˆdrdi在第二种方法中，如果在第一种方法的讨论中，那么 ,0,,0,dtdt,0ˆdrddrdrdr,dr000ˆˆˆv,,(r,r),r,v, =则也成立～ rr,，dtdtdtdtdtdt 0ˆdr0ˆ注意:若则r必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据,0,dt 0ˆ质点的运动方程为，，质点作平面曲线运动，如图所示，r大x,x(t)y,y(t) 小不变，但方向改变～ 0ˆdr所以即第一种方法是错误的～ ,0,dt 3 ,0,,ˆdrdi0ˆ只有在直线运动中，(显然是大小与方向均不随时间改变的常矢量)r,i,,0,idtdt2drdra,速度的大小才等于.对加速度的大小也可以用同样方法加以讨论. 2dtdt 第2章 质点力学的运动定律 守恒定律 一、选择题 2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(C)，7(B)，8(C)，9(C)，10(B)，11(C)，12(D)，13(B) 1(C)， 二、填空题 (1). 12rad/s. (2). 290J (3). 3J (4). 18 N?s ,,32(5). ti，2tj (SI) 3 (6). 16 N?s， 176 J (7). 16 N?s ，176 J Mlk0(8). ， lk/M0M，nmM ,,i,5j(9). (10). 2mv， 指向正西南或南偏西45? 三、计算题 1. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与 2f,,k/x质点离原点的距离x的平方成反比，即，k是比例常数(设质点在 x=A时的速度为零，求质点在x=A /4处的速度的大小( 解:根据牛顿第二定律 kdddxdvvvfmmm ,,,,,,v2dtdxdtdxx vA/4dxk? vdv,,k,vdv,,dx ,,22mxmx0A 1k4132 v,(,),k2mAAmA ? v,6k/(mA) 2. 飞机降落时的着地速度大小v =90 km/h，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数22, =0.10，迎面空气阻力为Cv，升力为Cv(v是飞机在跑道上的滑行速度，C和C为某两xyxy常量)(已知飞机的升阻比K=C/C=5，求飞机从着地到停止这段时间所滑行的距离((设飞y x 机刚着地时对地面无压力) 解:以飞机着地点为坐标原点，飞机滑行方向为x轴正向(设飞机质量为m，着地后地面对飞机的支持力为N(在竖直方向上 4 22 ? N，Cv,mg,0N,mg,Cvyy 2飞机受到地面的摩擦力 f,,N,,(mg,Cv)y ddvv22在水平方向上 (mgC)Cmm,,,v,v,,vyxdtdx mvdv 即 ,,dx2,,mg，(C,C)vxy v,v,90km/h,25m/sx = 0时，(x =S(滑行距离)时，v,0 0 0Svvmd,,dx,,S 2,,,,vmg，(C,C)xyv00 12m0,,d[()v]mg，C,Cxy2,,S ,2,C,C,(,)vmg，C,Cxyxyv0 12m,,mgCC，(,)vxy02解得 S ,ln C,C,mg,xy ? 飞机刚着地前瞬间，所受重力等于升力，即 2 mg,Cvy0 Cmgmgy? C, , C,,yx22vK5v00 代入S 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式中并化简，然后代入数据 25v10S,ln,221 m 2g(1,5,)5, 3.若质量为m以速率v运动的物体A与质量为m的静止物体B发生对心完全弹性碰撞，1102 如何选择m的大小，使得m在碰撞后具有最大的动能,又此最大动能是多少, 22 解:在对心完全弹性碰撞中，若v = 0，则有 20 (m,m)v，2mv2mv2120110110v,, 2m，mm，m1212 v2m1122110E,mv,m()物体B的动能 K2222，22mm12 22(m,m)2mdEv211102Km,m由 得 ,,0 123dm(m，m)212 2Emmd3,422K221mv又 ,2,0 11024mmmd(，)212m,mm,m2121 m,m故 时，m的动能有最大值(此最大值是 221 12Emv ( ,K21102 4.一辆水平运动的装煤车，以速率v从煤斗下面通过，每单位 0 v0 5 时间内有质量为m的煤卸入煤车(如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，0 试求: (1) 牵引煤车的力的大小; (2) 牵引煤车所需功率的大小; (3) 牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能,其余部分用于何处, 解:(1) 以煤车和,t时间内卸入车内的煤为研究对象，水平方向煤车受牵引力F F,t,(M，m,t)v,Mv的作用，由动量定理: 000 F,mv求出: 00 2P,Fv,mv (2) 000 12(3) 单位时间内煤获得的动能: Emv , K002 E,P单位时间内牵引煤车提供的能量为 1 50, E/E,,K2 即有50,的能量转变为煤的动能，其余部分用于在拖动煤时不可避免的滑动摩擦损耗( l,a 5.一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂 一段的长度为a(设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为,(令链条由 静止开始运动，则 a (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功, (2)链条刚离开桌面时的速率是多少, 解:(1)建立如图坐标. 某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为 l,a y y f,,mgla 00m摩擦力的功 W,fdy,,gydyf,,l,al,al mgmg,,202x = = y,(l,a)l,a 22ll 1122mv,mv (2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ?W, 022 其中 ?W=W，W，v= 0 Pf 022llmgmg(la),xdx, W== PdxP ,,aal2l 2mg(la),,W,,由上问知 f2l 22mg(l,a)mg1,22,(l,a),mv 所以 2l2l2 1g2222得 ,,v,(l,a),,(l,a) l 6 ,v6.小球A，自地球的北极点以速度在质量为M、半径,0Av 0为R的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考m,CMO,Ov平行，小球A的运动轨道与轴OO,相系中轴OO,与0,R,交于距O为3R的C点(不考虑空气阻力，求小球A在Cv ,, vv点的速度与之间的夹角,( 0 解:由机械能守恒: 2211 mv,GMm/R,mv,GMm/(3R) ? 022 根据小球绕O角动量守恒: Rmv,3Rmvsin, ? 0 ?、?式联立可解出( v0sin,, 29v,12GM/R0 7.质量为m的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保A,,v v持在原点不动(起初，当A离B很远( r = ?)时，A具有速度，00Aa方向沿图中所示直线Aa，B与这直线的垂直距离为D(粒子A由D于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动(已,dv 知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量m( BB 解:A对B所在点的角动量守恒(设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v( v,Dv/dDmv,mvd ， 0A0A A、B系统机械能守恒(A在很远处时， 引力势能为零) 2211mv,mv,Gmm/d AAAB022 22v,v,2Gm/d解得 B0 222? m,(D,d)v/(2Gd) B0 3f,kr8.设两个粒子之间相互作用力是排斥力，其大小与粒子间距离r的函数关系为，k为正值常量，试求这两个粒子相距为r时的势能((设相互作用力为零的地方势能为零() 3f,kr解:两个粒子的相互作用力 已知f,0即r,?处为势能零点, 则势能 ,,,,k E,W,f,dr,drPP,3,,rrr2,k(2r) 四 研讨题 1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗,使汽车前进的力是什么力, 参考解答: 7 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下:当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮( 一般为汽车的后轮)绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮(汽车的前轮)相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。 2. 冲量的方向是否与冲力的方向相同, 参考解答: ,,,,,t2冲量是力对时间的积累，由动量定理: IFdtPPP,,,,,21,t1,,所以，冲量的方向和动量增量的方向相同，不一定与冲力的方向相同。 ,PF 3. 一物体可否只具有机械能而无动量,一物体可否只有动量而无机械能,试举例说明。 参考解答: 机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。若取保守力系统，物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可以有机械能而无动量。例如:一质量为m 的物体(例如一气球)静止在相对于地面为h的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其值为 mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。 在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如:物体自离地面高为h处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能 E=0，下落至地面0 22时，物体具有速度的大小为v，动能为mv /2，动量的大小为 mv，系统的机械能为 E =mv/2 , mgh = E=0. 0 4. 在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件,请举例说明( 参考解答: 不一定满足守恒条件( ,v例如在水平面上以速度匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球(以车厢为参考系，小0 球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球，地系统机械能守,恒(若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为，则小球v,,,,,,,v,v，v对地速度，与绳张力T不垂直，故小球摆动过程中v0 绳张力对小球要作功，这时小球，地系统不满足机械能守恒条件(但 8 在上述两个参考系(惯性系)中，动能定理和功能原理仍是成立的( 5. 在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动, 参考解答: 在空气中释放一氢气球，它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力与重力的方向相反。 在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到指 向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处在一水平 2向右的“重力场”中一样。根据F=m,r，这“重力场”i 左弱右强。和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运 动类似，在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左(与 水平“重力”方向相反)的“浮力”的作用而向左运动。 (忽略由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动) 第2章 刚体定轴转动 一、选择题 1(B)，2(B)，3(A，)4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题 (1). v?15.2 m /s，n,500 rev /min 2 (2). 62.5 1.67, (3). g / l g / (2l) (4). 5.0 N?m (5). 4.0 rad/s 2(6). 0.25 kg?m 1(7). Ma2 l11dM/d(8). 参考解:M,, ，，,mgl,gmlrr,,mgl,,022 6v0(9). ，，4，3M/ml (10). 2E0 三、计算题 1.一砂轮直径为1 m质量为50 kg，以 900 rev / min的转速转动(撤去动力后，一工件以 200 N的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8 s内停止(求砂轮和工件间的摩擦系数((砂轮 12轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为mR，其中m和R分别为砂轮的质量和半2 径). 9 解:R= 0.5 m，,= 900 rev/min=30, rad/s， 0 根据转动定律 M=-J, ? 这里 M=-NR ? , 12为摩擦系数，N为正压力，( ? ,J,mR2 设在时刻t砂轮开始停转，则有: ,,,，,t,0t0 从而得 ,,,,/ t ? 0 将?、?、?式代入?式，得 12 ,,NR,mR(,,/t)02 ,,m? R, / (2Nt)?0.5 0 2.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示(轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之 r上(当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S(试求整个轮轴的转动 O惯量(用m、r、t和S表示)( 解:设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律m 得: mg?T,ma ? T r,J, ? 由运动学关系有: a = r, ? 2由?、?、?式解得: J,m( g,a) r / a ? , 又根据已知条件 v,0 0T r 122 a ? S,， a,2S / t ? at2 mg 2T gt 2将?式代入?式得:J,mr(,1) 2S 3.如图所示，设两重物的质量分别为m和m，且m,m，定滑轮的半径为 1212 r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计(设开 r 始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度( m2 m1解:作示力图(两重物加速度大小a相同，方向如图. mg,T,ma 111 T,mg,ma 222 设滑轮的角加速度为,，则 (T,T)r,J, 12 且有 a,r, ,由以上四式消去T，T得: 12 rT2T1，，m,mgrT122T,, 12 a，，m，mr，J a12 开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度( mg2gm1，，m,mgrt 12,, ,t, 2，，m，mr，J12 10 4.物体A和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示(今用大小为F的水平力拉A(设A、B和滑轮的质量都为m，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量J12,(AB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都mR2 B ,可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长(已R F知F,10 N，m,8.0 kg，R,0.050 m(求: A (1) 滑轮的角加速度; (2) 物体A与滑轮之间的绳中的张力; (3) 物体B与滑轮之间的绳中的张力( 解:各物体受力情况如图( F,T,ma ,T ,ma 1 a2,T,T)R, (mR, ’ ’ T2 T B a,R, T ,由上述方程组解得: a-2 T , ,2F / (5mR),10 rad?s F A T,3F / 5,6.0 N ,T ,2F / 5,4.0 N 5.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动(棒的质量为m=1.5 kg，长度为l=1.0 m，对轴的转动惯量为J= m, l 12ml(初始时棒静止(今有一水平运动的子弹垂直地射入棒3O 的另一端，并留在棒中，如图所示(子弹的质量为m,=0.020 kg， v m, -1速率为v=400 m?s(试问: (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度,有多大, (2) 若棒转动时受到大小为M=4.0 N?m的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度,, r 解:(1) 角动量守恒: 1,,22,,mvlmlml,,， ,,3,, ,mv-1,,? ,15.4 rad?s 1,,,m，ml,,3,, 122,ml (2) 由转动定律，得: ,M,(，), mlr3 2 0,,,2,, 1,,22,mml,，,,3,,? ,15.4 rad ,,2Mr 11 26.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J,10 kg?m 2和 J,20 kg?m(开始时，A轮转速为600 rev/min，B轮静 AB止(C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计(A、B分别与 C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得C到加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止(设轴光滑， 求: ,A (1) 两轮啮合后的转速n; (2) 两轮各自所受的冲量矩( 解:(1) 选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒 J,，J,=(J，J),， AABB AB 又,,0得: , , J, / (J，J) = 20.9 rad / s BAAAB 转速 200 rev/min n, (2) A轮受的冲量矩 2 Mdt =J(J，J)=,4.19?10 N?m?s AAB A,,负号表示与,方向相反( A B轮受的冲量矩 2 Mdt =J(, - 0)=4.19?10N?m?s B B,,,方向与相同( A 7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v在01v L 0光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰21O L 1 撞(碰撞点位于棒中心的一侧处，如图所示(求棒在碰撞后的瞬2L2L v时绕O点转动的角速度,((细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时 0 12的转动惯量为ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度() 3 解:碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为 3L/2L/212vd,vd,v,v ,xx,xx,LmL0000,,002 式中,为杆的线密度(碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为 22，，133117,,,,2J,mL，mL,mL ,,,,,,,,,3424212,,,,,,，， 因碰撞前后角动量守恒，所以 127/12,v mL,mL02 ? , = 6v / (7L) 0 8.如图所示，一长为l质量为M的匀质竖直杆可绕通过杆上端的固定水平轴O1O无摩擦地转动(一质量为m的泥团在垂直于轴O的图面内以水平速度v0lm2打在杆的中点并粘住，求杆摆起的最大角度( v0 M解:选泥团和杆为系统，在打击过程中，系统所受外力对O轴的合力矩为零， 对定轴O的角动量守恒，设刚打击后两者一起摆起的角速度为,，则有 12 11 ? lmv,lmv，J,022 其中 ? v,,,l/2 在泥团、杆上摆过程中，选杆、泥团、地球为系统，有机械能守恒(当杆摆到最大角度, 时有 22111，，1cos，， M，mgl,,,mv，J, ? 222 联立解以上三式可得 22，，3mv,10 cos1,,,,,，，，，Mm3m4Mgl，，，， 四 研讨题 1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量,为什么,举例说明你的结论。 参考解答: 不能( 2因为刚体的转动惯量与各质量元和它们对转轴的距离有关(如一匀质圆盘对r,m,ii 12过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴mR2 的转动惯量为零( 2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗,为什么, 参考解答: 根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。 由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。 非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。 3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回, 参考解答: 分析:乒乓球(设乒乓球为均质球壳)的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动(乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力(若乒乓球平动的初始速度v的方向如图，则摩擦力 F的 方向一定向后(摩擦力的作用有二，对质心的运动来cr 说，它使质心平动的速度v逐渐减小;对绕质心的转c 动来说，它将使转动的角速度,逐渐变小( 当质心平动的速度v= 0而角速度, ,0 时，乒乓c 球将返回(因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc 和初始角速度,的大小应满足一定的关系( 0 dvc解题:由质心运动定理: ,F,mrdt 13 因, 得 (1) v,v,,gF,, mgcc0r 由对通过质心的轴(垂直于屏面)的转动定律 M,I, 2d,32, 得 (2) RF(mR),,,,,,,gtr03dt2R v,v3c.c,,,,由(1),(2)两式可得 , 令 v,0 , ,,00c2R v3c.,,可得 02R 这说明当v= 0和,的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回( c0 第3章 狭义相对论 一、选择题 1(B)，2(C)，3(C)，4(B)，5(B)，6(D)，7(C)，10(D)，11(D)，12(C) 二、填空题 (1). c -8(2). 4.33?10s 2(3). ,x/v , (,x/v)1,(v/c) (4). c (5). 0.99c (6). 0.99c -8 (7). 8.89?10s 1(8). 3c2--132 (9). 5.8?10, 8.04?10 m25m(10). , lS9lS 三、计算题 1.在惯性系K中，有两个事件同时发生在 x轴上相距1000 m的两点，而在另一惯性系K′ (沿x轴方向相对于系运动)中测得这两个事件发生的地点相距2000 m(求在K,系中, 测得这两个事件的时间间隔( 解:根据洛仑兹变换公式: 2x,vtt,vx/c,,x,t, ， 221,(v/c)1,(v/c) x,vtx,vt2211,,x,x,可得 ， 21221,(v/c)1,(v/c)在K系，两事件同时发生，t = t，则 12 x,x21,,x,x, ， 2121,(v/c) 12,,1(/)()/() ,vc,x,xx,x,21212 14 解得 v,3c/2( ,,在K′系上述两事件不同时发生，设分别发生于t和 t时刻， 2122t,vx/ct,vx/c1122,,t,t,则 ， 12221,(v/c)1,(v/c) 2v(x,x)/c,621,,t,t,由此得 =5.77×10 s 1221,(v/c) -622.在K惯性系中，相距,x = 5?10 m的两个地方发生两事件，时间间隔,t = 10 s;而在相对于K系沿正x方向匀速运动的K,系中观测到这两事件却是同时发生的(试计算在K,系中发生这两事件的地点间的距离,x,是多少, 解:设两系的相对速度为v(根据洛仑兹变换， 对于两事件，有 ,,x，vt,,x, ,21,(v/c) 2,,,t，(v/c),x,t, 21,(v/c) ,由题意: ,t,0 2,t,(v/c),x可得 2,,x,,x1,(v/c)及 2221/22221/26,,[(,x),(c,t/c)],[,x,c,t]由上两式可得 = 4?10 m ,x 3. 一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图(设想一 列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观d/2 h测， (1) 隧道的尺寸如何, vLd (2) 设列车的长度为l，它全部通过隧道的时间是多少, 0 解:(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不变。 2v,隧道长度为 L,L1,2c (2) 从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列车全长所需时间为 2L1,(v/c)，l,lL00, t,，,vvv 这也即列车全部通过隧道的时间. 4. 在惯性系S中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生,t =2s;而在另一惯性系S,中，观测第二事件比第一事件晚发生,t,=3s(那么在S,系中发生两事件的地点之间的距离是多少, 解:令S,系与S系的相对速度为v，有 15 t,22,,(,t/,t),1,(v/c) ， t,,21,(v/c) -21/281,v,c,(1,(,t/,t))则 ( = 2.24?10 m?s ) 那么，在S,系中测得两事件之间距离为: 221/28,,,,x,v,,t,c(,t,,t) = 6.72?10 m 5. 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞, 解:两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时(在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根 ,t`2,,,,ttvc`1(/)据时间膨胀公式，可得时间间隔为= 4(s)( ,,t21(/),vc 6.设有一个静止质量为m的质点，以接近光速的速率v与一质量为M的静止质点发生碰00撞结合成一个复合质点(求复合质点的速率v( f 解:设结合后复合质点的质量为M′，根据动量守恒和能量守恒定律可得 2222222,,mv/1,v/c,MvMc,Mc，mc/1,v/c f000 由上面二个方程解得 22v,mv/(m，M1,v/c) f000 四 研讨题 1. 相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同,有何联系, 参考解答: 牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动(或说与参考系)无关;而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。 牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速(即运动速度远远小于光速)时的近似。 牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换 ,,,, x,x,vt,y,y,z,z,t,t. 狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换 vt,x2x,vtc ,,,,x,y,yz,zt,,,,.22vv,,1122cc 比较上述两个变换式可知，在低速时，即v ,,c时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。 2. 同时的相对性是什么意思,为什么会有这种相对性,如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性, 16 参考解答: 同时性的相对性的意思是:在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。 这个结论与光速不变原理紧密相联。 ,,,,设相对运动的惯性系是和，坐标系和相对运S(x0y)S(x0y) ,,0动如图所示，坐标原点0和重合时设为。 t,t,0 由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为 v,t,,x2c ,,t,2v1,2c ,如果在系中两事件同时发生，即，那么在系中两事件的时间间隔 S,t,0S v,,x2c, ,t,2v1,2c ,,与两事件在系中发生的空间间隔有关。当时，。即两事件在系S,x,x,0,t,0S中不同时发生。 如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学的情况。即洛仑兹变换中的 2vv ,0,,0.22cc ,则 ，就不再有同时的相对性。 ,t,,t 3. 在某一参考系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测都将是同时发生的，对吗,这里的参考系均指惯性系。 参考解答: 对的。 ,,如果系和系是相对于运动的两个惯性系。设在系中同一地点、同一时刻发生了SSS ,,,,,,两个事件，即. ,x,x,x,0,,t,t,t,02121 将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中 v,,,,t，(x,x)212c,t,t,t, 212v1,2c ,t,t,t,0则可得 ，说明在系中也是同时发生的。 S21 这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测也必然是同时发生。 4. 静长L的火车以匀速v行驶时，甲是地面上的观测者，相对于地面静止;乙是火车上的观 0 22测者，相对于火车静止. 甲观测到的长度< L ，即火车的动长小于静长，L,L1,v/c00 这就是甲所观测到的长度收缩. 试从另一个角度来看长度收缩问题,即被测量者如何看待别人的测量,并讨论产生不同看法的原因. 参考解答: 17 当火车以匀速v行驶时,甲是地面上的观测者,相对于地面静止;乙是火车上的观测者, 相对于火车静止. 以地面为S系,沿火车速度方向取x轴;以火车为S′系,沿火车速度方向取x′ 轴.甲是这样测量运动中的火车长度的:在S系的同一时刻(t = t),在地面划下火车前端A的位21 置x和后端B的位置x (如图1所示),然后测量x和x之间的距2 121 离L, 这就是甲测出的运动中的火车长度,即 L,x,x,,,,(1)21 对乙来说,火车是静止的,火车前端A的位置x′和后端B的位置x′之间的距离就是火车的静21 ,,即 长L ,L,x,x,,,,(2) 0021 2vL,L1,,,,,(3)且 02c 因v < c ,故由式(3)得出L < L , 即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩。 0 乙是如何看待上述甲的测量呢? 乙观测到, 甲在t′时刻在地面上划下火车前端A的位置x , 22在t′时刻在地面上划下火车后端B的位置x,由洛伦兹变换 11 1v，，,t,t,x 2,,22c，，1/,vc v1，，,,ttttxx有 ,,(,),(,) 2121212,,22c，，1,v/c 2v/cv,,t,t,,L,,L,0,,,,(3) 210222c1,v/c 这个结果表明:t′在先，t′在后.也就是说,在乙看来,甲并不是同时划下火车前后端的位置21 的,而是先( t′时刻) 划下火车前端A的位置x ,后( t′时刻) 划下火车后端B的位置x, 如2211图2所示.所以,乙认为,甲少测了一段长度,这段长度为 ,, ,L,v(t,t),,,,(4)12 将式(3)代入式(4)得 2v ,L,L,,,,(5)02c 因此乙认为甲所测量的不是火车的长度而是比 ,,, 火车短ΔL的某一长度: *L,L,,L,,,,(6) 0 将式(5)代入式(6)得 2,,v*,, L,1,L02,,c,, 22乙还观测到,地面上沿火车进行方向的尺缩短了,缩短的因子为, 于是乙推知, 1,v/c甲所观测到的火车长度应为 *2Lv,1,L 022cv1,2c 这正是甲测得的结果. 由以上的分析可见,在S系看来,甲的观测是正确的,火车的长度 收缩是真实的. 在S′系看来,火车的长度是L ,并没有收缩, 而是甲的观测方法有问题(先0 18 测前端, 后测后端), 甲少测了一段长度ΔL ,加上甲的尺缩短了,两种因素合在一起,使甲得出火车长度收缩的结论. 第4章 振动 一、选择题 1(C)，2(B)，3(C)，4(E)，5(C)，6(D)，7(B)，8(D)，9(B)，10(C) 二、填空题 (1). ,、- , /2分、,,,( 2,2m/k、2,m/2k (2). 1x,0.04cos(,t，,)(3). 2 10.04cos(4,t,,)(4). 2 ,21(5). x,2，10cos(5t/2,,)2 (6). 0.05 m，-0.205,(或-36.9?) (7). 3/4， 2,,l/g (8). 291 Hz或309 Hz 1-2(9). 4?10 m， ,2 (10). 4:3 三、计算题 1(如图1所示，一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的 一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示(设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力(现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 物体作简谐振动，并求出其m 角频率( 解:取如图x坐标，平衡位置为原点O，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长x 0 mg,kx ? 0图1 x，x设m在x位置，分析受力, 这时弹簧伸长 0NT1T,k(x，x) ? 20 由牛顿第二定律和转动定律列方程: mg,T,ma ? 1mx0mgOTR,TR,J, ? TT1221Mg a,R, ? x ,kx a,联立解得 2(J/R)，m 由于x系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为 19 2kkR,,, 22(J/R)，mJ，mR 32(在直立的U形管中装有质量为m = 240 g的水银(密度为, = 13.6 g/cm)，管的截面积为 2S = 0.30 cm(经初始扰动后，水银在管内作微小振动(不计各种阻力(试列出振动微分方程，并求出振动周期( 解:建立竖直坐标如图，令微小振动中，两臂水银面相平时，水银面坐标为0，水银的重力 dx势能为0，则以右臂水银面的坐标为准，在振动中任一时刻，水银的运动速度(这v,dt 12时振动中水银的动能为，水银的势能(看作两水银面相平的状态下，从左臂移高度mv22为x的一段水银柱到右臂，则有质量为S,x的水银升高了高度x)为S,gx(因振动中机械能守恒 122 常量 mSgxv，,, 2x dv对t求导数可得 mv，2S,gxv,0x dtO 2dxm，2S,gx,0化简 2dt 这就是简谐振动的微分方程( 2,Sg,由此可得振动角频率 ,m m振动周期 s T,2,,1.09,2Sg 1x,0.5cos(8,t，,)3.质量m = 10g的小球与轻弹簧组成的振动系统，按的规律作自由振3 动，式中t以秒作单位，x以厘米为单位，求 (1) 振动的角频率、周期、振幅和初相; (2) 振动的速度、加速度的数值表达式; (3) 振动的能量E; (4) 平均动能和平均势能( -1解:(1) A = 0.5 cm;, = 8, s;T = 2,/, = (1/4) s;, = ,/3 1,2， (2) (SI) v,x,,4,，10sin(8,t，,)3 2,21，，a,x,,32,，10cos(8,t，,) (SI) 3 11-2225EEEkAmA (3) =7.90?10 J ,，,,,KP22 T12 (4) 平均动能 E,(1/T)mvdtK,20 T11222, ,(1/T)m(,4,，10)sin(8,t，,)dt ,230 20 1-5 = 3.95?10 J = E2 1-5同理 = 3.95?10 J ,EE P2 4.一质量m = 0.25 kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲 -1度系数k = 25 N?m( (1) 求振动的周期T和角频率,( (2) 如果振幅A =15 cm，t = 0时物体位于x = 7.5 cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速v及初相,( 0 (3) 写出振动的数值表达式( ,1解:(1) ,,k/m,10s s T,2,/,,0.63 (2) A = 15 cm，在 t = 0时，x = 7.5 cm，v < 0 00 22A,x，(v/,)由 00 22v,,,A,x,,1.3得 m/s 00 11,tg(/) 或 4,/3 ,,,v,x,,003 1? x > 0 ，? ,,,03 1,2 (3) (SI) x,15，10cos(10t，,)3 5.如图5所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m， m 重物的质量m = 6 kg，重物静止在平衡位置上(设以一水平恒力F = F 10 N 向左作用于物体(不计摩擦)，使之由平衡位置向左运动了0.05 m时撤去力F(当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的x O 运动方程( 图5 解:设物体的运动方程为 x,Acos(,t，,)( 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量: F?0.05 = 0.5 J( 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J，即: 12 J， ? A = 0.204 m( kA,0.52 A即振幅( 22 (rad/s) ,,k/m,4 , = 2 rad/s( 按题目所述时刻计时，初相为 = ,( , ?物体运动方程为 x,0.204cos(2t，,) (SI)( 四 研讨题 1. 简谐振动的初相是不是一定指它开始振动时刻的位相, 21 参考解答: ,对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同，值 ,就不同。例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，则值等于零;如果选物体 ,,到达负向极大位移的时刻为时间原点，则等于。由于是由对时间原点的选择所决定, 的，所以把它叫做振动的初相。简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。 思考题:任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小, 2. 任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小, 参考解答: 因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的周期肯定会变大。 若振子的质量为M，弹簧的质量为m，弹簧的劲度系数为k，可以计算出，在考虑了弹 簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为 M，m/3T,2 ,k 例:劲度系数为k、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解弹簧振子的振动周期( m l各点的干涉情况(取Q点如图(则从S、S分别传播的两波在Q点的12 2,2,,,,,相位差为 ,,,x,[,(x,l)]121020,, 2,2,,, = 5 , l,,,l,,,,,,10201020,u ? x > l各点为干涉静止点( (3) 最后考虑0?x?11 m范围内各点的干涉情况(取P′点如图(从S、S分别传播12来的两波在P′点的相位差为 2,2,4,2,,,,,,, ,,,x,[,(l,x)]xl,,,，1210201020,,,, ,11,2,2, ,,,x， ,,,x,l,,,，102022u, 由干涉静止的条件可得 ,11, ( k = 0，?1，?2，„) ,,x，,(2k，1),22 ? x = 5-2k ( -3?k?2 ) 即 x = 1，3，5，7，9，11 m 为干涉静止点( 综上分析(干涉静止点的坐标是x = 1，3，5，7，9，11 m及x >11 m 各点( 7.如图7所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密媒质的反射面(波由P点反射， B 入射 DPOP = 3, /4， = , 6(在t = 0时，O处质点的合振动是经过平 x 衡位置向负方向运动(求D点处入射波与反射波的合振动方程((设O P D 反射 入射波和反射波的振幅皆为A，频率为,() C 图7 解:选O点为坐标原点，设入射波表达式为 26 则反射波的y,Acos[2,(,t,x/,)，,]1 ，,OPDPx,cos[2,,(,)，,，,]表达式是 yAt2, 合成波表达式(驻波)为 y,2Acos(2,x/,)cos(2,,t，,) (,y/,t),0在t = 0时，x = 0处的质点y = 0， ， 00 1故得 ,,,2 因此，D点处的合成振动方程是 ,,3/4,/6,,3Asin2,,t y,2Acos(2,)cos(2,,t，)2, tx，，8(一列横波在绳索上传播，其表达式为,　　,现有另一列波(振y0.05cos2π()　(SI),1,,0.054，， 幅也是0.05m)与上述已知横波在绳索上形成驻波，设这一横波在X=0 处与已知横波同位相，写出该波的方程。写出绳索上的驻波方程;求出各波节的位置坐标表达式;并写出离原点最近的4个波节的坐标数值。 解:(1) 由形成驻波的条件(可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为x轴的负方向(又知 x = 0处待求波与已知波同相位，?待求波的表达式为 tx 0.05cos[2()]y,,，20.054 y,y，y (2) 驻波表达式 12 1? (SI) y,0.10cos(,x)cos(40,t)2 1波节位置由下式求出( k = 0，?1，?2，„ ,x/2,,(2k，1)2 ? x = 2k + 1 k = 0，?1，?2，„ 离原点最近的四个波节的坐标是 x = 1 m、-1 m、3 m、-3 m. 9(一声源S的振动频率为, = 1000 Hz，相对于空气以v = 30 m/sSSS的速度向右运动，如图(在其运动方向的前方有一反射面M，它相对vvS于空气以v = 60 m/s的速度向左运动(假设声波在空气中的传播速度M为u = 330 m/s，求: (1) 在声源S右方空气中S发射的声波的波长; (2) 每秒钟到达反射面的波的数目; (3) 反射波的波长( 解:(1) 设一接收器R静止于空气中，声源S以v速率接近接收器R，则由多普勒效应公S 式可知，R接收到的声波频率 u330,,,,，1000,1100 Hz Suv,330,30S 则 330/1100 = 0.30 m ,,u/,, , (2) 每秒钟到达反射面处波的数目在数值上等于反射面处接收到的波的频率(由多普, 27 勒效应公式有: uv，330，60, ,,，1000,1300 Hz ,,Suv,330,30S (3) 接收器接收到反射面的反射波的频率 u, ,,,Ru,v uu,v330,60,反射波的波长 ,,,,0.21 m R,,,1300R 四 研讨题 1. 波传播时，介质的质元并不随波迁移。但水面上有波形成时，可以看到漂在水面上的树叶沿水波前进的方向移动。这是为什么, 参考解答: 如图所示，当水面上有波形成时，表面上水的 质元是在平行于波传播方向的竖直平面内做圆周运 动(不是上下的简谐运动)。这是因为，水波传过 时，波峰处的水面比原来高了，波谷处的水面比原 来低了，波峰处增加的水量必定是由临近的波谷处移来的。 这样，水面上的质元就有了沿水波传播方向的纵向振动，纵向振动和横向振动的合成就使得水面质元做圆周运动。 正是由于水面质元的圆周运动(或说是由于质元有沿水波传播方向的纵向振动)，使得水面上的树叶等漂浮物沿水波前进的方向移动。 2. 如果地震发生时，你站在地面上，先感到哪种摇晃, 参考解答: 地震波在地球内部的传播有纵波(P 波)和横波(S 波)两种形式，并且纵波(P波)的传播速度比横波(S波)的传播速度快(前者的速度在地壳内是 5 km /s，在地幔深处是14 km /s，而后者的速度是 3 km /s, 8 km /s)。当地震发生时，如果人站在震源正上方的地面上，会感觉到先上下颠(纵波引起的感觉)然后横向摇(横波引起的感觉)，这中间的时间差在日本被称为“自救时间”. 3. 为什么在没有看见火车也没有听到火车鸣笛的声音的情况下，把耳朵贴靠在铁轨上可以判断远处是否有火车驶来, 参考解答: 从传播速度来看，声波在铁轨中的传播速度远远大于声波在空气中的传播速度。低碳钢棒中纵波的速度为5200 m /s，而空气中纵波的速度为331 m /s. 从声音的强度来看，因为波的强度为 122,,,IuA 2 其中，铁轨的密度ρ及u都分别远远大于空气的ρ及u，在ω，A分别相同的情况下，铁轨中传播的声波的强度也远比空气中声波的强度大。 综合以上两个因素可知，把耳朵贴靠在铁轨上就容易判断出远处是否有火车驶来。 28 ,2,,,,x,4. 沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，具体位相差的公式是:请,分析相位干涉仪如何利用这一特征，测定来波方向. 参考解答: 相位干涉仪就是利用这一特征，测定来波的方向。 在军事上常常需要确定雷达信号的来波方向,称为无源测向. 相位干涉测向仪是一种 常用的测向系统,其基本结构与工作原理如图所示.两个天线单元A和B相隔一定距离d,水平放置，当雷达电磁波平行传输过来，到达A天线比到达B天线多经过的路程为: a,dsin, 式中θ是来波方向与天线轴线的夹角,也就是方位角. 则两天线信号的相位差为: ,,22d,,,a,sin, ,, 式中λ是雷达信号的波长. 相位干涉仪一般采用超外差接收机,首先确定信号波长λ,然后根据测出的A、B 天线信号的相位差Δφ,就可以利用上式计算出方位角θ. 5. 利用干涉原理制成干涉消声器可以降低内燃机、压缩机等排放高速气流时产生的低频噪 声,请查阅资料说明干涉消声器控制噪声的工作原理. 参考解答: 利用干涉原理制成干涉消声器可以降低内燃机、 压缩机等排放高速气流时产生的低频噪声,其原理如 图所示. 波长为λ的声波沿管道向右传播,在A处分成两束 相干波,它们分别通过r和r的路程后再在B处相遇,12 若Δr = r - r 恰好等于声波半波长λ/2 的奇数倍,则干21 涉相消,从而达到控制噪声的目的.为了使这类消声器在低频范围内具有较宽的消声频率, 一般将多个这样的消声单元串联起来,并且使每一个单元的Δr不等,就可以对不同波长的噪 声加以控制. 第6章 光的干涉 一、选择题 1(C)，2(A)，3(A)，4(B)，5(A)，6(B)，7(B)，8(C)，9(D)，10(D) 二、填空题 (1). 使两缝间距变小;使屏与双缝之间的距离变大. DN(2). (3). 0.75 (4). ， 3,1.33 ,(2L)(5). (6). 113 29 (7). 1.2 (8). 2d / , (9). 2(n– 1)h ,(10). (N，N)212L 三、计算题 ,1.一双缝，缝距mm，两缝宽度都是mm，用波长为的平行,,4800Ad,0.4a,0.080 光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距m的透镜。求: f,2.0 (1)在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距; ,x (2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目。 N 解:双缝干涉条纹: (1) 第k级亮纹条件: d sin, =k, 第k级亮条纹位置:x= f tg, ?f sin, ?kf, / d k 相邻两亮纹的间距:,x = x,x=(k，1)f, / d,kf, / d=f, / d k+1k-3 =2.4?10 m=2.4 mm (2) 单缝衍射第一暗纹: a sin, = , 1 ,x= f tg,?f sin,?f, / a,12 mm 0 11 ,x / ,x =5 0 ? 双缝干涉第?5极主级大缺级( ? 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9 分别为 k = 0，?1，?2，?3，?4级亮纹 或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第?5级主大，同样得该结论( 2.用白光垂直照射置于空气中的厚度为0.50μm的玻璃片(玻璃片的折射率为1.50，在可见 ,, 光范围内(4000A,7600A)哪些波长的反射光有最大限度的增强? 1解:加强， 2ne+, = k,， 2 2ne4ne3000,,, , nm 12k,12k,1k,2 k = 1， ,= 3000 nm， 1 k = 2， = 1000 nm， ,2 k = 3， ,= 600 nm， 3 k = 4， ,= 428.6 nm， 4 k = 5， ,= 333.3 nm( 5 ? 在可见光范围内，干涉加强的光的波长是 ,600 nm 和,428.6 nm( ,, , A3.白光垂直照射到空气中一厚度为e,3800的肥皂膜上，肥皂膜的折射率，在n,1.33 ,, AA可见光的范围内(4000,7600)，哪些波长的光在反射中增强? 解:若反射加强，则光程差应满足条件: 30 2ne，,/2,k, ,,4ne/(2k,1)(k,1,2...)在可见光范围内，有 o ,,4ne/(2k,1),6739Ak,2 2 o k,3,,4ne/(2k,1),4043A 3 -9 4.用波长为,,600 nm (1 nm,10 m)的光垂直照射由两块平玻璃板构成的空气劈形膜，劈-4尖角,,2?10 rad(改变劈尖角，相邻两明条纹间距缩小了,l,1.0 mm，求劈尖角的改变 量,,( 解:原间距 l, / 2,1.5 mm ,,1 改变后， l,l,,l,0.5 mm 21 -4,改变后， ,,, / 2l,6?10 rad 22 -4 ,,,,,,,4.0?10rad 2 -95.用波长nm()的单色光垂直照射在由两块玻璃板(一端刚好接触成1nm,10m,,500 ,4为劈棱)构成的空气劈尖上。劈尖角rad，如果劈尖内充满折射率为的,,2，10n,1.40 液体。求从劈棱数起第五个明条纹在充入液体前后移动的距离。 解:设第五个明纹处膜厚为e，则有2ne，, / 2,5 , 设该处至劈棱的距离为l，则有近似关系e,l,， 由上两式得 2nl,,9 , / 2，l,9, / 4n, 充入液体前第五个明纹位置 l,9 , , 4, 1 充入液体后第五个明纹位置 l,9 , , 4n, 2 充入液体前后第五个明纹移动的距离 ,l,l – l,9 , ， , , , , n， , 4,,1.61 mm 12 e6.如图所示，牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小缝隙，现用波0 R长为的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为，求反射光形, 成的牛顿环的各暗环半径。 R 解:设某暗环半径为r，由图可知，根据几何关系，近似有 2 r ，，e,r/2R ? e e0 再根据干涉减弱条件有 11 ? ，，2e，2e，,,2k，1,022 式中,为大于零的整数(把式?代入式?可得 ，，r,Rk,,2e 0 (k为整数，且k,2e / ) ,0 31 7. 在如图所示的瑞利干涉仪中，T、T是两个长度都是l的气室，波长为,的单色光的缝光12 源S放在透镜L的前焦面上，在双缝1 S和S处形成两个同相位的相干光源，12TL12CS1L1S用目镜E观察透镜L焦平面C上的干2 涉条纹(当两气室均为真空时，观察到E,O一组干涉条纹(在向气室T中充入一定2S2T2量的某种气体的过程中，观察到干涉条 l纹移动了M条(试求出该气体的折射率 n (用已知量M，,和l表示出来)( 解:当T和T都是真空时，从S和S来的两束相干光在O点的光程差为零( 1212 当T中充入一定量的某种气体后，从S和S来的两束相干光在O点的光程差为(n – 1)l( 112 在T充入气体的过程中，观察到M条干涉条纹移过O点，即两光束在O点的光程差2 改变了M,(故有 (n,1)l,0 = M, n,1，M, / l( 四 研讨题 SS1. 如果和为两个普通的独立的单色线光源，用照相机能否拍出干涉条纹照片,如果21-8曝光时间比10s短得多，是否有可能拍得干涉条纹照片, 参考解答: SS如果和为两个普通的独立的单色线光源，用照相机不能拍得干涉条纹照片;如果21-8曝光时间比10s短得多，有可能拍得干涉条纹照片。 所谓干涉就是在观察的时间内，叠加区有一稳定的强度分布。一般的实验中观察时间-8都远比原子发光的时间10s长得多，所以要维持各点强度稳定，就得要求叠加区内各点每时刻相遇的两条光线除了频率相同、振动方向相同之外，还必须相位差恒定。 由发光的特点可知，在我们观察的时间内，两个独立光源不可能保证两条光线在确定的点有恒定的相位差。但每时刻，两独立光源发出的两条光线在各点都有一定的相差，即有一确定的谐振叠加结果，只不过在观察的时间内，各种合成结果都会出现，从而得到的观察结果是非相干的。 用普通相机只能拍得平均结果，所以无法拍得两个独立的光源的“干涉条纹”照片。 -8如果曝光时间比10s短得多，即短到一个原子一次发光的时间，那么就把两个原子发光的某一次的叠加结果 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 下来，当然就有一个确定的强度分布。因此可以说，这样的相机有可能拍得干涉条纹。 SS2. 用白色线光源做双缝干涉实验时，若在缝后面放一红色滤光片，后面放一绿色滤12光片，问能否观察到干涉条纹,为什么, 参考解答: 不能观察到干涉条纹。 判断是否能看到干涉条纹应从两个方面考虑。 首先是产生相干叠加的条件，即相干光必须频率相同，在叠加区必须有振动方向相同的分量及有恒定的相位差。 22R,I/I,A/A其次还要从技术上考虑，如对两光强之比(及两光束光强之比)、1212光源的非单色性及光源的线度等都有一定的要求，以保证获得清晰的干涉条纹。 32 若在两个缝上分别放置红色和绿色滤波片，不满足频率相同的相干条件，所以不可能看到干涉条纹。 3. 在煤矿的井下生产中,即时准确地监测井下气体的甲烷浓度变化,对确保安全生产极其重要.请利用所学的知识设计一检测仪监测矿井甲烷浓度. 参考解答: 介绍瑞利干涉仪监测矿井甲烷浓度。 在煤矿的井下生产中,即时准确地监测井下气体的甲烷浓度变化,对确保安全生产极其重要. 根据甲烷和纯净空气的折射率不同,运用双光束干涉,通过观察干涉条纹的变化,可以实现对井下空气中甲烷浓度的监测. 瑞利干涉仪的结构如图所示,S为狭缝光源,经 透镜L后成为平行光,再由双缝S、S 分离出两束112 相干光,分别让它们通过长度相等的两个气室T、T 12 后,由透镜L 会聚到其焦平面上形成干涉条纹. 若2 两气室T、T内气体相同,则两束光在0点处干涉相12 长,形成零级明条纹. 若将气室T内充入纯净空气,其折射率用n表示;将气室T内充入井下102气体,其折射率用n′ 表示,则两束光到达0点的光程差为: ,, ,,nL,nL,(n,n)L,k,,,,,(1)00 式中,L为气室的长度;λ为光的波长;k为0点处干涉明条纹的级次. 假设井下气体中甲烷浓度为x %,则其折射率n′与纯净空气的折射率n以及纯甲烷气体的折射率n有如下关系: 0 100x,x,n,n，n 0100100 将其整理为 x,n,n,(n,n),,,,(2) 00100 由式(1)和式(2)可得: k,x,100 (n,n)L0 即为0点处干涉明条纹的级次k与气室中井下气体的甲烷浓度x%之间的关系式. 实际应用中,需要使两气室内的气体具有相同的压强和温度,利用读数显微镜可较方便地确定0处干涉明条纹的级次k ,在已知波长λ和纯净空气折射率n以及纯甲烷气体的折射率n的情况下,0 即可计算出井下气体的甲烷浓度. 4. 薄膜尤其是光学薄膜厚度测控技术不断完善,就其测量原理而言,主要有光电极值法、干涉法、石英晶体振荡法椭偏仪法，请查阅相关文献说明薄膜厚度测控技术中的干涉法的物理原理。 参考解答: 干涉法是纯光学方法的主要内容，比如测量玻璃基底上的膜层厚度, 就可采用迈克尔逊干涉仪来测量，在迈克尔逊干涉仪的基本光路中,将固定反射镜置换成待测样品(右上图),并与另一反射镜形成楔状空气劈而产生等厚干涉。由于是台阶状样品, 33 因而产生的干涉条纹(右下图)，当膜厚增加半波长时,两组干涉条纹便错动一个条纹宽度,因此膜厚可表示为: b,,, d,，m,,2a,, 式中,为单色光波长,a为干涉条纹宽度,b为两组条纹错开的距离,m为错开的条纹数目取值为零或正整数。 考虑到光束在玻璃和薄膜上反射,相位改变并不相同,因此上式应写为: ,b,,,,,12 d,，，m,,22a,,, 式中,和,分别为玻璃和薄膜的相位变化，对玻璃而言,= ,. 在测量时不121 必确定,,只需根据前一式子,用两个不同波长的单色光分别测定a、b值而得2 到d. 第7章 光的衍射 一、选择题 1(D)，2(B)，3(D)，4(B)，5(D)，6(B)，7(D)，8(B)，9(D)，10(B) 二、填空题 (1)( 1.2mm，3.6mm ,4(2)( 500nm (或mm) 5，10 (3)( 一 三 ,1(4)( 0，， ,3 (5)( 5 (6)( 更窄更亮 (7)( 0.025 (8)( 照射光波长，圆孔的直径 -4(9)( 2.24?10 (10)( 13.9 三、计算题 1.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm(缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm，求入射光的波长( 解:设第三级暗纹在,方向上，则有 a sin, = 3, 33 此暗纹到中心的距离为 x = f tg ,33 因为,很小，可认为tg,?sin,，所以 x?3f , / a ( 3333 两侧第三级暗纹的距离是 2 x = 6f , / a=8.0mm 3 ? , = (2x) a / 6f = 500 nm 3 2.在夫琅禾费单缝衍射实验中，如果缝宽a与入射光波长,的比值分别为(1) 1，(2) 10，(3) 100，试分别计算中央明条纹边缘的衍射角(再讨论计算结果说明什么问题( 34 解:(1) a=,，sin, =,, ,=1 , , =90? ,4 (2) a=10,，sin, =,/10 ,=0.1 , =5:4 ,4 (3) a=100,，sin, =,/100 ,=0.01 , =3 这说明，比值, /a变小的时候，所求的衍射角变小，中央明纹变窄(其它明纹也相应地变为更靠近中心点)，衍射效应越来越不明显( /a)?0的极限情形即几何光学的情形: 光线沿直传播,无衍射效应( (, 3.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长,和,，垂直入射于单缝上(假如12,的第一级衍射极小与,的第二级衍射极小相重合，试问 12 (1) 这两种波长之间有何关系, (2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合, 解:(1) 由单缝衍射暗纹公式得 asin,,1, asin,,2, 1122 由题意可知 ,,, , sin,,sin, 1212 代入上式可得 ,,2, 12 asin,,k,,2k, (2) (k = 1, 2, „„) 111112 sin,,2k,/a 112 asin,,k, (k = 1, 2, „„) 2222 sin,,k,/a 222 若k= 2k，则, = ,，即,的任一k级极小都有,的2k级极小与之重合( 2 1121121 4.氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长,=0.668,m的谱线的衍射角为, ,=20?(如果在同样,角处出现波长,=0.447,m的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是2 多少, 解:由光栅公式得 sin,= k , / (a+b) = k , / (a+b)，k , = k , 112211 22 k , k = , / , =0.668 / 0.447 2112 将k , k约化为整数比k , k=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ...... 2121 取最小的k和k ， k=2，k =3， 1212 则对应的光栅常数(a + b) = k , / sin, =3.92 ,m. 11 5.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，,=440 nm，,=660 nm (1 nm 12-9= 10 m)(实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角,=60?的方向上(求此光栅的光栅常数d( 解:由光栅衍射主极大公式得 dsin,,k, 111 dsin,,k, 222 ,,sinkk，4402k11111,,, sin,k,k，6603k22222 当两谱线重合时有 ,= , 12 35 k3691即 ,,, 246k2 两谱线第二次重合即是 k61,， k=6， k=4 12k42 由光栅公式可知 d sin60?=6, 1 6,-31 =3.05?10 mm d,,sin60 -96.以波长400 nm?760 nm (1 nm,10 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围( 解:令第三级光谱中=400 nm的光与第二级光谱中波长为的光对应的衍射角都为， ,,, , ,则 d sin, =3,， d sin, =2 , 3, = (d sin, / )2=600nm ,,,2 ?第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm 7.用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱(已知红谱线波长,在 0.63?0.76 ,m范围内，蓝谱线波长,在0.43?0.49 ,m范围内(当光垂直RB 入射到光栅时，发现在衍射角为24.46?处，红蓝两谱线同时出现( (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现, (2) 在什么角度下只有红谱线出现, 解:? a+b= (1 / 300) mm = 3.33 ,m (1) (a + b) sin, =k,， ? k,= (a + b) sin24.46?= 1.38 ,m ? ,=0.63?0.76 ,m; ,,0.43?0.49 ,m RB 对于红光，取k=2 , 则 ,=0.69 ,m; 对于蓝光，取k=3, 则 ,=0.46 ,m. RB 红光最大级次 k= (a + b) / ,=4.8, maxR 取k=4则红光的第4级与蓝光的第6级还会重合(设重合处的衍射角为,, , max ,则 ，? ,,=55.9? ，，sin,,4,/a，b,0.828R (2) 红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现( =11.9? ,，，sin,,,/a，b,0.2071 1R , =38.4? ，，sin,,3,/a，b,0.6213 3R -38.一衍射光栅，每厘米200条透光缝，每条透光缝宽为a=2?10 cm，在光栅后放一焦距-9f=1 m的凸透镜，现以,=600 nm (1 nm=10 m)的单色平行光垂直照射光栅，求: (1) 透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少, (2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大, 解:(1) a sin, = k, tg, = x / f tg,,sin,,,当 x<< f时，, a x / f = k, , 取k= 1有 x= f l / a= 0.03 m 36 ?中央明纹宽度为 ,x= 2x= 0.06m ,(2) ( a + b) sin , ,k, , ( a，b) x / (f ,)= 2.5 k, 取k,= 2，共有k,= 0，?1，?2 等5个主极大. 四 研讨题 ，而是在毫米波段，而人眼睛瞳孔仍保持在1. 假设可见光波段不是在400nm~700nm 左右，设想人们看到的外部世界是什么景象, 3mm 参考解答: ,将人的瞳孔看作圆孔。圆孔衍射中央极大的半角宽度与入射波长和衍射孔径线度,0 1.22,D,的关系是。 ,0D D 当衍射孔径与波长的量级差不多时衍射最显著，入射光经衍射后完全偏离原来直, 线传播的方向，广能几乎分布在衍射后的整个空间。由于衍射，使一个物点发出的光经圆孔后，在观察屏上不再是一个清晰的像点，而是一个相当大的衍射斑。 ,,,D,,0如果，则，每个物点经圆孔后就是一个清晰的像点。 0 在我们的生活的世界，可见光波长的大小和人眼瞳孔的孔径配合得是非常巧妙的，“天 ,,,D然地”满足的条件，物体在视网膜上成像时就可以不考虑瞳孔的衍射，而认为光线是直线传播，那么物体上的任一物点通过眼睛的水晶体成像到视网膜上的像也是一个点，我们就可以清楚地分辨眼前的景物了。 而如果可见光的波长也变成毫米量级，则波长与瞳孔孔径大小可比，每个物点在视网膜上的像将不是一个点，而是一个很大的衍射斑，以至于无法把它们分辨出来，人们看不到目前所看到的物体形状了，而是一片模糊的景象。 2. 某光学显微镜的数值孔径N.A.=1.5，试估算它的有效放大率V. min 参考解答: 分析:显微镜是助视光学仪器,应该针对人眼进行设计.人眼的最小分辨角 ,4δ,,2.9，10rad,一般人眼能分辨远处相隔的两条刻线，或者说，在明视距离10m3mme d0.075mmy,(相隔人眼)处相隔的两条刻线.人眼敏感的波长是,,,0.55m. 25cme d0.075mmy,合理的设计方案是把显微镜的最小分辨距离放大到明视距离的,这样e才能充分利用镜头的分辨本领. 解题:本题条件下的光学显微镜的最小分辨距离为 ,60.610.610.5510,，，,7dm2.2410my,,,， minNA..1.5 按合理设计将其放大到明视距离可分辨的dy=0.075mm. e ,3dy0.07510，e 所以 倍, V,,,335min,7d2.2410y，min 实际放大率还可设计得比这数值更高些，譬如500倍，以使人眼看得更舒服些. 3. 在地面进行的天文观测中，光学望远镜所成星体的像会受到大气密度涨落的影响(所以要发射太空望远镜以排除这种影响)，而无线电天文望远镜则不会受到这种影响。为什么, 参考解答: 37 星体辐射的光在进入望远镜的路径中必然通过大气层，所以必须考虑大气分子的衍射对图像质量的影响。 教材中的理论已经指出，衍射物的线度与入射波波长愈相近，衍射现象愈明显;衍射物线度远远大于入射波波长时可不考虑衍射。 大气粒子的平均线度在纳米量级上下，光波的波长是百纳米量级，大气微粒的线度与光波的波长可比，所以对光波的衍射作用显著，直接影响观测图像。随着大气密度的涨落，图样也将随着变化，所以用光学望远镜就无法准确地获得星体的图像。 无线电波长在微米到米的量级，大气粒子的平均线度远远小于无线电波的波长，观测中可忽略衍射的影响。所以在天文观测中无线电天文望远镜就可不受大气密度涨落的影响，从而可精确获得星体的图像。 4. 近年来出现了一种新的光测应变方法——衍射光栅法，请查阅金属 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 应变测量衍射光栅法的相关资料，说明其基本原理。 参考解答: 对大多数实用金属而言, 在弹性加载下其变形非常小. 这样, 细观变形测量的诸多光测方法在一定程度上受到限制. 近年来出现了一种新的光测应变方法——衍射光栅法. 其基本思想是在试件表面欲测处贴上低频正交光栅, 通过测取试件变形前后正交光栅变形来获取试件测点处的应变量. 具体测量方式是通过光学中的衍射效应, 用细激光束垂直照射光栅, 产生衍射点阵, 通过对衍射点阵的测量, 就可以获得应变的信息. 衍射光栅法测量应变的基本原理: 如图所示, 在试件表面欲测处贴上正交光栅应变片, 当一束细激光束垂直照射测点时, 光栅将使反射光发生衍射, 衍射光线在接收屏上形成点阵. 衍射点的位置与光栅栅距的关系可由光栅方程导出 dsin,,m, m 式中: m为衍射级次,,为m级衍射光线与光栅法线方向的夹角, d为栅距,,为激光波长. m 当试件受力变形后, 光栅栅距发生变化, d变为d′, 则变形前后沿垂直于该组栅线方向的线应变为 ,,,,sin,sind,dmm,,, ,,d,sinm 由衍射光栅法基本光路图可知 ,msin,,(,,,D) 将其代入上式可知 mmD 38 ,,,,,mm，此即衍射光栅法测量应变的基本公式。 ,,,,m 第8章 光的偏振 一、选择题 1(B)，2(C)，3(A)，4(B)，5(B)，6(D)，7(D)，8(B) 二、填空题 (1)( 2， 1/4 (2)( 1/ 2 (3)( I / 2， 0 0 (4)( 1.48 (5)( 遵守通常的折射，不遵守通常的折射. (6). 传播速度，单轴 (7)( 自然光或(和)圆偏振光，线偏振光(完全偏振光)，部分偏振光或椭圆偏振光. (8)( 线、圆. 三、计算题 1.将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45:和90:角((1) 强度为I的自然光垂直入射到这一堆偏振片上，试求经每一偏振片后的光0 强和偏振状态((2) 如果将第二个偏振片抽走，情况又如何, 解:(1) 自然光通过第一偏振片后，其强度 I = I / 2 102通过第2偏振片后，I,Icos45:,I/ 4 2112通过第3偏振片后，I,Icos45:,I/ 8 320 通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行( (2) 若抽去第2片，因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直， 所以此时 I =0. I仍不变( 31 2.两个偏振片叠在一起，在它们的偏振化方向成,,30?时，观测一束单色自然光(又在1 ,,45?时，观测另一束单色自然光(若两次所测得的透射光强度相等，求两次入射自然2 光的强度之比( 解:令I和I分别为两入射光束的光强(透过起偏器后，光的强度分别为I / 2和I / 2马2121吕斯定律，透过检偏器的光强分别为 1122,, , I,Icos,I,Icos,11122222 2211,,Icos,,Icos,I,I按题意，，于是 12112222 22I/I,cos,/cos,,2/3得 1212 3.三个偏振片P、P、P顺序叠在一起，P、P的偏振化方向保持相互垂直，P与P的偏1231312振化方向的夹角为，P可以入射光线为轴转动(今以强度为I的单色自然光垂直入射在偏,20振片上(不考虑偏振片对可透射分量的反射和吸收( (1) 求穿过三个偏振片后的透射光强度I与,角的函数关系式; (2) 试定性画出在P转动一周的过程中透射光强I随,角变化的函数曲线( 2 39 解:(1) 连续穿过三个偏振片之后的光强为 22, I,0.5Icos, cos(0.5,,, ),Isin(2,) / 8 00 (2) 画出曲线 I I / 80 α O ,,/4,/2,,/4,,/4,,,, i 14.有一平面玻璃板放在水中，板面与水面夹角为, (见图)(设水 ,CA和玻璃的折射率分别为1.333和1.517(已知图中水面的反射光 i r2是完全偏振光，欲使玻璃板面的反射光也是完全偏振光，, 角应i是多大, B 解:由题可知i和i应为相应的布儒斯特角，由布儒斯特定律知 12 tg i= n,1.33; 11 tg i,n / n,1.57 / 1.333， 221 由此得 i,53.12?， 1 i,48.69?( 2 由?ABC可得 ,，(, / 2，r)，(, / 2,i),, 2 整理得 ,,i,r 2 由布儒斯特定律可知， r,, / 2,i 1 将r代入上式得 ,,i，i,, / 2,53.12?，48.69?,90?,11.8?. 12 四 研讨题 1. 为了得到线偏振光，就在激光管两端安装一个玻璃制的“布儒斯特窗”(见图)，使其法线与管轴的夹角为布儒斯特角。为什么这样射出的光就是线偏振的,光振动沿哪个方向, 40 参考解答: 激光管内的激光在两面反射镜 M1和M2之间来回反射，所以光是沿轴线传播的。光的偏振方向垂直于管轴，一个是垂直于纸面，称为 E分量，另一是平行于纸面，称为 E量。?,,由于布儒斯特窗的法线与管轴的夹角为布儒斯特角，光入射到布儒斯特窗，其反射的光中只有 E?分量，反射光离开管轴方向。透射光中E分量大于 E?分量。见图(b)。这样每次,, 光入射到布儒斯特窗，都会损失一部分 E?分 量。经过 M1，M2 之间的多次反射，沿管轴方向 前进的光中 E?分量就越来越少，最后将 E?分 量全都过滤掉了，出射的激光中只剩下 E分,, 量。因此这样射出的光就是线偏振的，光振动 平行于纸面。 2. 怎样用偏振光状态演示仪(见演示实验教材)区分出入射光是圆偏振光还是椭圆偏振光, (偏振光状态演示仪包括光学减震平台一个、半导体激光器(650 nm)及固定架一套、起偏器和检偏器各一个、1/4波片(650 nm) 一 个、步进电机控制的调整架三个、光电接 收系统及调整架一个、电控箱一个(三路 控制输出、两路输入和USB接口)、计算 机及专用软件。) 参考解答: 41 1. 圆偏振光的产生与鉴别 ? 手动调整起偏器和检偏器，使它们的偏振化方向互相垂直，即接收屏上出现消光; ? 在起偏器和检偏器之间插入l/4波片，转动l/4波片，重新使屏幕上出现消光状态; ？A,Asin,,A,Acos,,,0 oe ？A,0,A,A oe ? l/4波片旋转45:, 将检偏器旋转，屏幕上便出现一条近乎水平的直线，说明通过检偏器的光为圆偏振光，即光强不变。 旋转检偏器P2 (1)P与A共线，A,A,A 2oP012 2 作为比较，可得I,A1 (2)P与A共线，A,A,A 2ePe12 2 同样得I,A1 (3)P旋转任意角度,2 A:Asin,、Acos, Peo2 I,I，I P(e)P(o)22 2222I,Asin,,I,Acos, PeePoo()()22 2,即光强不变。 ？I,I，I,APePo()()122 2. 椭圆偏振光的产生与鉴别 如果l/4波片的旋角大于或小于45:，则检偏器旋转360:，屏幕上出现的是一条余弦曲线，但曲线最低点的光强不等于零，说明通过检偏器的光为椭圆偏振光。 第10章 气体分子运动论 一、选择题 1(B)，2(C)，3(C)，4(C)，5(D)，6(E)，7(B)，8(B)，9(A)，10(C) 二、填空题 355(1). kT ，kT ，MRT/M .; mol222 1---2428 213 ，4?10 Pa . (2). 1.2?10 kg m / s ，?10 m,3 (3). n f(v)dxdydzdv . ; (4). 氩，氦.; 3(5). 氢，1.58?10.; (6). 保持不变. 11(7). 理想气体处于热平衡状态 ，或.; iPV/NikPV/RA22 42 Nf(v)，Nf(v)AABB(8). . (9). 2; (10). 1 . N，NAB 三、计算题 1. 一超声波源发射超声波的功率为10 W(假设它工作10 s，并且全部波动能量都被1 mol氧气吸收而用于增加其内能，则氧气的温度升高了多少, ,1,1(氧气分子视为刚性分子，普适气体常量R,8.31 J?mol?K ) 1解: A= Pt = ， viR,T 2 ? ,T = 2Pt /(viR),4.81 K( 3-12. 储有1 mol氧气，容积为1 m的容器以v,10 m?s 的速度运动(设容器突然停止，其中氧气的80,的机械运动动能转化为气体分子热运动动能，问气体的温度及压强各升高了多少, ,1,1(氧气分子视为刚性分子，普适气体常量R,8.31 J?mol?K ) 152解: 0.8?,(M / M)， MvR,Tmol222 ? T,0.8 M v/ (5R)=0.062 K mol ,,又 p=R T / V (一摩尔氧气) ,? p=0.51 Pa( ,173. 质量m,6.2 ?10 g的微粒悬浮在27?的液体中，观察到悬浮粒子的方均根速率为1.4 ,1cm?s(假设粒子速率服从麦克斯韦速率分布，求阿伏伽德罗常数((普适气体常量R,8.31 ,1,1J?mol?K ) 1/22解:据 ， ，，v,3RT/M,3RT/NmmolA 223-1v得 N=3RT / (m),6.15?10 mol( A 84. 许多星球的温度达到10 K(在这温度下原子已经不存在了，而氢核(质子)是存在的(若把氢核视为理想气体，求: (1) 氢核的方均根速率是多少, (2) 氢核的平均平动动能是多少电子伏特, ,1,1,19 (普适气体常量R,8.31 J?mol?K ，1 eV,1.6?10 J，玻尔兹曼常量k,1.38?,23,110 J?K ) 1/22解:(1) 由 ，， v,3RT/Mmol,3,1而氢核 M,1?10 kg?mol mol1/226,1，，v? ,1.58?10 m?s( 34(2) ,1.29?10 eV( w,kT2 43 f(v)5. 已知某粒子系统中粒子的速率分布曲线如图所示，即 3,,,Kv0vv0 ,f(v),0v ,v ,,0, 3Kv求:(1) 比例常数K =, v (2) 粒子的平均速率, v,Ov0 (3) 速率在0,v之间的粒子占总粒子数的1 / 16时，v=, 11 (答案均以v表示) 0 v,034解:(1) ? 1,f(v)dv,Kvdv,Kv/4 0,,00 4K,4/v? 0 v,035,4v/5 (2) v,vf(v)dv,vKvdv,Kv/500,,00 vv441`1(v)(v)v1434111 (3) ? ,f(v)dv,Kvdv ,K,,(),,41644vv0000 v,v/2? 10 ,5,106. 一显像管内的空气压强约为1.0?10 mmHg，设空气分子的有效直径d = 3.0?10 m，试求27?时显像管中单位体积的空气分子的数目、平均自由程和平均碰撞频率( ,3,23,1 (空气的摩尔质量28.9?10 kg/mol, 玻尔兹曼常量k = 1.38?10 J?K 5 760 mmHg = 1.013?10 Pa) p17,3解:(1) 3.22?10 m n,,kT kT,,, (2) 7.8 m 22πdp vRT81,1Z (3) 60 s. ,,,,M,,mol 四 研讨题 1. 比较在推导理想气体压强公式、内能公式、平均碰撞频率公式时所使用的理想气体分子模型有何不同, 参考解答: 推导压强公式时，用的是理想气体分子模型，将理想气体分子看作弹性自由质点;在推导内能公式时，计算每个分子所具有的平均能量，考虑了分子的自由度，除了单原子分子仍看作质点外，其他分子都看成了质点的组合;推导平均碰撞频率公式时，将气体分子看成有一定大小、有效直径为d的弹性小球。 44 2. 速率分布分布函数假设气体分子速率分布在0,?范围内, 也就是说存在大于光速c的分子。然而，由爱因斯坦的狭义相对论知，任何物体的速度均不会超过光速，这岂不是矛盾? 气体中有速率为无穷大的分子吗? 参考解答: , (1) 分布函数归一化条件: f(v)dv,1,0 , (2) 平均速率: v,vf(v)dv,0 在以上积分计算中,均假定气体分子速率分布在0??范围内,也就是说有速率为无穷大的分子存在,而这与爱因斯坦的狭义相对论任何物体的速率均不可超过光速矛盾.历年来,学生学到这部分内容,总对上面积分中积分限的正确性提出质疑. 那么,气体中是否存在速率为无穷大的分子呢? 从麦克斯韦速率分布函数f(v)的物理意义及其数学表示式上可方便快捷地得到正确的结论. 分析如下.从物理意义上讲, f(v)代表速率v附近单位速率区间内的分子数所占的比率,要分析是否有速率为无穷大的分子存在,只需计算速率v取?时的f(v)即可,有 322m,,,mv/2kT2,f(v),4ev,0 ,,limlim,2kTv,,v,,,, 上式说明,速率在无穷大附近的分子数占总分子数的比率为0,即不存在速率无穷大的分子。 既然不存在速率为无穷大的分子,那么正确的积分应选为0到最大速率v区间. 为什max么选0??范围、能否得知一个热力学系统分子运动的最大速率呢? 由微观粒子的波粒二象性及不确定关系可知:分子最大速率的准确值实际上是不可知的。 而从数学上讲,对某个区间的积分运算可以分段进行,或者说加上一个被积函数为0的任意区间的积分,并不影响原积分结果。 3. 试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少, 参考解答: 8RTRTv,,1.60气体的算术平均速率公式: ， ,,π 在空气中有O，N，Ar，H，CO等分子，其中以H的摩尔质量最小(从上式可知，22222 v在同一温度下H的的较大，而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒时，分2 子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层(H摩尔质量, 最小，其速度达到11.2公里/2 秒的分子数就比O、Ar、CO达到这一速度的分子数多。H逃逸地球引力作用的几率最大，222 离开大气层的氢气最多(所以H在大气中的含量最少( 2 4. 测定气体分子速率分布实验为什么要求在高度真空的容器内进行,假若真空度较差，问容器内允许的气体压强受到什么限制, 参考解答: 45 如果不是高度真空，容器内有杂质粒子，分子与杂质粒子碰撞会改变速率分布，使得测到的分布不准。假若真空度较差，只要分子的平均自由程大于容器的线度L，即>L，,,那么可以认为分子在前进过程中基本不受杂质粒子的影响。由于平均自由程与压强的关系为: kTkTkT,, 所以要求 , 即 . P,,L,2222,dP2,2,dLdP 这就是对于容器内压强的限制条件。 第11章 热力学基本原理 一、选择题 1(B)，2(C)，3(A)，4(B)，5(A)，6(C)，7(D)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题 (1). 等于，大于，大于. (2). 不变，增加 (3). 在等压升温过程中，气体要膨胀而对外作功，所以要比气体等体升温过程多吸收一部分热量. (4). ,|W|，,|W| 12 (5). 500，700 3(6). 8.64，10 11w,,1(7). (或) ,,,w，1 (8). 500，100 (9). 功变热，热传递 (10). 从几率较小的状态到几率较大的状态 ，状态的几率增大 (或熵值增加). 三、计算题 1. 温度为25?、压强为1 atm的1 mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至 ,1,1原来的3倍( (普适气体常量R,8.31 ，ln 3=1.0986) J,mol,K (1) 计算这个过程中气体对外所作的功( (2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少, 解:(1) 等温过程气体对外作功为 3V3V00RTW,pdV,dV,RTln3 ,,VVV003 =8.31?298?1.0986 J = 2.72?10 J (2) 绝热过程气体对外作功为 3V3V00,,,W,pdV,pVVdV 00,,VV00 46 1,,1,,3,11,3pVRT,, 001,,,,1 3 ,2.20?10 J 2. 汽缸内有2 mol氦气，初始温度为27?，体积为20 L(升)，先将氦气等压膨胀，直至体积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止(把氦气视为理想气体(试求: (1) 在p―V图上大致画出气体的状态变化过程( (2) 在这过程中氦气吸热多少, (3) 氦气的内能变化多少, ,1,1(4) 氦气所作的总功是多少,(普适气体常量R=8.31 ) J,mol,K p解:(1) p,V图如图( 21 (2) T,(273，27) K,300 K 1 据 V/T=V/T， 1122 得 T= VT/V,600 K 2 2113 Q =, C(T,T) p214 = 1.25?10 J VOVV (3) ,E,0 12 (4) 据 Q = W + ,E 4 ? W,Q,1.25?10 J p b?3. 1 mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循环，联结ac两点 c9p022p,pV/V的曲线?的方程为, a点的温度为T 000? (1) 试以T , 普适气体常量R表示?、?、?过程中气体吸收的热?0 p0a V量。 OV0 (2) 求此循环的效率。 (提示:循环效率的定义式η=1- Q/Q， Q为循环中气体吸收的热量，Q为循环中气2 112体放出的热量。) 解:设a状态的状态参量为p, V, T，则p=9p, V=V, T=(p/p)T=9T 000b0b0bbaa0 2pVp0c? ? V,V,3Vp,c00c2pV00 ? p V =RT ? T= 27T ccc c 0 3,12RT(1) 过程? Q,C(T,T),R(9T,T)0VVba002 过程? Q = C (T ,T ) = 45 RT ppcb0 Va22Q,C(T,T)，(pV)dV/V 过程? 00Vac,Vc p3330,R(T,27T)，(V,V) 00ac223V0 33p(V,27V)000 ,,39RT，,,47.7RT0023V0 47 47.7RT|Q|0(2) ,,1,,1,,16.3%Q，Q12RT，45RTVp00 p (Pa) 4. 一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程(已知300A气体在状态A的温度为T,300 K，求 A200 (1) 气体在状态B、C的温度; (2) 各过程中气体对外所作的功; 100CB (3) 经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量(各过3) 程吸热的代数和)(213V (mO 33解:由图，p=300 Pa，p= p=100 Pa;V=V=1 m，V=3 m( AB C ACB (1) C?A为等体过程，据方程p/T= p/T AAC C T= Tp/ p=100 K( C A C A B?C为等压过程，据方程V/T=V/T得 BBCC T=TV/V=300 K( BCBC (2) 各过程中气体所作的功分别为 1 A?B: =400 J( W,(p，p)(V,V)1ABBC2 B?C: W= p (V,V ) = ,200 J( 2 BCB C?A: W=0 3 (3) 整个循环过程中气体所作总功为 W= W +W +W =200 J( 123 因为循环过程气体内能增量为ΔE=0，因此该循环中气体总吸热 Q =W+ΔE =200 J( 5. 一卡诺热机(可逆的)，当高温热源的温度为 127?、低温热源温度为27?时，其每次循环对外作净功8000 J(今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循环对外作净功 10000 J(若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，试求: (1) 第二个循环的热机效率; (2) 第二个循环的高温热源的温度( Q,QT,TW1212,,,,解:(1) QQT111 TQT122Q,W, 且 1T,TQT1211 ? Q= TQ/T 2 2 1 1 TTT122Q,,W,即 ,24000 J 2T,TTT,T12112 ,,,,,Q,W，Q,W，QQ,Q由于第二循环吸热 ( ? ) 12222 ,,,,,W/Q, 29.4, 1 48 T2,T,, (2) 425 K 1,1,, 6. 如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛有一定量的刚性双原子分子的理想气体，并用可活动的、绝热的轻活塞将其封住(图中K为用来加热气体的电热丝，MN是固定在圆筒上的环，用来限制活塞向上运动(?、?、?是圆筒体积等 ,33分刻度线，每等分刻度为 m(开始时活塞在位1，10 M N 置?，系统与大气同温、同压、同为标准状态(现将小砝 ? 码逐个加到活塞上，缓慢地压缩气体，当活塞到达位置? 时停止加砝码;然后接通电源缓慢加热使活塞至?;断开? 电源，再逐步移去所有砝码使气体继续膨胀至?，当上升? 的活塞被环M、N挡住后拿去周围绝热材料，系统逐步恢K 复到原来状态，完成一个循环( (1) 在p,V图上画出相应的循环曲线; ,(2) 求出各分过程的始末状态温度; N (3) 求该循环过程吸收的热量和放出的热量( 解:(1) 系统开始处于标准状态a，活塞从???为绝热压缩过程，终态为b; 活塞从???为等压膨胀过程，终态为c;活塞从???为绝热膨胀过程，终态为d;除去绝热材料系统恢复至原态a，该过程为等体过程。该循环过程在p,V图上对 p 应的曲线如图所示。 5(2) 由题意可知 p=1.013×10 Pa ， ab c ,33 V=3×10m， T= 273K， aa ,,3333 V=1×10m， V=2×10m. bcd ,,1,,1ab为绝热过程，据绝热过程方程 ， TV,TV,(,,7/5)aabb a V,,1aT,()T,424K得 baO VbVV V V bcabc为等压过程，据等压过程方程 T/ V= T/ V b b c c VTcb,,848T得 K cVb ,,1,,1cd为绝热过程，据绝热过程方程 ， TV,TV,(V,V)ccddda V,,1cT,()T,721K得 dcVd (3) 在本题循环过程中ab和cd为绝热过程，不与外界交换热量; bc为等压膨胀过程，吸收热量为 Q=,C(T,T) bcpcb 7,式中 (又据理想气体状态方程有pV= ,RT， CRaaap2 pV73aaQ,,(T,T),1.65，10J可得 bccb2Ta da为等体降温过程，放出热量为 pV52aa,,(T,T),1.24，10J Q,,C(T,T)dadaVda2Ta 四 研讨题 49 1. 热力学中经常用到理想气体, 理想气体与热力学究竟是什么关系? 参考解答: 1.热力学的理论框架无需理想气体 热力学理论是普遍的,当然不依赖于理想气体.基础物理热力学的理论框架如下: 第一步:由热功当量实验得到了热力学第一定律，由热机与冷机分别得到了热力学第二定律的开尔文表述与克劳修斯表述; 第二步:由热力学第二定律导出卡诺定理，给出可逆机效率的表述; 第三步:由卡诺定理导出了克劳修斯等式与不等式，定义了熵S，建立了孤立系统熵增加原理。 热力学的理论框架, 显然并未用到理想气体。 2.理想气体在热力学中的作用 (1) 理想气体为热力学提供了一个简单的实例 任何普遍的理论要被人们所接受, 就必须有实例,例如在力学中, 要使人们接受势能的理论, 必须有“万有引力势能与弹簧势能”这种实例. 由于理想气体遵从状态方程和焦耳定律,因此理想气体就成了热力学中最简单的实例. (2) 理想气体为测量热力学温度提供了一种简单的温度计 当可逆卡诺机的工作物质为理想气体时,以理想气体状态方程和焦耳定律为前提,由热力学第一定律和卡诺定理对可逆机效率的表述,可以论证用理想气体温度计就可以测量热力学温度,这体现了理想气体的重要性. 除此之外,还可以依据普朗克黑体辐射定律、聂奎斯脱噪声方程设计出辐射温度计、噪声温度计,来直接复现热力学温度. 但使用这些所谓‘绝对测量仪器’在技术上是十分繁难的,而且费用昂贵,所以不能普及.这也凸显了理想气体温度计的实用价值. 2. 冰融化成水需要吸热，因而其熵是增加的(但水结成冰，这时要放热，即dQ为负，其熵是减少的(这是否违背了熵增加原理,试解释之( 参考解答: 熵增加原理的表述是:在孤立系统(或绝热系统)中发生的任何不可逆过程，系统的熵必增大，只有对可逆过程，系统熵不变( 现在水结成冰要放热给环境，应该把水和环境组成孤立系统，在水结成冰的过程中要考虑整个系统的熵变，水的熵減少不违背熵增加原理( 3. 试讨论温度的相对论变换，热力学系统的绝对温度满足的相对论变换吗,即公式 22会成立吗, T,T1,v/c0 参考解答: 成立。 考虑一个由理想气体组成的封闭的热力学系统, 气体密闭在一容器中, 处于热力学平衡状态. 该系统相对于惯性参照系K是静止的, 其静止质0 量为m.K相对于另一惯性参照系K 以速度v 沿x轴正向 00 作匀速运动, 观测者相对于K系静止, 如图所示.在K系中, 0 系统的动量和能量分别为: 50 2P,0,E,mc. x000 对K系中的观测者而言, v是组成系统的所有粒子的平均漂移速度, 系统具有宏观动量. 系统的质量、动量和能量分别为: 2mmvmc2000m,,P,mv,,E,mc,. x222222,vc,vc,vc1/1/1/从上面的讨论中我们可以得到: vE,Px E,,,,,(1)022v1,/c 在K系中, 系统的内能U就是静止能量E ,系统在等容过程中从外界吸收的热量完全000 用来增加内能, 从而增加了系统的静止质量 2dU,dE,cdm 000 vdE,dPx考虑(1)式， dU,,,,,(2) 022v1,/c (2)式右侧分子中的增量都是K系中的观测结果.dE 是系统总能量的增量. 是系统宏观dPx动量的增量. vdP此时,系统相对于K的宏观速度v未变. 则应理解为因质量增加引起的宏观动能的x 增量.因此, (2)式右侧分子中的两项分别应为 22dE,cdm,vdP,vdm. x 宏观动能是作为整体的系统有序运动的能量. 内能增量是系统的微观无序运动能量的增量. 从系统总能量的增量中扣除宏观有序运动的能量增量就等于内能的增量, 所以 dU,dE,vdP,,,,(3) x 比较(2),(3)式，就可以得到 22 T,T1,v/c.0 上式于1907年, 由普朗克和爱因斯坦分别提出:热力学系统的绝对温度满足的相对论变换公式。 51